初中数学苏科版（2024）九年级上册一元二次方程的解法同步达标检测题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册一元二次方程的解法同步达标检测题，共31页。试卷主要包含了85 ，“**”难度系数 0等内容，欢迎下载使用。
（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点梳理归纳与题型目录】
【知识点 1】直接开方法解一元二次方程
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法．
【知识点 2】一元二次方程的解法___________配方法
（1）配方法的概念：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．配方 的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解；
（2）配方法的理论依据：完全平方公式（a ± b）2 = a2 ± 2ab + b2 ；
（3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①把原方程化为ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0) 的形式；
②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为 1；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定 此方程无实数解．
【知识点 3】配方法的应用
（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法配成完全平方，从而比较出大小．
（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为 0，左边配成完全 平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可 求出最值．
【题型目录】
【题型一】解一元二次方程--直接开平方法
【题型二】解一元二次方程--配方法
【题型三】配方法的基本应用--求最值
【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合）
【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合）
【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合）
【题型七】解一元二次方程（配方法+转化思想+规律问题）
【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合）
四、【题型展示与方法点拨】
【特别说明】序号前带“*”难度系数 0.85 ，“**”难度系数 0.65 ，“***”难度系数 0.4． 【题型一】解一元二次方程--直接开平方法
*【例题 1】（24-25 九年级上·陕西延安·期末）
1 ．解方程：(2x + 1)2 - 1 = 8 ． *【变式 1】
（24-25 八年级下·安徽六安·阶段练习）
2 ．解方程：(3x -1)2 = (x -1)2 ． *【变式 2】
（24-25 八年级下·山东济宁·期中）
3 ．关于 x 的方程(x - 2)2 + 2025 = 0 的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根 D ．不能确定
【题型二】解一元二次方程--配方法
*【例题 1】．（23-24 九年级上·全国·课后作业）（二次项系数为 1）
4 ．用配方法解方程：x2 - 4x - 7 = 0 ． *【变式 1】
（23-24 九年级上·全国·课后作业）
（二次项系数不为 1）
5 ．用配方法解方程：3x2 -8x+3 ＝0． *【变式 2】
（24-25 八年级下·安徽亳州·期中）
6 ．将一元二次方程2x2 -12x -1 = 0 配方成(x + a )2 = b 的形式，则a ，b 的值为( )
A ．a = 3 ，b = 10 B ．a = -3 ，b = 10
C ．a = 3 ， D ．a = -3 ，
【题型三】配方法的基本应用--求最值
*【例题 1】（23-24 八年级下·浙江宁波·期末）
7 ．已知实数 x, y 满足 4x2 - x + 4xy + y2 = 1 ，设 M = x + y ，则 M 的最大值是 ( )
A ． B ． C ． D ．1
*【变式 1】
（23-24 九年级上·江苏·期中）
8 ．已知代数式x2 + 2mx + m -1的最小值为 则m 的值为 ．
*【变式 2】
（23-24 九年级上·全国·课后作业）
9 ．设a, b 为实数，求代数式a2 + b2 - 4a - 2b + 6 的最小值．
【题型四】解一元二次方程（直接开平方法+配方法综合） *【例题 1】（23-24 九年级上·江苏连云港·阶段练习）
10 ．按照指定方法解下列方程：
(1) (2x -1)2 = 9 （用直接开平方法）
(2) 2x2 - 9x + 8 = 0 （用配方法） *【变式 1】
11 ．用指定方法解下列一元二次方程．
(1) x2 - 36 = 0 （直接开平方法）
(2) x2 - 4x = 2 （配方法） *【变式 2】
（24-25 九年级上·山东青岛·期中）
12 ．解方程
(2) 2x2 - 4x -1 = 0 （用配方法）
【题型五】解一元二次方程（配方法+新定义综合）
**【例题 1】（2025·广东广州·模拟预测）
13 ．定义新运算 例如：4Θ3 = 4 - 2 × 3 = -2 ，
-1Θ2 = (-1)2 + 2 = 3 ．若xΘ1 = 17 ，则 x 的值为 ． **【变式 1】
（24-25 八年级下·安徽蚌埠·期中）
14 ．对于两个不相等的实数 a ，b，我们规定min{a, b}表示 a ，b 中较小的数，如：
min {0,1}=0 ，若min{x2 , x2 - 6x}=9 ，则 x 的值为( )
A ．-3 或3 + 3 B ．3 + 3 或3 - 3
C ． ±3 或3 ± 3 D ．3 或-3
**【变式 2】
（24-25 九年级上·江苏泰州·期中）
15 ．定义：ax2 + bx + c = 0与cx2 + bx + a = 0，其中 ac ≠ 0, a ≠ c ，这样的两个方程称为“互为 友好方程”，其中一个方程称为另一个方程的友好方程．
(1) x2 - 6x + 5 = 0 的友好方程是___________；
(2)互为友好方程的两个方程如果有相同的根．求出这个公共根；
(3)如果ax2 + bx + c = 0的两个根为x1 = m, x2 = n ．求友好方程的两个根．
【题型六】解一元二次方程（配方法+几何综合）
**【例题 1】（22-23 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）
16 ．如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 上有两动点 E 和 F，连接BE 和BF ，若 AE = CF ， AC - AB = 9 ，AC - BC = 2 ，则 BE + BF 的最小值是 ．
**【变式 1】
（24-25 九年级上·贵州铜仁·期中）
17 ．如图，在直角三角形ABC 中，上ACB = 90。，AB = 10 ，AC = 6 ，点 M 是边AC 上一动 点，点 D ，E 分别是AB ，MB 的中点，若点 N 在边BC 上，且CN = AM ，点 F，G 分别是
MN ，AN 的中点，四边形DEFG 的最大面积是 ．
**【变式 2】
（24-25 八年级下·江苏南京·期中）
18．如图，已知AB = 10 ，P 为线段AB 上的一个动点，分别以AP, PB 为边在AB 的同侧作菱 形APCD 和菱形PBFE ，点P, C, E 在一条直线上，上DAP = 60。，M , N 分别是对角线AC, BE 的中点．当点P 在线段AB 上移动时，点MN 之间的距离最短为 ．
【题型七】解一元二次方程（配方法+转化思想+规律问题）
**【例题 1】（24-25 九年级上·四川成都·期末）
19 ．已知 ， ， 且n 为正整数）．若 S1 . S2 . S3 S7 = a ，则a 的值为 ．
**【变式 1】
（23-24 七年级上·江苏盐城·阶段练习）
20．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，若 第 n 个图形需要黑色棋子的个数是 440 个，则 n 的值为( )
A ．19 B ．20 C ．21 D ．22
**【变式 2】
（21-22 九年级·江苏南京·自主招生）
21 ．已知 则 n = ．
m n n - m m
【题型八】解一元二次方程（配方法+一次函数综合）
**【例题 1】（23-24 八年级下·广西梧州·期中）
22 ．先阅读下面内容，再解决问题：
若关于m 、n 的方程m2 + 2m + n2 - 6n +10 = 0 ，求 m 、n 的值． 解；因为m2 + 2m + n2 - 6n +10 = 0
所以m2 + 2m + n2 - 6n +1+ 9 = 0 所以m2 + 2 m +1+ n2 - 6n + 9 = 0 即(m +1)2 + (n - 3)2 = 0
所以(m +1)2 = 0 ，(n - 3)2 = 0
所以m +1 = 0 ，n - 3 = 0
解得m = -1 ，n = 3
(1)模仿阅读内容解关于x 、y 的方程，已知x2 + 4x + y2 - 2y + 5 = 0 ，求 x 、y 的值；
(2)若a 、b 是方程a2 - 8a + b2 + 4b + 20 = 0的解，求关于x 的一次函数y = ax + b 图象与坐标 轴交点所围成的三角形的面积．
**【变式 1】
（2023·浙江台州·一模）
23 ．已知点A(a, b) 在一次函数y = 2x -1 图象上，则a2 + b + 3 的最小值为 ． **【变式 2】
（2023·江苏盐城·二模）
24 ．若一个函数的图像上存在横、纵坐标之和等于 0 的点，则称该点为这个函数图像的“零 点”．在平面直角坐标系中，已知点A(-2, 2)、B (0, 2) ，若一次函数y = kx -1 图像上的“零点” 为点 C，则当△ABC 为等腰三角形时，k 的值为 ．
1 ．x1 = -2 ，x2 = 1
【分析】本题考查了一元二次方程的求解知识点，解题的关键是利用直接开平方法将方程转 化为两个一元一次方程．
先对原方程进行移项，得到完全平方式等于一个常数的形式，再利用直接开平方法求解． 【详解】解：(2x + 1)2 - 1 = 8 ，
移项，得(2x +1)2 = 9 ，
:2x +1 = ±3 ，
:x1 = -2 ，x2 = 1．
2 ．x1 = 0 ， ．
【分析】本题考查用直接开平方法解一元二次方程．用直接开平方法求解可． 【详解】解：(3x -1)2 = (x -1)2 ，
开方得3x -1 = ±(x -1) ，
: 3x - 1 = x - 1 或3x -1 = -x + 1，
: x1 = 0 ， ．
3 ．C
【分析】本题考查了偶次方的非负性， 根据平方根的定义即可判断，利用偶次方的非负性是 解题的关键．
【详解】解：∵ (x - 2)2 + 2025 = 0 ， : (x - 2)2 = -2025 ，
∵ (x - 2)2 ≥ 0 ，
:这个一元二次方程没实数根， 故选：C．
4 ．x1 = 2 + ·、 ，x2 = 2 - ·、
【分析】本题考查配方法求解一元二次方程；把方程化为(x + a)2 = b(b ≥ 0) ，开方化为一元 一次方程，求解即可．
【详解】解：x2 - 4x - 7 = 0
移项得x2 - 4x = 7 ，
配方得x2 - 4x + 4 = 7 + 4 ，即 (x - 2)2 = 11，
开方得x - 2 = ± .
: x1 = 2 + 、 ，
【分析】利用完全平方公式进行配方，解一元二次方程即可得． 【详解】解：3x2 - 8x + 3 = 0 ，
【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
6 ．D
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解 决问题的关键．先化二次项系数为1，然后把方程左边写成完全平方的形式，从而得到a 、b 的值．
【详解】解：2x2 -12x -1 = 0 ，
所以 故选：D．
7 ．B
【分析】根据4x2 - x + 4xy + y2 = 1，可以得到(2x + y)2 = x + 1 ，然后可以得到 2x + y = ± ,
1 5
进而得到x + y = ± - x ，再设 = a ，即可得到x + y = ±a - (a2 -1)= -(a ± )2 + ，然后即
2 4
可写出x + y 的最大值，从而可以得到M 的最大值．本题考查配方法的应用、非负数的性质， 解答本题的关键是明确题意，求出M 的最大值．
【详解】解：Q 4x2 - x + 4xy + y2 = 1 ， : (2x + y)2 = x + 1，
: 2x + y = ± ,
:x + y = ± - x ，
设 = a ，则 x = a2 -1 ，
则x + y = ±a - (a2 -1) = -(a ± 1 )2 + 5 ，
2 4
:x + y 的最大值为 ， 即M 的最大值为 ， 故选：B．
8 ． ##0.5
【分析】本题考查了配方法及一元二次方程的求解．将代数式x2 + 2mx + m -1配方成 (x + m)2 - m2 + m -1，即可求解．
【详解】解：∵ x2 + 2mx + m -1 = x2 + 2mx + m2 - m2 + m -1 = (x + m)2 - m2 + m -1 : x2 + 2mx + m -1的最小值为-m2 + m - 1 ，
整理得：4m2 - 4m +1 = 0
解得：
故答案为：
9 ．1
【分析】利用完全平方公式和平方式的非负性求解即可．
【详解】解：a2 + b2 - 4a - 2b + 6
= (a2 - 4a + 4) + (b2 - 2b + 1) + 1
= (a - 2)2 + (b - 1)2 + 1 ，
: (a - 2)2 ≥ 0 ，(b -1)2 ≥ 0 ， : (a - 2)2 + (b - 1)2 ≥ 1 ，
: a2 + b2 - 4a - 2b + 6 的最小值为 1．
【点睛】本题考查配方法的应用、平方式的非负性， 熟记完全平方公式，重新组合利用公式 求解是解答的关键．
10 ．(1) x1 = 2, x2 = -1
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）两边开平方得到 2x -1= ±3 ，即可求出方程的解；
（2）把原方程配方成 再利用开平方法解方程即可． 【详解】（1）解：(2x -1)2 = 9 ，
开平方得，2x -1 = ±3 ， : 2x -1 = 3 或2x -1= -3 ， 解得：x1 = 2, x2 = -1 ；
（2）解：原方程整理得 2x2 - 9x = -8 ， 二次项系数化为
配方，得 即(çè x - 2 = ， 两边开平方，得
11 ．(1) x1 = 6 ，x2 = -6 ；
(2) x1 = 2 + ，x2 = 2 -
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据要求结合方程的特点灵活运用相关解法是解题的 关键．
（1 ）将常数项移到等号右侧，利用直接开平方法求解即可；
（2 ）方程两边同时加上 4，左边配成完全平方式，然后两边开平方即可得． 【详解】（1）解：x2 - 36 = 0 ，
x2 = 36 ，
x = ±6 ，
: x1 = 6 ，x2 = -6 ；
（2）x2 - 4x = 2 ， x2 - 4x + 4 = 2 + 4 ， (x - 2)2 = 6 ，
x - 2 = ± ,
: x1 = 2 + ，x2 = 2 - ；
12 ．(1) x1 = ，
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法和步骤是解题关键．
（1）先移项，再将系数化为 1，最后根据直接开平方法求解即可；
（2）先移项，再将系数化为 1，最后根据配方法求解即可． 解
（2）解：2x2 - 4x -1 = 0 ，

13 ．-4 或 19##19 或-4
【分析】本题考查了解一元二次方程、解一元一次方程、新定义运算等知识， 解题的关键是 根据题意找到等量关系式．根据新定义运算法则，分别两种情况，列出方程求解即可．
【详解】解：当 x ≥ 1时， xΘ1= x - 2× 1 = 17 ，
: x = 19 ，
当x < 1时，
xΘ1 = x2 +1 = 17 ，
解得x = 4 （舍去）或 -4 ．
综上所述，x 的值为-4 或 19．
故答案为：-4 或 19．
14 ．A
【分析】本题考查新定义运算， 解一元二次方程，解不等式等，注意分情况讨论是解题的关 键．分x2 < x2 - 6x 和x2 > x2 - 6x 两种情况，分别计算即可．
【详解】解：当 x2 < x2 - 6x ，即 x < 0 时， x2 = 9 ，
解得x = -3 ，
当x2 > x2 - 6x ，即 x > 0 时， x2 - 6x = 9 ，
解得
综上，x 的值为-3 或 故选：A．
15 ．(1) 5x2 - 6x + 1 = 0
(2)1 或-1
【分析】本题考查一元二次方程的解，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“互为友 好方程”的定义．
（1）直接根据新定义求解即可；
（2）设这个公共根为t ，可得at2 + bt + c = 0, ct2 + bt + a = 0 ，有(a - c)t2 + c - a = 0 ，可解得t = 1 或t = -1；
（3）由 ax2 + bx + c = 0的两个根为x1 = m, x2 = n ，知 am2 + bm + c = 0, an2 + bn + c = 0 ，故
即可得cx2 + bx + a = 0的两根为 , ． 【详解】（1）解：根据定义 x2 - 6x + 5 = 0 的友好方程是5x2 - 6x + 1 = 0 ；
故答案为：5x2 - 6x + 1 = 0 ；
（2）设这个公共根为 t ，
则at2 + bt + c = 0, ct2 + bt + a = 0 ， : (a - c)t2 + c - a = 0 ，
: a ≠ c ，
: t2 = 1，
解得t = 1 或t = -1；
（3）: ax2 + bx + c = 0的两个根为x1 = m, x2 = n ， : am2 + bm + c = 0, an2 + bn + c = 0 ，
: ac ≠ 0 ，
: m ≠ 0, n ≠ 0 ，
即
: cx2 + bx + a = 0的两根为
16 ．17
【分析】如图， 连接DF ，BD ，由全等三角形判定（SAS ）可以证得 △ABE≌△CDF ，得到 DF = BE ，进而得到BE + BF ≥ BD ，再根据题意及勾股定理求出AC 的值，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接DF ，BD ， Q 四边形ABCD 是矩形，
: AB ⅡCD ，AB = CD ，上ABC = 90° ,
:上BAE = 上DCF ，
Q AE = CF ，
:△ABE≌△CDF (SAS ) ，
:BE = DF ，
Q BF + DF ≥ BD ，
:BE + BF ≥ BD ，
又Q AC ，BD 为矩形的对角线， : AC = BD
:BE + BF ≥ AC ，
Q△ABC 是直角三角形，AC - AB = 9 ，AC - BC = 2 ， : AB2 + BC2 = AC2 ，
:(AC - 9)2 + (AC - 2)2 = AC2
移项得AC2 - 22AC + 85 = 0 ，
配方得AC2 - 22AC +121 = 121- 85 ， (AC -11)2 = 36 ，
解得AC = 17 ，或 AC = 5
Q AC - AB = 9 > 5 ，
: AC = 17 ，
:BE + BF ≥ 17 ， 故答案为：17．
【点睛】本题考查了矩形的性质， 全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理 的应用及解一元二次方程，熟知相关的判定与性质及解一元二次方程方法是解题关键．
17 ．4
【分析】根据三角形中位线定理可得 ， 然后得到DE Ⅱ FG ，
DE = FG ，结合 AC 丄 BC 证明出平行四边形DEFG 是矩形，然后利用勾股定理求出
设DE = FG = x ，表示出 然后根据矩 形的面积公式表示出四边形DEFG 的面积，然后根据配方法结合平方的非负性求解即可．
【详解】解：如图，
∵点 D ，E 分别是AB ，MB 的中点， : DE 是 △ABM 的中位线，
DE Ⅱ AM ，且 ，
又 F、G 分别是MN、AN 的中点， : FG Ⅱ ,
: DE Ⅱ FG ，DE = FG ，
:四边形DEFG 是平行四边形， ∵ 上ACB = 90。
: AC 丄 BC
: DE 丄 DG
:平行四边形DEFG 是矩形
∵ 上ACB = 90。，AB = 10 ，AC = 6 ，
:设DE = FG = x ，则 CN = AM = 2DE = 2x
: CM = AC - AM = 8 - 2x
: BN = BC - NC = 8 - 2x
:四边形DEFG 面积= x (4 - x ) = -x2 + 4x = - (x - 2)2 + 4 ． :- (x - 2)2 ≤ 0
:- (x - 2)2 + 4 ≤ 4
:四边形DEFG 的最大面积是 4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理， 矩形的性质和判定，勾股定理，配方法的应 用等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键．
18 ．
【分析】连接PM 、PN ．首先证明 上MPN = 90° , 设PA = 2a ，则PB = 10 - 2a ，PM = a ， , 构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．本题考查菱形的性质、 勾股定理、配方法的应用等知识， 解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用配方法解决 最值问题．
【详解】解：连接PM 、PN ．
Q 四边形APCD ，四边形
PBFE 是菱形，上DAP = 60° ,
:上APC = 120° , 上EPB = 60° ,
QM ，N 分别是对角线AC ，BE 的中点，
:上MPN = 60° + 30° = 90° ,
设PA = 2a ，
则 PN = (5 - a) ，
75
4
2 2 2 15 2
,
:MN = a + [ 3(5 - a)] = 4a - 30a + 75 = 4(a - ) + 2
当 时，则 此时有最小值， 即a = 3 时 : MN 有最小值，最小值为 5 ，
2
故答案为： ．
19 ．4 + 或4 -
【分析】本题考查了分式的运算、解一元二次方程，熟练掌握分式的运算法则和配方法解一 元二次方程是解题的关键．根据题意，用a 分别表示出S1 至S7 ，再由 S1 . S2 . S3 S7 = a 得 出关于a 的方程，解方程求出a 的值即可．
【详解】解：由题意得，
QS1 . S2 . S3 S7 = a ，
1 1+ a 2 + a 3 + 2a 5 + 3a 8 + 5a 13 + 8a
: . . . . . .
a 1 1+ a 2 + a 3 + 2a 5 + 3a 8 + 5a
= a ，
整理得：a2 - 8a -13 = 0 ，
配方得：(a - 4)2 = 29 ，
解得：
经检验：a1 = 4 + ，a2 = 4 - 都是分式方程的解，
: a 的值为4 + 或4 - ．
故答案为：4 + 或4 - ．
20 ．B
【分析】此题主要考查了图形变化规律， 得出棋子数量与边数的关系是解题关键，结合前四 个图形，得出图形与棋子个数的关系，求出 n 即可．
【详解】解：结合图形，第 1 个图形是2 × 3 - 3 = 3 ，
第 2 个图形是3 × 4 - 4 = 8 ，第 3 个图形是4 × 5 - 5 = 15，
按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是(n +1)(n + 2)- (n + 2) = n2 + 2n ． :第 n 个图形需要黑色棋子的个数是 440 个，
:440 = n2 + 2n ，
解得：n1 = 20，n2 = -22 （不合题意舍去）．
故选：B．
21 ．
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，分式的化简求值．由条件得出n - m ≠ 0 ， > 0 ，再将方程去分母合并整理得 2n2 + 2mn - m2 = 0 ，然后两边同时除以 m2 得
,再利用配方法求得方程的解，注意舍去不合题意的解．
【详解】解：∵ m > n > 0 ，: n - m ≠ 0 ，
: 2n (n - m) + m(n - m) + 3mn = 0 ，即 2n2 - 2mn + mn - m2 + 3mn = 0 ， : 2n2 + 2mn - m2 = 0 ，
两边同时除以 即 ， 配方得 即
解得 或 或
故答案为： ．
22 ．(1) x = -2 ，y = 1
(2)
【分析】本题考查了配方法的应用， 一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握配方法和一次 函数的性质．
（1）根据题意把方程进行配方即可求解；
（2）先根据配方法求出 a 、b ，进而得到一次函数的解析式，再求出一次函数与坐标轴的 交点坐标，最后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：Q x2 + 4x + y2 - 2y + 5 = 0
: x2 + 4x + y2 - 2y +1+ 4 = 0
: x2 + 4x + 4 + y2 - 2y +1 = 0
: (x + 2)2 + (y -1)2 = 0
即(x + 2)2 = 0 ，(y -1)2 = 0
: x + 2 = 0 ，y -1 = 0 解得：x = -2 ，y = 1；
（2）Q a2 - 8a + b2 + 4b + 20 = 0
: a2 - 8a + b2 + 4b +16 + 4 = 0
: a2 - 8a +16 + b2 + 4b + 4 = 0
即(a2 - 8a +16)+ (b2 + 4b + 4) = 0
: (a - 4)2 + (b + 2)2 = 0
: a - 4 = 0 ， b + 2 = 0 解得a = 4 ，b = -2
将a = 4 ，b = -2代入一次函数y = ax + b ，得 y = 4x - 2 ，
令x = 0 ，则 y = 0 - 2 = -2 ；令 y = 0 ，则 4x - 2 = 0 ，解得
:该函数与x 轴的交点为 ，于y 轴的交点为(0, -2)
:一次函数y = 4x - 2 的图像与坐标轴交点所围成的三角形的面积为 23 ．1
【分析】将点 A(a, b) 代入一次函数解析式得出，b = 2a -1，代入代数式，根据配方法即可 求解．
【详解】解：∵点A(a, b) 在一次函数y = 2x -1 图象上， : b = 2a -1
: a2 + b + 3 = a2 + 2a -1+ 3
= a2 + 2a +1+1
= (a +1)2 +1≥ 1 故答案为：1．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，配方法的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【分析】设C(m, -m) ，分 AB = AC ，BC = BA ， CB = CA 三种情况，根据两点间距离公式、 等腰三角形的性质分别列式求解即可．
【详解】解：Q A(-2, 2) 、B (0, 2) ，
: AB = 2 ，
Q 一次函数y = kx -1 图像上的“零点”为点 C，
:设C(m, -m) ，
△ABC 为等腰三角形时有下列三种情况：
① 当AB 为腰，且点A 为顶点时，AB = AC ， Q AB2 = 22 = 4 ，AC2 = (m + 2)2 + (-m - 2)2 ， : (m + 2)2 + (m + 2)2 = 4 ，
解得m1 = -2 + ，m2 = -2 - ，
当m = -2 + 时，点 C 的坐标为(-2 + , 2 - )， : 2 - = (-2 + )k -1，
解得
当m = -2 - 时，点 C 的坐标为(-2 - , 2 + )， : 2 + = (-2 - )k -1，
解得
② 当AB 为腰，且点 B 为顶点时，BC = BA ， Q BA2 = 22 = 4 ，BC2 = m2 + (-m - 2)2 ，
: m2 + (-m - 2)2 = 4 ， 解得m1 = 0 ，m2 = -2 ，
当m = 0 时，点 C 的坐标为(0, 0) ，
C (0, 0) 不在一次函数y = kx -1 图像上，故不合题意，舍去； 当m = -2 时，点 C 的坐标为(-2, 2) ，
此时点 A 与点 C 重合，故不合题意，舍去； ③ 当AB 为底边，点 C 为顶点时，CB = CA ， 此时点 C 在线段AB 的垂直平分线上，
: 点 C 的横坐标为-1 ， : 点 C 的坐标为(-1,1) ，
: 1 = -k -1，
解得k = -2 ，
综上可知，k 的值为 或 或-2 ．
故答案为 或 或-2 ．
【点睛】本题考查坐标与图形， 等腰三角形的性质，一次函数的图象和性质，解一元二次方 程等，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．