人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念第1课时教学设计

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三角函数的概念
(第一课时)
教师姓名
学段学科
高一数学
教材版本
人教A版必修一
章节
第五章2.1节
年级
高一
教学目标
1、了解三角函数的背景，体会三角函数与现实世界的密切联系.
2、经历三角函数概念的抽象过程，借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，发展数学抽象素养.
教学重难点
教学重点：任意角的正弦、余弦、正切函数的定义.
教学难点：理解三角函数的对应关系，影响单位圆上点的坐标变化的因素分析，以及三角函数的定义方式的理解，对符号，和的认识.
学情分析
学生已经学习了从集合到对应的观点重新刻画函数的概念，研究了幂函数、指数函数和对数函数的定义、图像和性质，他们已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力.本节课前学生已经学习了任意角和弧度制，学生已经知道了角的弧度与实数一一对应，这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础.
教学方法
结合学生的知识水平和年龄特点，首先通过现实的实例，体会引入新函数模型的必要性，通过生活中的例子引入圆周运动，不断产生问题并做适当引导，以学生活动为主线，给学生留下思考的空间，自主发现，抽象概况出任意角的三角函数，体现学生的主体地位.也可以让学生更好的体会数形结合思想、运动变化、对应等思想方法.
教学过程
复习旧知
(1)高中函数的概念是什么？
【设计意图】复习高中函数概念，以此作为依据，为后面理解任意角的三角函数概念做铺垫.
情境引入、提出问题
情境1：函数是刻画客观世界中变量关系和规律的重要语言和工具.在现实生活中有这样一类现象，昼夜更替、月亮圆缺、潮汐变化、四季轮回、钟摆、摩天轮等，这类现象有什么样的共同特点？2024年5月3日，嫦娥六号成功发射，它是中国嫦娥探月计划第六个探测器.月球作为地球的卫星，它不仅见证了地球的历史，对地球的稳定、气候、生物圈等方面有着重要的意义.在日常生活中，每个月都可以看到月亮圆缺的变化.我们已学过的函数模型能否刻画这种现象呢？
【设计意图】用数学的观点，函数的角度看待自然现象和客观世界运行规律，体现函数的重要性，以现实现象为背景，帮助学生更好的理解周而复始。让学生感受进一步定义新函数的必要性.
情境2：这是一幅月相图，月亮在运动的过程中，它的位置变化可以用什么来刻画？假设月亮绕地球旋转的轨迹是个圆，地球在圆心O处，月亮的位置记为P，它到地球的距离为单位1，则点P以A为起点做逆时针方向旋转，能否建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况？
【设计意图】通过学生熟悉的生活情境，激发学生学习的兴趣,圆周运动是研究周期现象的变化规律的理想载体，通过以上几个问题，寻找三角函数的两个变量.
三、构建模型、寻找函数
(一)引进圆周运动、坐标系
以上情境, 我们不妨把问题简化为, 单位圆O上的动点P从点A出发, 按照逆时针方向做匀速圆周运动.
问题1：要想研究座舱P的位置，可用什么量来刻画？需要什么工具？
【设计意图】引出直角坐标系，体现数形结合思想.
问题2：直角坐标系放在什么位置合适？
【设计意图】平面直角坐标系是联系几何与代数的桥梁，是实现数形结合思想的关键.
(二)寻找变量，构建函数
问题3： 自己做做图，单位圆上点P的位置有周期性的变化是因为什么变量引起的？（学生讨论）
【设计意图】通过学生的积极参与与知识的“发现”与“形成”过程，让学生探索、挖掘点P的位置变化与以射线OP为终边的角α之间的对应关系.
探究1：当 时，点P的坐标是什么？当或时，点P的坐标又是什么？他们是唯一确定的吗？
问题4：任意给定一个角，观察它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，你有什么发现？
【设计意图】以函数的对应关系为指向，从特殊到一般,使学生确认相应的对应关系满足函数的定义，角的终边与单位圆交点的横、纵坐标都是圆心角（弧度）的函数，为后面生成三角函数的概念作准备.
问题5：你认为点 P的坐标是角的函数吗? 如果是, 你能用集合与对应语言来刻画这种函数关系吗? 如果不是，那谁才是角的函数呢？（学生讨论）
【设计意图】对照函数概念，抓住函数概念的本质，引出一种新的函数—三角函数.
四、生成概念，深化理解
设角是个任意角，它的终边OP与单位圆相交于点.
(1)把点P的纵坐标y叫做的正弦函数，记作
(2)把点P的横坐标x叫做的余弦函数，记作
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即 .是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.
通常将它们记为：正弦函数
余弦函数
正切函数
问题6：(1)正弦函数、余弦函数和正切函数的对应关系各是什么？与以往学习的函数定义有什么不同？
(2)三角函数的三要素分别是什么？
(3)符号，和分别表示什么？如何理解符号，和?在你以往的学习中有类似的引入特定符号表示一种量的经历吗？
【设计意图】在问题引导下，使学生明确三角函数的“三要素”，引导学生类比已有知识，理解三角函数符号的意义.
探究2：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。设，把按锐角三角函数定义求得的锐角α的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的α的正弦记为.与相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？
【设计意图】建立锐角三角函数与任意角三角函数的联系，使学生体会两个定义的和谐性.
五、例题讲解，加深对概念的理解
例1、 求的正弦、余弦和正切值．
【设计意图】通过概念的简单应用，明确用定义求三角函数值的基本步骤，进一步理解定义的内涵.
例2、如右图，设是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为，点P与原点的距离为r．求证：，，．
思考：根据例2，若已知点P为角终边上异于原点的任意一点，那么 的各个三角函数值是否可以确定？
【设计意图】 该题“实际上是坐标比”，通过这道题的解答，使学生认识到，只要知道角终边上的任意一点（除了原点），就可以得出相应的三角函数值，它实际是任意三角函数定义的推广.
六、课堂小结
1. 内容总结
(1)单位圆
(2)任意角的三角函数概念
2.思想方法：数形结合的思想.
七、课后练习，加深对概念的理解和应用
1. 利用三角函数定义，求的 三个三角函数值.
2. 已知角的终边过点，求角的三角函数值.
3. 在平面直角坐标系中，角的终边在直线上，求，，的值．
【设计意图】考查学生对三角函数定义的理解和掌握情况.
教学反思
本节课通过学生的先学探究，课堂展示交流，教师深度点评，贯彻了学生为主体的课堂教学理念，学生完全理解了任意三角形函数定义，深刻体验了定义的发生发展过程，认识到三角函数是刻画周期性运动变化规律的基本函数，达到了预期目标.
由于课时的限制和本科内容的难度大，学生对新概念的应用不够熟练，学生的点评交流还不够充分，需要老师多引导.