数学一元二次方程同步测试题

这是一份数学一元二次方程同步测试题，共49页。
1. 了解一元二次方程的有关概念，能准确识别一元二次方程的一般形式；明确各项系数；
2.熟练掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等解一元二次方程的方法，并能根 据方程的特点灵活选用合适的解法；
3. 会根据根的判别式判断根 Δ = b2 - 4ac 的情况；
4.理解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），并利用根与系数关系解决相关问题；
5.能够从实际问题中抽象出一元二次方程的数学模型，通过列方程、解方程来解决生活中的 实际问题，如增长率问题、利润问题、面积问题等，体会数学在实际生活中的应用价值.
二、【知识梳理】
【知识点 1】一元二次方程的一般形式
ax2 + bx + c = 0 （其中x 是未知数，a、b、c 是已知数，a ≠ 0 ）.
【知识点 2】一元二次方程的解法
（1）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
（2）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法. 【知识点 3】一元二次方程的根的判别式： Δ = b2 - 4ac
（1）当Δ > 0 时 Û 方程有两个不相等的实数根；
（2） 当Δ = 0 时 Û 方程有两个相等的实数根；
（3）当Δ < 0 时 Û 方程没有实数根；
（4）当 Δ ≥ 0 时 Û 方程有两个实数根
【知识点 4】一元二次方程根与系数的关系
若x1, x2 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0 的两个根，则
【知识点 5】实际问题与一元二次方程
（1）列一元二次方程解应用题步骤：
① 审：审的目的找等量关系，注意找关键词；
② 设：有直接设法与间接设法，注意要带单位；
③ 列：由等量关系列出方程，注意方程两边单位要一致；
④ 解：用适当的方法解一元二次方程；
⑤ 检：一是检验是否正确，二是结合实际是否有意义；
⑥ 答：写出实际问题的答案。
（2）常见实际问题的数量关系
① 传播问题：传染源+第一轮传染+第二轮传染=两轮传染总数；
② 增长（降低）率问题：平均增长率公式；a(1+ x)n = b （x 是平均增长率，n 增长
次数）
③ 几何问题：涉及三角形全等，勾股定理，各种规则图形面积公式，动点问题等 等；
④ 数字问题：主要与数字与位数的关系；比如：两位数=十位数字×10+个位数字；
⑤ 商品销售问题：利润=售价-进价；售价=进价× （1+利润率）；总利润=总售价-总 成本=单件利润× 总销量等等
三、【题型目录】
【夯实基础】
【题型一】一元二次方程定义及方程的解
【题型二】用指定方法解一元二次方程
【题型三】一元二次方程根的判别式
【题型四】一元二次方程根与系数关系（韦达定理）
【题型五】用一元二次方程解决问题
【拓展提升】
【题型六】解可化为一元二次方程的分式方程
【题型七】一元二次方程的解与根与系数关系求代数式的值（整体思想） 【题型八】根与系数关系与根的判别式综合
【题型九】一元二次方程配方法的应用
【题型十】一元二次方程与函数综合
【题型十一】一元二次方程与几何综合
【题型十二】一元二次方程解决销售与利润问题
四、【题型展示与方法点拨】
【夯实基础】
【题型一】一元二次方程定义及方程的解
【例题 1】（24-25 九年级上·湖南邵阳·期中）
1 ．若 a 是方程x2 - x -1 = 0 的一个根，则a3 - a2 - a + 2024的值为 ．
【变式 1】
（24-25 九年级上·河北邢台·期中）
2 ．已知关于 x 的方程xk-1 + x - (k - 3)0 = 0 是一元二次方程，则 k 的值是( )
A ．-1 B ．3 C ．-1或 3 D ．都不对
【变式 2】
（24-25 九年级上·福建泉州·期中）
3．若关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (ac ≠ 0) 有一根为x =2024 ，则关于y 的一元二次 方程cy2 + by + a = 0 (ac ≠ 0) 必有一根为( )
A ．2024 B ．-2024 C ． D ．
【题型二】用指定方法解一元二次方程
【例题 2】（24-25 九年级上·河南新乡·开学考试）
4 ．用指定方法解下列方程：
(1) 4x2 - 144 = 0 （直接开平方法）
(2) x2 - 4x - 3 = 0 ．（配方法）
(3) x2 - 2x - 4 = 0 （用公式法）
(4)7x (5x + 2) = 6 (5x + 2)（用因式分解法）
【变式 1】
（24-25 九年级上·山东日照·阶段练习）
5 ．用指定方法解一元二次方程：
(1) x2 + 6x -11 = 0 （配方法）
(2)16x2 + 8x = 3（公式法）
【变式 2】
（24-25 九年级上·山东滨州·阶段练习）
6 ．用指定方法解下列方程：
(1) x2 - 4x + 1 = 0 （配方法）；
(2) 2x2 - 3x +1 = 0 （公式法）．
【题型三】一元二次方程根的判别式
【例题 3】（24-25 八年级下·广西百色·期中）
7 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - (m + 4)x + 2m -1 = 0 ．
(1)求证：不论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x =1 是一元二次方程x2 - (m + 4)x + 2m -1 = 0 的一个根．求方程的另一个根．
【变式 1】
（24-25 八年级下·山东泰安·期中）
8 ．若关于x 的方程mx2 + (2m +1)x + m -1 = 0 有实数根，则m 的取值范围为 ．
【变式 2】
（2025·河南·一模）
9 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 + 2x +1- k = 0 无实数根，则函数y = kx 与函数 的图 象交点个数为（ ）个．
A ．0 B ． 1 C ．2 D ．3
【题型四】一元二次方程根与系数关系（韦达定理）
【例题 4】（24-25 八年级下·安徽淮北·期中）
10 ．设x1 、x2 是方程2x2 + 4x - 3 = 0 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
(1) (x1 +1)(x2 +1)
x1 x2
【变式 1】
（2025 年河北省中考真题数学试题）
11．若一元二次方程x(x +2) - 3 = 0 的两根之和与两根之积分别为m ，n ，则点(m, n) 在平面 直角坐标系中位于( )
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【变式 2】
（2025·重庆巴南·二模）
12 ．若 m ，n 为一元二次方程x2 - 3x +1 = 0的两个根，则(m -1)(n -1) 的值为 ．
【题型五】用一元二次方程解决问题
【例题 5】（2025·广西贵港·一模）
13．某小区新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为 50 米，宽30 米．阴 影部分设计为停车位，停车位的地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知每层喷漆面积 为 1196 平方米．
(1)求通道的宽是多少米？
(2)据调查分析，小区停车场多余 64 个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为 200 元时， 可全部租出：当每个车位的月租金每上涨 10 元，就会少租出 1 个车位，当每个车位的月租 金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为 14400 元？
【变式 1】
（24-25 九年级下·福建福州·期中）
14 ．据国家文旅部统计，5 月1 日全国旅游收入为207.9 亿元，5 月1 日、5 月2 日和5 月3 日 的全国旅游收入之和为1027.96 亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x ，则可以列出方程 为( )
A ．207.9(1 + x)2 = 1027.96
B ．207.9(1 - x)2 = 1027.96
C ．207.9 + 207.9(1 + x)2 = 1027.96
D ．207.9 + 207.9 (1+ x) + 207.9(1+ x)2 = 1027.96
【变式 2】
（24-25 九年级上·山西晋中·期末）
15 ．山西作为“小杂粮王国”誉满全国，小米尤为出名，素有“中国小米在山西，山西小米数 第一”的美誉．某店铺销售一批箱装小米，每箱的进价为 80 元，售价为 120 元，每天可销售 20 箱．春节期间，为了让利于顾客，该店铺计划降价销售．根据销售经验，单价每降低 1 元，每天可多销售 2 箱．若要使顾客尽量得到实惠，且该店铺每天获得的利润为 1050 元， 则每箱小米应降价( )
A ．5 元 B ．15 元 C ．20 元 D ．25 元
【拓展提升】
【题型六】解可化为一元二次方程的分式方程 【例题 6】（2025·上海嘉定·二模）
16 ．已知分式方程 甲同学的解答过程如下：
(1)甲同学的解答过程是从第 步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______
(2)请写出正确且完整的解答过程．
【变式 1】
（2025 七年级下·浙江·专题练习）
17 ．解方程
【变式 2】
（2025·上海浦东新·二模）
18 ．解方程
【题型七】一元二次方程的解与根与系数关系求代数式的值（整体思想）
【例题 7】（24-25 九年级上·四川宜宾·期末）
19 ．已知a 和β 是方程x2 + 2023x - 2 = 0 的两个解，则a2 + 2024a + β 的值为( )
A ．-2023 B ．2023 C ．-2021 D ．2021
【变式 1】
（24-25 九年级上·四川眉山·期末）
20 ．已知方程x2 - 2025x +1 = 0 的两根分别为m ，n ，则 的值为 ( )
A ．-1 B ．1 C ．-2025 D ．2025
【变式 2】
（2025·甘肃白银·二模）
21 ．已知a, b 是一元二次方程x2 - 2x - 3 = 0的两个不相等的实数根，则代数式a2 - 2a + ab 的
解：（第①步）去分母，得：x + 2 - 4 = 1， （第②步）解这个整式方程，得：x = 3 ， （第③步）检验：当x =3 时，x2 - 4 ≠ 0 ， （第④步）所以，原方程的根是x = 3 ．
值为 ．
【题型八】根与系数关系与根的判别式综合
【例题 8】（2025·四川南充·一模）
22 ．关于x 的方程为x2 - (2k -1)x + k2 - k = 0 ，其中 k 为实数．
(1)判断方程根的情况，并说明理由．
(2)当原方程的两根a, β 满足(a - 2β)(2a - β)+ 4 = 0 时，求k 的值．
【变式 1】
（2025·江苏扬州·二模）
23 ．已知关于x 的方程：x2 + 2kx + k2 - 3 = 0，其中 k 是常数．
(1)求证：不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若m 、n 是此方程的两个根，当k = 1 时，求代数式2025 - m2 + 2m + 4n 的值．
【变式 2】
（24-25 八年级下·江苏扬州·阶段练习）
24 ．已知关于 x 的一元二次方程
(1)求证：不论 m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两个根分别为x1, x2 ，且 x1 > x2 ，若 x1 - x2 = 2 ，求 m 的值．
【题型九】一元二次方程配方法的应用
【例题 9】（2025·广东佛山·一模）
25 ．如果正实数x ，y 满足xy = 1，那么 的最小值为 ( )
A ．0 B ．3 C ．41 D ．1
【变式 1】
（24-25 九年级上·四川内江·期中）
26 ．若实数 x，y 满足x2 + y2 - xy - x + 2y + 1 = 0 ，则 2024x - 2025y 的值是 ． 【变式 2】
（23-24 九年级上·重庆忠县·期末）
27 ．若关于 x 的方程x2 - 2( ·、i7 × ·、 - 2·、i2 )x + c =0 有唯一解，则该解应在( )
A ．7 和 8 之间 B ．6 和 7 之间 C ．5 和 6 之间 D ．4 和 5 之间
【题型十】一元二次方程与函数综合
【例题 10】（2025·贵州贵阳·模拟预测）
28．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y = k1x + 5 的图象与反比例函数 的图象交于 A ，B 两点，其中点 A 的坐标是(-4,1)．
(1)分别求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)将一次函数y = k1x + 5 的图象向下平移 n 个单位，平移后的图象与反比例函数 图象 只有一个交点，求 n 的值．
【变式 1】
（2025·浙江·模拟预测）
29 ．如图，反比例函数y1 = 与一次函数y2 = kx + b （k 为常数，且k ≠ 0 ）的图象相交于
A (m, -1) ，B (-1, n)两点．若将直线AB 向上平移t (t > 0) 个单位长度后，与反比例函数的图 象没有交点，则t 的取值范围是 ．
【变式 2】
（2025·河北唐山·二模）
30 ．已知反比例函数 与一次函数y = -2x + n 有两个交点坐标P(x1, y1 ) ，Q (x2, y2 )，若 x1 + x2 = 4 ，则 n = ．
【题型十一】一元二次方程与几何综合
【例题 11】（24-25 九年级上·山东临沂·期中）
31 ．已知平行四边形ABCD 的两边AB、AD 的长是关于 x 的一元二次方程x2 - 8x + m = 0的 两个实数根．
(1)若AB 的长为 6，求 m 的值；
(2)m 为何值时，平行四边形ABCD 是菱形？求出此时菱形的边长． 【变式 1】
（2025·安徽合肥·二模）
32．如图，正方形OABC 和矩形BDEF 的面积相等，反比例函数 在第一象限的图象经 过 B 、E 两点，则DE 的长为( )
A ．16 B ．8 C ．2 + 2 D ．
【变式 2】
（2025·四川雅安·一模）
33．如果一个三角形的两边长分别是方程x2 -11x +18 = 0 的两个根，那么连接这个三角形三 边的中点，得到的三角形的周长可能是( )
A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
【题型十二】一元二次方程解决销售与利润问题
【例题 12】（21-22 八年级下·广西崇左·期中）
34 ．某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为 60 元，当售价为 100 元时， 平均每天能售出 200 双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降 低价格 x（元）之间存在如图所示的函数关系．
(1)求出y 与 x 的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到 8910 元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该 定为多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的50%，公司每天能否获得 9000 元的利润？若 能，求出定价；若不能，请说明理由．
【变式 1】
（23-24 九年级上·山东·期末）
35 ．某超市销售一种饮料，每瓶进价为 6 元．当每瓶售价为 10 元时， 日均销售量为 160 瓶， 经市场调查表明，每瓶售价每增加 1 元，日均销售量减少 20 瓶．若超市计划该饮料日均总 利润为 700 元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为 ．
【变式 2】
（22-23 九年级上·江苏无锡·期末）
36．某超市销售一种可拆分式驱蚊器，一套驱蚊器由一个加热器和一瓶电热蚊香液组成，电 热蚊香液作为易耗品可单独购买．一套驱蚊器的售价是一瓶电热蚊香液的 5 倍，已知一瓶电 热蚊香液的利润率为 20% ，一套驱蚊器的利润率为 25% ．超市出售 1 套驱蚊器和 4 瓶电热 蚊香液，共可获利 10 元．经过一段时间的销售发现，每天能销售 50 套驱蚊器和 80 瓶电热 蚊香液，为了促进驱蚊器的销售，超市决定对驱蚊器降价处理，其中每降价 1 元，可多卖出 5 套．若超市每天销售驱蚊器要获得 275 元的利润，则每套需降价( )
A ．1 元 B ．2 元 C ．3 元 D ．4 元
1 ．2024
【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到a2 - a -1 = 0，进而得 到a2 = a + 1，利用整体代入法，进行计算即可．
【详解】解：:a 是方程x2 - x -1 = 0 的一个根，
: a2 - a -1 = 0 ， : a2 = a + 1，
: a3 - a2 - a + 2024
= a . (a +1) - a2 - a + 2024
= a2 + a - a2 - a + 2024
= 2024 ；
故答案为：2024
2 ．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关 键．根据一元二次方程的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意得
k -1 = 2 ，
解得k = -1 或 3，
Qk - 3 ≠ 0
即k ≠ 3 ， 故k = -1 ．
故选 A．
3 ．C
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题 型．
因为x = 2024 满足方程ax2 + bx + c = 0，所以 20242 a + 2024b + c = 0 ，两边同时除以 20242 即 可确定所求方程的一个根．
【详解】解：把 x = 2024 代入一元二次方程ax2 + bx + c = 0，得 20242 a + 2024b + c = 0 ， 两边除以20242 ，得
: 是一元二次方程cy2 + by + a = 0 (ac ≠ 0) 的一根， 故选：C．
4 ．(1) x1 = 6 ，x2 = -6 ；
(2) x1 = 2 + ，x2 = 2 - ；
(3) x1 = 1 + ，x2 = 1 - ；
【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．
（1）开平方得到 2x -1= ±3 ，即可求出方程的解；
（2）把原方程配方成 (x - 2)2 = 7 ，再利用开平方法解方程即可；
（3）写出a = 1，b = -2，c = -4 ，求出 Δ = (-2)2 +16 = 20 ，代入 即可得到 方程的解；
（4）移项后因式分解得到(5x + 2)(7x - 6) = 0 ，则5x + 2 = 0 或7x - 6 = 0 ，即可得到方程的 解．
【详解】（1）解：4x2 - 144 = 0 ，
开平方得，2x = ±12 ， : 2x = 12 或2x = -12 ， 解得x1 = 6 ，x2 = -6 ；
（2）解：x2 - 4x - 3 = 0 ， 原方程整理得x2 - 4x = 3 ．
配方，得：x2 - 4x + 4 = 3 + 4 ，即 (x - 2)2 = 7 ， 两边开平方，得x - 2 = ± ,
: x1 = 2 + ，x2 = 2 - ；
（3）解：x2 - 2x - 4 = 0 ， : a = 1，b = -2，c = -4 ， : Δ = (-2)2 +16 = 20 > 0 ，
: x1 = 1 + ，x2 = 1 - ；
（4）解：7x (5x + 2) = 6 (5x + 2) ， 移项得，7x (5x + 2) - 6(5x + 2) = 0 ， 因式分解得，(5x + 2)(7x - 6) = 0 ， : 5x + 2 = 0 或7x - 6 = 0 ，
解得
5 ．(1) x1 = -3 + 2 ，x2 = -3 - 2
【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两 边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式．
（1）首先移项，然后方程两边同时加上 9 即可完成配方，然后解方程即可求解；
（2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解：x2 + 6x -11 = 0 : x2 + 6x = 11 ，
: x2 + 6x + 9 = 11+ 9 ， : (x + 3)2 = 20 ，
: x +3 = ±2 ，
x1 = -3 + 2 ，x2 = -3 - 2 ，
（2）解：16x2 + 8x = 3 : 16x2 + 8x - 3 = 0
: a = 16 ，b = 8 ，c = -3，
:Δ = b2 - 4ac = 82 - 4× 16 × (-3) = 256 ，
: x1 = ，x2 = - ．
6 ．(1) x1 = 2 + ，x2 = 2 -
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方， 再解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ x2 - 4x + 1 = 0 ， : x2 - 4x = -1 ，
: x2 - 4x + 4 = 3 ， : (x - 2)2 = 3 ，
: x - 2 = ± ,
解得x1 = 2 + ，x2 = 2 - ；
（2）解；∵ 2x2 - 3x +1 = 0 ， : a = 2，b = -3，c = 1 ，
: Δ = (-3)2 - 4× 2 × 1 = 1 > 0 ，
解得
7 ．(1)见解析
(2) x = 7
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与解一元二次方程，熟练掌 握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可；
（2）把 x =1 代入方程，求出 m 的值，进而解方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵ a = 1 ，b = -(m + 4) ，c = 2m -1，
: Δ = b2 - 4ac
= [-(m + 4)]2 - 4× 1. (2m -1)
= m2 + 20 ，
: m2 ≥ 0 ，
: m2 + 20 > 0 ，即 Δ > 0 ，
:不论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ x =1 是一元二次方程一个根， : 1- (m + 4) + 2m -1 = 0 ，
解得m = 4 ，
此时，原一元二次方程为x2 - 8x + 7 = 0 ， 解得x1 = 1 ，x2 = 7 ，
所以方程的另一个根为x = 7 ．
8 ．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与 Δ = b2 - 4ac 有如下关系：①当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的 两个实数根；②当 Δ = 0 时，方程有两个相等的两个实数根；③当 Δ < 0 时，方程无实数 根．及一元二次方程的定义即可得出结果．
【详解】解：当 m ≠ 0 时，方程为一元二次方程，由题意得：
Δ = (2m +1)2 - 4m(m -1) ≥ 0 ， 即4m2 + 4m +1- 4m2 + 4m ≥ 0 ， 解得： 且m ≠ 0 ，
当m = 0 时，方程mx2 + (2m +1)x + m -1 = 0 为x -1 = 0 ，它是一元一次方程，有实数根， :关于 x 的方程(m - 2)x2 + (2m +1)x + m - 2 = 0 有实数根，则 m 的取值范围是 ． 故答案为
9 ．C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌 握一次函数与反比例函数的图象是解题的关键．
根据判别式求出k < 0 ，据此判断两个函数分布和经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程x2 + 2x +1- k = 0 无实数根，
: Δ = 4 - 4(1 - k) < 0 ，
解得：k < 0 ，
:函数y = kx 图象经过第二、四象限，
:函数 的图象分布在第二、四象限， 故两个函数图象有 2 个交点．
故选：C．
10 ．
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据根与系数的关系可得 再由 = x1x2 + x1 + x2 +1 即可得到答案；
（2）根据根与系数的关系可得 x1 + x2 = -2，x1x2 = - 3 ，再由 即可得到答案．
2 x x x x1212
【详解】（1）解：: x1 、x2 是方程2x2 + 4x - 3 = 0 的两个根，
:(x1 +1)(x2 +1)
= x1x2 + x1 + x2 + 1
（2）解：: x1 、x2 是方程2x2 + 4x - 3 = 0 的两个根， : x1 + x2 = -2，x1x2 = -
11 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利 用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 x (x + 2) - 3 = 0 展开并整理为标准形式：x2 + 2x - 3 = 0 其中 a = 1 ，b = 2 ，c = -3．
:点(m, n)即(-2, -3) 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C．
12 ．-1
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、多项式乘以多项式法则和代数式求值．利 用一元二次方程根与系数关系得到m + n = 3, mn = 1 ，再利用多项式的乘法则计算，整体代入 计算即可．
【详解】解：:m ，n 为一元二次方程x2 - 3x +1 = 0的两个根， : m + n = 3, mn = 1 ，
: (m -1)(n -1) = mn - (m + n)+1 = 1- 3 +1 = -1， 故答案为：-1
13 ．(1)通道的宽是 2 米
(2)40 元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）设通道的宽是x 米，根据题意列出方程，解出x 的值即可解答；
（2）设每个车位的月租金上涨y 元，根据题意列出方程，解出y 的值，结合优惠大众选择 较小的y 的值即可解答．
【详解】（1）解：设通道的宽是x 米，
由题意得，(50 - 2x )(30 - 2x ) = 1196 ，
解得：x1 = 2 ，x2 = 38 （不符合题意，舍去）， 答：通道的宽是 2 米．
（2）解：设每个车位的月租金上涨y 元， 由题意得 解得：y1 = 40 ，y2 = 400 ，
又Q 能优惠大众，
:y = 40 ，
答：当每个车位的月租金上涨 40 元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为 14400 元．
14 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理清题意，正确列出一元二次方程是解答本题的 关键．
根据“5 月1 日、5 月2 日和5 月3 日的全国旅游收入之和为1027.96 亿元”，列出一元二次方程 即可．
【详解】解：解：设全国旅游收入日平均增长率为 x ，由题意得：
207.9 + 207.9 (1+ x) + 207.9(1+ x)2 = 1027.96 ， 故选：D．
15 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先设每箱小米应降价x 元．因为每箱的进价为 80 元，售价为 120 元，每天可销售 20 箱，单价每降低 1 元，每天可多销售 2 箱，则
(120 - 80 - x)(20 + 2x) = 1050 ，再解出方程，即可作答．
【详解】解：设每箱小米应降价x 元，
根据题意，得(120 - 80 - x)(20 + 2x) = 1050 ， 解得x1 = 5 ，x2 = 25 ，
∵要使顾客尽量得到实惠， : x =5 不合题意，舍去， :每箱小米应降价 25 元． 故选：D
16 ．(1)①,理由见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤 是解题的关键．
（1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可；
（2）利用分式方程求解的步骤求解即可．
【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的 1 没有 乘x2 - 4 ；
（2）解：去分母，得：x + 2 - 4 = x2 - 4 ， 整理，得：x2 - x - 2 = 0 ，
解得：x1 = -1，x2 = 2 ，
检验：当x1 = -1 时，x2 - 4 ≠ 0 ；当 x2 = 2 时，x2 - 4 = 0 ，
可知x2 = 2 是增根，舍去.
所以，原方程的根是x = -1 ．
17 ．
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
先将分式方程两边同时乘以(x +1)(x -1) 化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验 即可求解．
解 3x -1- (2x -1)(x +1) = x2 -1
3x -1- (2x2 + 2x - x -1)- x2 +1 = 0 3x -1- 2x2 - x +1 - x2 +1 = 0
3x2 - 2x - 1 = 0 ，
解得 ，
经检验：当x1 = 1 时， = 0 ，当 时，
∴原分式方程的解为 ．
18 ．x = 7
【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的
关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以 (x2 - 9)得，
4x - (x2 - 9) = 2 (x - 3) - 2(x + 3) ， x2 - 4x - 21 = 0 ，
(x - 7)(x + 3) = 0 ，
x1 = 7 ，x2 = -3 ，
经检验：x2 = -3 是原方程的增根，舍去；
所以原方程的解为x = 7 ．
19 ．C
【分析】本题考查了根与系数的关系的运用，由根与系数的关系可以求出 a2 + 2023a = 2 ， a + β = -2023 ，然后a2 + 2024a + β 变形为a2 + 2023a + a + β , 再整体代入可以求出其值．
【详解】解：∵ a 和 β 是方程x2 + 2023x - 2 = 0 的两个解， : a2 + 2023a - 2 = 0 ，a + β = -2023 ，
: a2 + 2023a = 2 ，
: a2 + 2024a + β
= a2 + 2023a + a + β
= 2 - 2023
= -2021 ， 故选：C．
20 ．A
【分析】本题考查根的定义及根与系数的关系由题意得mn = 1 ，m2 - 2025m +1 = 0 ，将代数 式变形后再代入求解即可．
【详解】解：∵方程x2 - 2025x +1 = 0 的两根分别为m 、n ， : mn = 1 ，m2 - 2025m +1 = 0 ，m ≠ 0 ，
: m2 - 2025m = -1 ， : m2 -
= m2 - 2025m
= -1 ．
故选：A．
21 ．0
【分析】本题主要考查了方程的解， 以及根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关 系是解题的关键．根据方程的解得到a2 - 2a - 3 = 0 ，利用根与系数的关系得到ab= -3 ，最后 代入式子求解，即可解题．
【详解】解：∵a, b 是一元二次方程x2 - 2x - 3 = 0的两个不相等的实数根，
: a 2 - 2 a = 3 ，
: a2 - 2a + ab = 3 - 3 = 0 ， 故答案为：0．
22 ．(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析
(2) k = -2 或k = 3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知 一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可；
（2）利用根与系数的关系得到 a + β = 2k - 1, aβ = k2 - k ，再根据已知条件得到关于 k 的方
程，解方程即可．
【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根． 理由：Qa = 1 ≠ 0
: 原方程为一元二次方程．
QΔ = (2k -1)2 - 4(k2 - k) = 4k2 - 4k +1- 4k2 + 4k = 1 > 0
:方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由根系关系，得 a + β = 2k - 1, aβ = k2 - k ． Q (a - 2 β)(2a - β) + 4 = 0 ，
:2a2 - 5aβ + 2 β2 + 4 = 0 ．
配方，得2(a + β)2 - 9aβ + 4 = 0 ．
:2(2k - 1)2 - 9(k2 - k) + 4 = 0 整理，得k2 - k - 6 = 0
解得k = -2 ，或 k = 3 ．
23 ．(1)见解析
(2)2015
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的 定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键；
（1）证明方程的判别式大于 0 即可；
（2）当k = 1 时，原方程为x2 + 2x - 2 = 0，根据一元二次方程根与系数的关系和方程解的定
义可得m2 + 2m - 2 = 0, m + n = -2 ，然后把所求式子变形后再整体代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵Δ = (2k)2 - 4(k2 - 3)
= 4k2 - 4k2 +12
= 12 > 0 ，
:不论k 为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：当 k = 1 时，原方程为x2 + 2x - 2 = 0 ，
∵ m 、n 是此方程的两个根， : m2 + 2m - 2 = 0, m + n = -2 ， : m2 + 2m = 2
: 2025 - m2 + 2m + 4n
= 2025 - (m2 + 2m)+ 4(m + n)
= 2025 - 2 + 4 × (-2)
= 2015 ．
24 ．(1)见解析
(2) m = 2 + 或m = 2 -
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0, a, b, c
为常数)的根的判别式 Δ = b2 - 4ac ，当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时， 方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根．一元二次方程根与系数的关系： 若x1, x2 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根 掌握以上知 识是解题的关键．
（1）计算一元二次方程根的判别式 Δ = (m - 2)2 + 1 > 0 ，即可得证；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知条件列出方程，得到 (x1 + x2 )2 - 4x1x2 = 28 ，解方程即可求解．
【详解】（1）解： x2 + (m - 3)x - m + 2 = 0
: Δ = (m - 3)2 - 4×
= m2 - 6m + 9 - 4 + 2m
= m2 - 4m + 5
= (m - 2)2 +1 > 0 ．
:不论m 取何值，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）: x2 + (m - 3)x - m + 2 = 0 的两个根分别为x1, x2 ，且 x1 > x2 ， : x1 + x2 = - = -2 (m - 3) = 6 - 2m ，x1x2 = 2 (-m + 2) = 4 - 2m
: x1 - x2 = 2
: (x1 - x2 )2 = 28
即(x1 + x2 )2 - 4x1x2 = 28
: (6 - 2m)2 - 4(4 - 2m) = 28
解得：m = 2 + 或m = 2 - ．
25 ．D
【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得 x = ，再变形为
结合非负数的性质即可得解．
【详解】解：∵正实数x ，y 满足xy = 1，
的最小值为 1， 故选：D．
26 ．2025
【分析】本题考查了配方法的应用， 非负数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判 别式．把方程配成关于x 的一元二次方程，利用根的判别式求得y 的值，再代入原方程求得 x 的值，从而求解．
【详解】解：∵ x2 + y2 - xy - x + 2y + 1 = 0 ， : x2 - (y + 1)x + (y2 + 2y + 1) = 0 ，
∵实数 x 满足x2 + y2 - xy - x + 2y + 1 = 0 ，
: Δ = b2 - 4ac = - (y +1)2 - 4(y2 + 2y +1)
= -3y2 - 6y - 3 = -2(y +1)2 ≥ 0 ， ∵ -2(y +1)2 ≤ 0 ，
: y +1 = 0 ， 解得y = -1，
把y = -1代入原方程，得x2 = 0 ， : x = 0 ，
: 2024x - 2025y = 2025 ， 故答案为：2025 ．
27 ．A
【分析】本题主要考查解一元二次方程-配方法、估算无理数的大小，由方程有唯一解知
x2 - 2( × - 2)x + c =0 能配成完全平方式，利用配方法将方程配方得(x - 5)2 = 0 ， 再根据估算无理数大小的方法即可作出选择．
【详解】解：∵关于 x 的方程x2 - 2( × - 2)x + c = 0 有唯一解， : x2 - 2( × - 2)x + c 能配成完全平方式，
∵ × - 2 = 5 ，
:x2 - (2 × 5)x + c = x2 - (2 × 5)x + (5)2 = (x - 5)2 ， : (x - 5)2 = 0 ，
:关于 x 的方程x2 - 2( × - 2)x + c = 0 的唯一解为x = 5 ，
:该解在 7 和 8 之间．
故选：A．
(2) n = 1
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式， 一元二次方程的根的判别式等，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把平移后的一次函数解析式与反比例函数解析式联立整理得到x2 + (5 - n)x + 4 = 0 ，根 据俩图象只有一个公共点，则 Δ =(5 - n)2 -16 = 0 ，求解并检验即可．
【详解】（1）解：由题意得，将(-4,1) 代入y = k1x + 5 和y =
得：-4k1 + 5 = 1, k2 = -4× 1，
解得：k1 = 1, k2 = -4 ，
:反比例函数和一次函数的表达式分别为和y = x + 5 ；
（2）解：由题意得，平移后的函数解析式为：y = x + 5 - n ，
与反比例函数解析式联立得
整理得：x2 + (5 - n)x + 4 = 0 ，
∵平移后的图象与反比例函数 图象只有一个交点， : (5 - n)2 -16 = 0 ，
解得：n = 1 或n = 9 ，
当n = 9 时，一次函数为y = x - 4 ，其图象经过第一、三、四象限， 不会与y = 相交，故舍；n = 1 ，符合题意，
: n = 1 ．
29 ．1 < t < 9
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，一 次函数图象的平移问题，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用 是解题的关键．
先求出y2 = -x - 5 ，则则平移后的直线为 y2 = -x - 5 + t ，反比例函数解析式联立得到 x2 + (5 - t)x + 4 = 0 ，根据 Δ = 0 求出t ，即可求解 t 的取值范围．
【详解】解：将点 A(m, -1) ，B (-1, n) 代入y1 = 得：m = -4, n = -4 ， : A(-4, -1) ，B (-1, -4) ，
解得： : y2 = -x - 5 ，
则平移后的直线为y2 = -x - 5 + t 则联立
整理得：x2 + (5 - t)x + 4 = 0 ，
: Δ = (5 - t)2 -16 = 0 ， 解得：t = 1 或t = 9 ，
:平移后的函数图象与反比例函数的图象没有交点，则t 的取值范围是：1 < t < 9 ， 故答案为：1 < t < 9 ．
30 ．8
【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系；把 y = 代入y = -2x + n ，整理得到方程 2x2 - nx + 6 = 0 ，由根与系数的关系得到 x1 + x2 = ，
得出 解得即可．
【详解】解：:反比例函数y = 与一次函数y= -2x + n 有两个交点，
:联立方程得 整理得，2x2 - nx + 6 = 0 ，
: x1, x2 是方程2x2 - nx + 6 = 0 两根，
又x1 + x2 = 4 ，
: n = 8 ，
故答案为：8．
31 ．(1)12
(2) m = 16 ，平行四边形 ABCD 是菱形，菱形的边长是 4
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判 别式和菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）将 x =6 代入原方程可求出m 的值；
（2）根据菱形的性质可得出AB = AD ，结合根的判别式，即可得出关于m 的一元二次方程， 解之即可得出m 的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长．
【详解】（1）解：Q AB、AD 的长是关于x 的一元二次方程x2 - 8x + m = 0的两个实数根，AB 的长为 6，
:把x = 6 代入x2 - 8x + m = 0 ，
得：62 - 8× 6 + m = 0 ， 解得：m = 12 ；
（2）解：Q平行四边形ABCD 是菱形，
:AB = AD ，
:方程x2 - 8x + m = 0有两个相等的实数根，
:Δ = (-8)2 - 4m = 0 ，
:m = 16 ，
此时方程为x2 - 8x +16 = 0 ，
:x1 = x2 = 4 ，
: AB = AD = 4 ，即菱形的边长为 4；
答：m = 16 ，平行四边形 ABCD 是菱形，菱形的边长是 4．
32 ．C
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，根据正方形的性质结合反比例函数的解析 式，求出B 点坐标，设DE= a ，根据两个图形的面积相等，求出 E 点坐标，代入反比例函 数解析式，求出a 的值即可．
【详解】解：∵正方形OABC ，反比例函数 y = 在第一象限的图象经过 B 、E 两点， : SOABC = 16 ，
: OA = AB = 4 ， : B (4, 4) ，
设DE = a ，
∵正方形OABC 和矩形BDEF 的面积相等， : DE . BD = 16 ，
∵点E 在反比例函数的图象上，
解得：a = 2 + 2或a = -2 + 2 （舍去）；
经检验 是原方程的解；
故选 C．
33 ．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形中位线定理，先利用 因式分解法解方程得到这个三角形的两边长分别为 2 ，9，再由构成三角形的条件得到18< 这个三角形的周长< 22 ，由三角形中位线定理推出9 100 ，为尽快减少库存，每瓶该饮料售价为 11 元．
故答案为：11 元．
36 ．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解题的关键．设一瓶电热蚊香液的进价为 x 元，则电热蚊香液的售价为1.2x 元，则一套 驱蚊器的售价为 6x 元，进价为4.8x 元，列出方程解出即可；
【详解】解： 设一瓶电热蚊香液的进价为 x 元，则电热蚊香液的售价为1.2x 元，则一套驱蚊 器的售价为 6x 元，进价为4.8x 元，由题意得：
4.8x ×25% + 4x ×20% = 10 ， 解得：x=5,
所以一套驱蚊器的售价为：5×6=30（元），一套驱蚊器的利润30 - 4.8x = 30 - 24 = 6 元 设每套驱蚊器降价 a 元，由题意得：
(6 - a )(50 + 5a ) = 275 ，
解得：a1 = 1 , a2 = -5 （舍去），
故选：A.