苏科版（2024）一元二次方程课后复习题

这是一份苏科版（2024）一元二次方程课后复习题，共34页。
【试题信息】专项分层练习（夯实基础篇）分为选择题 10 题，填空题 8 题，解 答题 6 题，满分 120 分．
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题均有四个选 项，其中只有一项符合题目要求）
（24-25 八年级下·江苏泰州·阶段练习）
1 ．用配方法解一元二次方程x2 + 4x + 3 = 0 ，配方后的方程是( )
A ．(x + 2)2 = 1 B ．(x - 4)2 = 1
C ．(x - 2)2 = 1 D ．(x + 4)2 = 1
（2025·浙江绍兴·一模）
2 ．已知 m 是一元二次方程x2 - 2x - 2 = 0的一个根，则代数式2m2 - 4m + 2025 的值为( )
A ．2027 B ．2028 C ．2029 D ．2030
（25-26 九年级上·全国·课后作业）
3．我们规定一种新运算“*”，其意义为a★b = a2 - ab ．若(x - 2) ★ (1- x) = 28 ，则 x 的值为 ( )
A ．x1 = =x2 -26 B ．x1 = -4, x2 = 11
C ． D ． （24-25 八年级下·安徽合肥·阶段练习）
2
．．若-6( b2 ) + 5a2 + 2 =- ，则 a2 + b2 的值 ） D ．3
（2025·河北石家庄·二模）
5 ．关于x 的一元二次方程2x2 - 2(k +1)x - 6 = 0 中，k < -1 ，则该方程根的情况是( )
A ．没有实数根 B ．有两个正实数根
C ．两根之积为-3 D ．两根之和为 1
（2025·江苏无锡·二模）
6 ．定义：若x ，y 满足x2 = 2y + t ，y2 = 2x + t ，且x ≠ y （ t 是常数），则称点M(x, y) 是“关
联点” ．若反比例函数 的图象上总存在两个关联点，则m 的取值范围是( )
A ．m < 5 B ．m < 3 C ．3 < m < 5 或m < 3 D ．3 < m < 4 或m < 3 （24-25 九年级下·云南曲靖·阶段练习）
7 ．电影《哪吒 2》于 2025 年 1 月 29 日上映，第一天票房约 5 亿，以后每天票房按相同的 增长率增长，第三天票房约 6 亿，若把增长率记作x ，则方程可以列为( )
A ．5 (1+ x ) = 6 B ．5 (1+ x)2 = 6
C ．5 + 5 (1+ x) = 6 D ．5 + 5 (1+ x) + 5(1+ x)2 = 6 （24-25 八年级下·安徽阜阳·期中）
8 ．我们知道(a)2 = a ，利用这个性质可以求方程的解．两边平方，得x + 3 = 16 ， 从而求出该方程的解为x =13．若方程 的解为x1，x2 ，则下列说法正确 的是( )
A ．x1 + x2 = 0 B ．x1 + x2 = -3 C ．x1 . x2 = 23 D ．
（2025·江苏南通·一模）
9 ．已知x2 = 3y + t, y2 = 3x + t ，且x ≠ y （ t 是常数），则称点M(x, y) 是“关联点” ．若反比例
函数 的图象上总存在两个关联点，则m 的取值范围是( )
A ．m < 1 B ．
C ． D ． 或m < 1 （24-25 九年级上·广东广州·开学考试）
10 ．图（1）是一种便携式手推车，点 O 是竖直拉杆OB 与挡板OA 的连接点，竖直拉杆OB 中CD 部分可伸缩，当 C、D 重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆OB 的长OB （含70cm，120cm ），挡板 OA 长为50cm ，OA 可绕点 O 旋转，折叠后点A 、D 重
合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落， 在货物四周用绳子加固，四边形ODFM为菱形， 则OE = acm ；小聪在运输货物时，发现货 物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若 FK = HJ，KI = 60cm ，上GKJ = 60° ,则绳子最 低点 I 到挡板OA 的距离IE = bcm ． 下列选项中正确的是( )
A ．a = 40 ，b = 10 B ．a = 40 ， b = 40 - 60
C ．a = 3 5 ，b = 10 D ．a = 3 5 ，b = 40 - 60
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分）
（2025·山东威海·二模）
11 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - (b + 2)x + a = 0 的一个根是x = a (a ≠ 0)，则 a - b 的值 为 ．
（24-25 九年级上·江苏苏州·阶段练习）
12 ．已知实数a ，b 满足b= a +1，则代数式 a2 + b - 5a + 5的最小值等于 ． （24-25 九年级上·湖北武汉·期末）
13 ．“降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解方程x4 - 3x2 -10 = 0，它的实数解 是 ．
（24-25 八年级下·山东威海·期中）
14 ．已知实数x 满足方程(x2 + x)(1- x2 - x)+ 6 = 0 ，则 x2 + x 的值是 ． （24-25 九年级上·广东肇庆·阶段练习）
15 ．已知一次函数y = ax + c 经过第一、三、四象限，则关于x 的方程ax2 + bx + c = 0根的情 况是： ．
（2025·江苏苏州·二模）
16 ．设m 、n 是一元二次方程x2 - 4x -12 = 0 的两个实数根，则m2 + 4n 的值是 ． （24-25 八年级下·安徽合肥·期中）
17．如图，某中学建立了一个长方形菜园ABCD ，作为劳动实践基地，旨在培养学生的劳动 意识、劳动技能和实践能力．已知菜园的一面靠墙，墙长为15m ，另外三边用长为32m 的栅 栏围成．若要使菜园的面积达到120m2 ，则 AB 的长为 ．
（2025·河北保定·三模）
18 ．对于两个不相等的实数 a, b ，我们规定符号 max{a, b} 表示 a, b 中较大的数，如 max {2, 4} = 4 ，按这个规定，方程 的解为 ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 58 分）
（24-25 九年级下·全国·假期作业）
19 ．选用适当方法求下列方程的精确解．
(1) 2x2 - 4x -1 = 0
(2)(2x + 1)2 = (x - 4)2
（24-25 八年级下·北京·期中）
20 ．已知关于x 的一元二次方程x2 - 4x - 2m + 5 = 0有两个实数根．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若 x1 ，x2 是该方程的两个根，且满足x + x = m2 +1，求 m 的值．
（2023·浙江杭州·三模）
21 ．如图，点 A 与点 C 表示的数分别为 1 和 3，宸宸同学在数轴上以 C 为直角顶点作
Rt△ABC ，BC = 1 ，再以 A 为圆心， AB 为半径画圆，交数轴于 D 、E 两点，莲莲同学说， 若 D、E 分别表示m 和n ，我发现x = m 是一元二次方程x2 + bx - 4 = 0的一个根，琮琮说x =n 一定不是此方程的根．
(1)写出m 与n 表示的数
(2)求出b 的值
(3)你认为琮琮说的对吗？为什么？
（2025·辽宁铁岭·二模）
22．某公司推出一款日用产品，成本为 8 元/千克，根据市场调查，日销售量y（单位：千克） 是关于销售单价 x（单位：元）的一次函数，销售单价为 15 元时，日销量为 190 千克，销
售单价为 20 元时，日销量为 140 千克.
(1)求y 关于 x 的函数表达式．（不要求写出自变量 x 的取值范围）
(2)若要每天盈利 1200 元，且销售单价不得高于 22 元，则销售单价应为多少元? （2023·河北沧州·模拟预测）
23 ．如图，数轴上有三点 A 、B 、C，点 A 表示的数a = 1，点 A 向左平移两个单位长度到达 点 B，向右平移 3 个单位到达点 C．
(1)直接写出点 B 、C 对应的数 b 、c 的值；
(2)计算：-2a - b + (-c) 的值；
(3)已知 m 是关于 x 的一元二次方程cx2 - 2ax + b = 0 的根，求代数式(m -1)2 + m(m +1) 的值 为．
（2025·四川自贡·中考真题）
24．如图，正比例函数y = kx 与反比例函数 的图象交于点A(-2, a ) ，点B 是线段OA 上异于端点的一点，过点B 作y 轴的垂线．交反比例函数的图象于点D ．
(1)求k 的值；
(2)若BD = 2 ，求点 B 坐标；
(3)双曲线关于y 轴对称的图象为y¢ ,直接写出射线 OA 绕点O 旋转90° 后与y¢ 的交 点坐标．
1 ．A
【分析】本题考查的是解一元二次方程，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的 平方即可．
【详解】解：x2 + 4x + 3 = 0 ， x2 + 4x = -3 ，
x2 + 4x + 4 = -3 + 4 ， (x + 2)2 = 1 ．
故选：A．
2 ．C
【分析】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识， 是重 要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
把 m 代入一元二次方程x2 - 2x - 2 = 0得到m2 - 2m = 2 ，再利用整体代入法解题即可． 【详解】解：∵m 是一元二次方程x2 - x - 2 = 0 的一个根，
: m2 - 2m - 2 = 0，即 m2 - 2m = 2 ，
: 2m2 - 4m + 2025 = 2 (m2 - 2m)+ 2025 = 2 × 2 + 2025 = 2029 ， 故选 C
3 ．D
【分析】本题考查了定义新运算， 解一元二次方程，根据新运算的法则，列出方程，进行求 解即可．
【详解】解：由题意得
(x-2)*(1-x)=(x-2)2-(x-2)(1-x)=28 整理，得 2x2-7x-22=0
（x+2）（2x-11）=0
故选：D ．
4 ．C
【分析】本题考查的是利用换元法与因式分解的方法解一元二次方程，非负数的性质，熟练 的换元是解本题的关键．
设a2 + b2 = x ≥ 0 ，而(a2 + b2 )2 + 5(a2 + b2 )- 6 = 0 ，可得 x2 + 5x - 6 = 0 ，再解一元二次方程 即可．
【详解】解：设 a2 + b2 = x ≥ 0 ，
: (a2 + b2 )2 + 5(a2 + b2 )- 6 = 0 : x2 + 5x - 6 = 0 ，
:(x -1)(x + 6) = 0 ， : x -1 = 0 或x + 6 = 0 ，
解得：x1 = 1 ，x2 = -6 （不符合题意舍去）； : a2 + b2 = 1 ，
故选：C
5 ．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据题意可得
Δ = 4(k + 1)2 + 48 > 0 ，则原方程有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系得到两根之积 为-3 ，两根之和为 k +1，据此可得答案．
【详解】解：由题意得， Δ = -2(k + 1)2 - 4 × 2 × (-6) = 4 (k + 1)2 + 48 > 0 ， :原方程有两个不相等的实数根，
:两根之积为 两根之和为 :方程的两个实数根为一正一负，
: k < -1 ， : k +1< 0 ，
:四个选项中只有 C 选项说法正确，符合题意；
故选：C．
6 ．D
【分析】本题考查了反比例函数的性质、一元二次方程根的判别式，先根据题意得出
y = -2 - x ，联立 得出x2 + 2x + m - 3 = 0 ，由一元二次方程根的判别式计算得出 m < 4 ，结合反比例函数的定义即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解 由① - ② 可得：x2 - y2 = 2y - 2x ， : (x + y)(x - y ) = 2 (y - x)，
: x ≠ y ，
: x + y = -2 ， : y = -2 - x ，
联立 可得 ， : x2 + 2x + m - 3 = 0 ，
:反比例函数的图象上总存在两个关联点， :Δ = 22 - 4× 1 × (m - 3) > 0 ，
: m < 4 ，
: m - 3 ≠ 0 ， : m ≠ 3，
: 3 < m < 4 或 m < 3 ， 故选：D．
7 ．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用-增长率问题，申清题意、弄清原始量与变 化量之间的关系是解题的关键．
根据题意，第一天票房为 5 亿，之后每天以增长率 x 增长，第三天票房为 6 亿．据此列出一 元二次方程即可．
【详解】解：第一天票房为 5 亿，第二天票房为第一次增长后的结果，即5(1+ x)亿；第三 天票房在第二天基础上再次增长，即5(1+ x)(1+ x) = 5(1+ x)2 亿．
根据题意，第三天票房为 6 亿，故可得方程5(1+ x )2 = 6 ．
故选 B．
8 ．A
【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握平方根定义，算术平方根定义，二次根式的性质， 是解题的关键．
先将一个二次根式移到等号右边，两边同时平方去根号，移项，再平方，直至根号完全去掉， 最后解整式方程，注意由于未知数的取值范围扩大，要检验根．
解
两边平方，得
: 25 = x2 + 2 ，
解得： 或
经检验 或 都是原方程的解，
:原方程的解为 ， ．
A. x1 + x2 = 0 ，:A 正确；
B. x1 + x2 = 0 ，:B 不正确；
C. x1 . x2 = -23 ，:C 不正确；
D. 不正确． 故选：A．
9 ．D
【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点， 根据题意建立参数方程成为解题的关键．
由x2 = 3y + t, y2 = 3x + t 以及相应字母的取值范围可得x + y = -3 ，然后根据题意得到关于 x 的方程，再结合x ≠ 0 m -1 ≠ 0 求出 m 的取值范围即可．
【详解】解：∵ x2 = 3y + t, y2 = 3x + t ，
: x2 - y2 = (3y - 3x) + (t - t ) ，即 (x + y)(x - y ) = -3(x - y ) ， ∵ x ≠ y ，
: x + y = -3 ，即 y = -3 - x
:反比例函数 的图象上总存在两个关联点，
,即x2 + 3x + (m -1) = 0 且x ≠ 0, m -1 ≠ 0 有两个不相等实数根， : Δ = 32 - 4(m -1) > 0 ，解得： ，
当m -1 = 0 ，即 m = 1时，方程可化为x2 + 3x = 0 ，解得 x = -3 或 0，但 x ≠ 0 无意义，仅有 x = -3 ，不符合题意．
综上，m 的取值范围是 或m < 1．
故选 D．
10 ．B
【分析】根据旋转与菱形的性质、勾股定理可以求出OE 的长度；如图（3）：过 J 作MJ 丄 CK 于 M，连接HF ，然后证明四边形 HJKF 是平行四边形可得JK 长度，求出JM ，再利用三 角形面积公式列一元二次方程即可得IE 的长度．
【详解】解：如图（2）：设OE = acm ，则OG = 2acm ， GF = acm ， :挡板OA 长为50cm ，OA 可绕点 O 旋转，折叠后点A，D 重合，
: OD = OA = 50cm ，
: GD = (2a - 50)cm ，
:四边形ODFM为菱形， :DF = OD = 50cm ，
在Rt△DGF 中，DG2 + GF2 = DF2 ，
: (2a - 50)2 + a2 = 502 ，解得：b = 40 或b = 0 （舍去）
: OE = 40cm ；
如图（3）：过 J 作MJ丄 CK 于 M，连接HF ，
∵ 上GKJ = 60° , :上MJK = 30° ,
Q FK = HJ 且FK Ⅱ HJ ，
:四边形HJKF是平行四边形， :JK = HF = 40 cm ，
:MK = 20 cm ，
设IE = bcm ，KI = 60cm ，则KF = HJ = (20 - b)cm ，GJ = (60 - b)cm ，
整理得：b2 +120b -1200 = 0 ，解得：b = -60 ± 40 ，
Qb > 0 ，
:IE = 40 - 60 ．
故选 B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、 直角三角形的性质、利用三角形面积公式得出一元二次方程等知识点，熟练掌握并运用这些
性质和添加适当的辅助线是解此题的关键．
11 ．1
【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可． 【详解】解：将x = a 代入x2 - (b + 2)x + a = 0 ，
得a2 - (b + 2)a + a = 0 ，即a2 - ab - a = a (a - b -1) = 0 ，
∵ a ≠ 0 ，
: a - b = 1，
故答案为：1．
12 ．2
【分析】本题考查配方法的应用，把b= a +1代入代数式，利用配方法，进行求解即可． 【详解】解：∵ b = a +1，
: a2 + b - 5a + 5
= a2 + a +1- 5a + 5
= a2 - 4a + 6
= a2 - 4a + 4 + 2
= (a - 2)2 + 2 ， ∵ (a - 2)2 ≥ 0 ，
: a2 + b - 5a + 5 = (a - 2)2 + 2 ≥ 2 ，
:代数式a2 + b - 5a + 5的最小值等于 2；
故答案为：2．
13 ．、 或- /5 ## -、l5 或J5
【分析】本题考查的是利用“降次”的思想解高次方程，一元二次方程的解法，把方程化为 (x2 - 5)(x2 + 2) = 0 ，再进一步解方程即可．
【详解】解：x4 - 3x2 -10 = 0 ，
:(x2 - 5)(x2 + 2) = 0 ，
:x2 - 5 = 0 或x2 + 2 = 0 ， 当x2 - 5 = 0 ，
: x1 = , x2 = - ．
当x2 + 2 = 0 ， 此时方程无解；
故答案为： ·、 或-、 ．
14 ．3
【分析】本题考查了解一元二次方程，令t = x2 + x ，则原式为t (1- t) + 6 = 0 ，解方程即可解 答，注意方程无实数根的情况是解题的关键．
【详解】解：令 t = x2 + x ，
则原式为t (1- t) + 6 = 0 ， 解得t1 = 3, t2 = -2 ，
当x2 + x = 3时， Δ = 12 + 4× 1 × 3 = 13 > 0 ，方程有实数根，
当x2 + x = -2时， Δ = 12 - 4× 1 × 2 = -7 < 0 ，方程没有实数根，
:x2 + x = 3 ， 故答案为：3．
15 ．有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况、一次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点， 学会利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键．由直线y = ax + c 经过第一、 三、四象限，求得a > 0 ，c < 0 ，再利用根的判别式得到 Δ = b2 - 4ac > 0，即可得出结论．
【详解】解：Q 直线y = ax + c 经过第一、三、四象限，
:a > 0 ，c < 0 ，
:ac < 0 ，
Q 关于x 的方程为ax2 + bx + c = 0 ，
:Δ = b2 - 4ac > 0 ，
:关于x 的方程ax2 + bx + c = 0有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根．
16 ．28
【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到m2 - 4m -12 = 0 ， m + n = 4 ，进而得到 m2 = 4m +12 ，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：∵ m ，n 是一元二次方程x2 - 4x -12 = 0 的两个实数根， : m2 - 4m -12 = 0 ，m + n = 4 ，
: m2 = 4m +12 ， : m2 + 4n
= 4m +12 + 4n
= 4m + 4n +12
= 4 (m + n)+12
= 4 × 4 +12
= 28 ．
故答案为：28 ． 17 ．10m ##10 米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设 AB 的长应是xm ，则BC 的长为(32 - 2x)m ， 根据饲养室的面积达到120m2 ．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关 系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设AB 的长应是xm ，则 BC 的长为(32 - 2x)m ， 根据题意得：x(32 - 2x) = 120 ，
整理得：x2 -16x + 60 = 0 ，
解得：x1 = 6 ，x2 = 10 ，
当AB = 6 时，BC = 32 - 2 × 6 = 20 > 15 ，不符合题意，舍去；
当AB = 10 时，BC = 32 - 2 × 10 = 12 < 15 ，符合题意；
故答案为：10m ．
18 ．x = +1或x = - 1
【分析】此题考查了解分式方程， 解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把 分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分x > -x 和x < -x ，依据新定 义列出关于x 的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解．
①若x > -x ，即x > 0 ，则 即x 2 - 2 x - 1 = 0 ， 解得：x = +1或x = 1- ( 负值舍去) ，
经检验：x = +1是原分式方程的解；
@若x < -x ，即x < 0 ，则 即x2 + 2x +1 = 0 ， 解得：x1 = x2 = -1，
经检验：x = -1 是原分式方程的解；
综上，方程 的解为x = +1或x = - 1．
故答案为：x = +1或x = - 1．
(2) x1 = -5 ，x2 = 1
【分析】（1）用求根公式法解，a = 2 ，b = -4 ，c = -1，则 Δ = (-4)2 - 4× 2 × (-1) = 24 ，然 后代入公式计算即可；
（2）方程两边开方，化为两个一元一次方程．
【详解】（1）解：（1）Qa = 2 ，b = -4 ，c = -1，
: Δ = (-4)2 - 4× 2 × (-1) = 24 ，
（2）方程两边开方，得2x + 1 = ±(x - 4) ， 即2x +1= x - 4 或2x + 1 = -(x - 4) ，
解得x1 = -5 ，x2 = 1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0 ，a ，b ，c 为常数）的解法．可以直 接利用它的求根公式求解，它的求根公式为 用求根公式 求解时，先要把方程化为一般式，确定a ，b ，c 的值，计算出△ = b2 - 4ac ，然后代入公 式．也考查了用直接开平方法解一元二次方程．
(2) m = 5
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据方程有实数根得到 Δ ≥ 0 ，进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，得到关于 m 的方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程x2 - 4x - 2m + 5 = 0有两个实数根， :Δ = 16 - 4(5 - 2m) ≥ 0 ，
解得：
（2）∵ x1 ，x2 是该方程的两个根， : x1 + x2 = 4, x1x2 = 5 - 2m ，
: x + x = (x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 42 - 2(5 - 2m) = m2 +1，
解得：m = 5 或m = -1；
由（1）可知： : m = 5 ．
21 ．(1) m = 1 + , n = 1 -
(2)b = -2
(3)琮琮说的不对，理由见详解
【分析】（1）先根据勾股定理求出AB 的长度，再根据AE = AD ，利用点的平移即可得出结 果；
（2）把 x =1+ 代入一元二次方程x2 + bx - 4 = 0 ，即可得出结果；
（3）b = -2 ，求出一元二次方程x2 + bx - 4 = 0的解，即可得出结论． 【详解】（1）
解：AC = 3 -1 = 2, BC = 1，
在Rt△ABC 中 以 A 为圆心，AB 为半径画圆，交数轴于 D 、E 两点， : AE = AD = 、/5 ，
m = 1 + , n = 1 - ；
（2）解：x = 1+ 是一元二次方程x2 + bx - 4 = 0的一个根，
解得：b = -2 ；
（3）解：琮琮说的不对，理由如下：
b = -2 ，则一元二次方程x2 + bx - 4 = 0为x2 - 2x - 4 = 0 ， 解这个方程得
而m = ，即 x =n一定是此方程的根， 故琮琮说的不对．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及解法，勾股定理，点的平移与点的坐标之间的关 系，本题的关键是理解一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的解法．
22 ．(1)y 关于 x 的函数表达式为y = -10x + 340
(2)销售单价应为 14 元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一元二次方程的应用，解题的关键是 理清题中的数量关系．
（1）利用给定的两组销售单价与日销售量的值，代入一次函数表达式，通过解方程组求出 函数表达式；
（2）根据利润等于每千克利润乘以销售量列出一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设 y 关于 x 的函数表达式为y = kx + b ， 把(15,190), (20,140) 代入得，
解得
:y 关于 x 的函数表达式为y = -10x + 340 ；
（2）解：设销售单价应为 x 元,根据题意得：
(x - 8)(-10x + 340) = 1200 ， 解得，x1 = 14 ，x2 = 28 ，
∵销售单价不得高于 22 元，即x < 22 ， : x = 14 ，
:销售单价应为 14 元．
23 ．(1) b = -1 ，c = 4
(2) -5 (3)
【分析】（1）根据数轴直接写出 b 、c 的值即可；
（2）将 a 、b 、c 的值代入求出结果即可；
（3）把 a = 1 ，b = -1 ，c = 4 代入方程得：4x2 - 2x -1 = 0，把x = m 代入方程
4x2 - 2x -1 = 0，得 4m2 - 2m -1 = 0，求出 ，把 (m -1)2 + m(m +1) 变形，整体代 入求出结果即可．
【详解】（1）解：∵点 A 表示的数a = 1 ，点 A 向左平移两个单位长度到达点 B，向右平移 3 个单位到达点 C，
: b = a - 2 = 1- 2 = -1 ，c = a + 3 = 1+ 3 = 4 ．
（2）解：-2a - b + (-c)
= -2 - (-1) + (-4)
= -2 +1- 4 = - 5 ；
（3）解：把 a = 1 ，b = -1 ，c = 4 代入方程得：4x2 - 2x -1 = 0 ， 把x = m 代入方程4x2 - 2x -1 = 0，得 4m2 - 2m -1 = 0 ，
即4m2 - 2m = 1，
: (m -1)2 + m(m +1) = m2 - 2m +1+ m2 + m
= 2m2 - m +1
【点睛】本题主要考查了代数式求值， 方程解的定义，数轴上点的特点，解题的关键是根据
数轴求出a = 1 ，b = -1 ，c = 4 ．
24 ．(1) k = -2
(2)B(1- , -2 + 2)
(3)射线OA 绕点O 旋转90° 后与y¢ 的交点坐标为(4, 2) 或(-4, -2) .
【分析】（1）点A(-2, a )在反比例函数 上，可得a =4 ，即A(-2, 4) ，将A(-2, 4) 代 入正比例函数y = kx 中，进一步求解即可；
（2）设B(m, -2m)，结合过点 B 作y 轴的垂线．交反比例函数的图象于点D ．可得 可得 ，再解方程进一步求解即可；
求解 ，如图，由旋转可得：OA = OA¢ , 上AOA¢ = 90° ,过 A 作AK 丄 x 轴于K ， 过A¢ 作A¢L 丄 x 轴于L ，证明 △AOK≌△OA¢L ，可得A¢ (4, 2)，证明A¢ (4, 2) 在y¢ = 的图象上； 结合反比例函数是中心对称图形可得：A¢¢ (-4, -2) ，从而可得答案.
【详解】（1）解：∵点A(-2, a )在反比例函数 上， : a = 4 ，即 A(-2, 4)，
将A(-2, 4) 代入正比例函数y = kx 中，
得-2k = 4 ，
解得：k = -2 ；
（2）解：∵ B 在直线y = -2x 上， 设B(m, -2m)，
∵过点B 作y 轴的垂线．交反比例函数的图象于点D ．
∵ BD = 2 ，
整理得：m2 - 2m - 4 = 0 ，
解得：m = 1- 或m = 1+ （不符合题意舍去），
（3）解：:双曲线关于y 轴对称的图象为y¢ ,
如图，
由旋转可得：OA = OA¢ , 上AOA¢ = 90° ,
过A 作AK 丄 x 轴于K ，过 A¢ 作A¢L 丄 x 轴于L ， : 上AKO = 上A¢LO = 90° ,
: 上AOK = 90° - 上A¢OL = 上OA¢L ， : △AOK≌△OA¢L ，
: A(-2, 4)，
: OL = AK = 4 ，A¢L = OK = 2 ， : A¢ (4, 2)，
当x = 4 时 ，
: A¢ (4, 2) 在 的图象上；
由反比例函数是中心对称图形可得：A¢¢ (-4, -2) ，
:射线OA 绕点O 旋转90° 后与y¢ 的交点坐标为(4, 2) 或(-4, -2) .
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式， 一元二次方程的解法，轴对称的性 质，中心对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练的作出图形利用函数性质解题是关键.