初中数学苏科版（2024）九年级上册一元二次方程的解法课后复习题

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册一元二次方程的解法课后复习题，共48页。试卷主要包含了5 ．等内容，欢迎下载使用。
（分层专项练习）
本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分 72 分，拓展培优满分
48 分，合计 120 分；完成时间40--60 分钟．
第一卷【夯实基础】
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只 有一个正确答案．
（24-25 九年级上·山西晋中·期末）
1 ．一元二次方程(x + 7)2 = 81可转化为两个一元一次方程，其中一个是x + 7 = 9 ，则另一个 是( )
A ．x - 7 = -9 B ．x - 7 = 9 C ．x + 7 = 9 D ．x + 7 = -9
（23-24 九年级上·四川南充·阶段练习）
2 ．把方程 左边配成一个完全平方式后，得到的方程是( )
A ． B ．
C ． D ．以上都不对 （23-24 八年级下·安徽安庆·期末）
3 ．已知方程x2 - 6x + 4 = ●, 等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成(x -p )2 = 7 的 形式，则印刷不清楚的数字是( )
A ．2 B ．-2 C ．4 D ．-4
（22-23 九年级上·安徽芜湖·期中）
4 ．把方程x2 - 4x - 7 = 0化成(x - m)2 = n 的形式,则点P(m, n) 关于x 轴对称的点的坐标为 ( )
A ．(2,11) B ．(-2,11) C ．(2, -11) D ．(-2, -11)
（2025·安徽六安·一模）
5 ．已知x，y，z 为实数，且y + z = 5 - 4x + 3x2，z - y = 1- 2x + x2 ，则 x，y，z 之间的大小关
系是( )
A ．x < y ≤ z B ．y < x ≤ z C ．y ≤ z < x D ．z < x ≤ y （2025 八年级下·全国·专题练习）
6 ．已知三角形的三条边为a ，b ，c ，且满足a2 -10a + b2 -16b + 89 = 0 ，则这个三角形的最 大边c 的取值范围是( )
A ．c > 8 B ．5 < c < 8 C ．8 < c < 13 D ．5 < c < 13
（22-23 九年级上·河北保定·期末）
7 ．小明解方程 的过程如图所示，他在解答过程中开始出错的步骤是( )
解：x2 - 4x - 2 = 0 ……① x2 - 4x = 2 ……②
(x - 2)2 = 2 ……③
,
A ．① B ．② C ．③ D ．④ （24-25 九年级上·贵州铜仁·期末）
8 ．数学课上，数学老师在黑板上写出了一个一元二次方程，让第一学习小组的四位同学以 接力的方式用配方法解方程，每人负责完成一个步骤（如图），他完成一步解答后接着第二 位同学上黑板计算，… , 依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一名同学的计算 结果．接力计算中，出现错误的同学是( )
A ．张 B ．王 C ．李 D ．陈
二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)
（24-25 九年级上·江苏扬州·期末）
9 ．将二次三项式x2 + 4x + b 配方成(x + a)2 的形式，则 b 的值是 ． （24-25 九年级上·陕西咸阳·期中）
10 ．多项式-x2 + 4x - 7 的最大值是 ，此时 x = ．
（24-25 九年级下·上海·阶段练习）
11 ．分式方程 的解是 ．
（辽宁省部分学校 2022-2023 学年九年级上学期期末数学试题）
2022
12 ．给定关于 x 的一元二次方程x2 + 2x - 3 = 0 ，则 (x +1)2 = ． （23-24 九年级上·广东佛山·阶段练习）
13 ．若关于 x 的一元二次方程：m(x - a)2 + b = 0 与n(x - a)2 + b = 0 ，则称其为“同族二次方 程” ．如2(x -1)2 + 3 = 0 与6(x -1)2 + 3 = 0 是“同族二次方程” ．现有关于 x 的一元二次方程：
2(x -1)2 +1 = 0 与(a +6)x2 - (b + 8)x + 6 = 0 是“同族二次方程”，那么代数式 ax2 + bx + 2023 能取 得最大值是 ．
（23-24 九年级上·全国·课后作业）
14 ．阅读下列材料：
关于x 的方程x2 - 3x +1 = 0 (x ≠ 0)，方程两边同时乘 得： 即 故
根据以上材料，解答下列问题：
若x2 - 4x +1 = 0 (x ≠ 0) ，则 x + = ，x2 + = ， ．
三、解答题（4 题共计 30 分）
（24-25 九年级上·河南驻马店·期末）
15 ．解下列方程：
(1) 4(x +1)2 - 9(x - 2)2 = 0 ；（开平方法）
(2) x2 - 4x + 2 = 0 ．
（23-24 九年级下·河北邯郸·期中）
16 ．老师在黑板上给出一道题：“已知 A 为整式，且A +(5x2 - 7x - 5) = 4x2 - 5x - 6 ”．
(1)求整式 A；
(2)嘉淇说：“整式 A 的值不可能是正数．”请结合（1）的结果分析嘉淇的说法是否正确． （22-23 九年级·浙江宁波·自主招生）
17 ．已知a + b = 4 且ab > 0 ．
求 的最小值；
(2)若xy = 6，(2 - a )(x - y ) = -4a2 +16a -13，x + y = 11- 2ab，求a，b，x，y 的值． （23-24 九年级上·贵州六盘水·期末）
18 ．配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式2x2 + 4x + 5的最值．
解：2x2 + 4x + 5
= (2x2 + 4x)+ 5 （分离常数项）
= 2 (x2 + 2x)+ 5 （提二次项系数）
Q 2(x + 1)2 ≥ 0
:2(x + 1)2 + 3 ≥ 3
: 当x=- 1 时，代数式2x2 + 4x + 5取得最小值是 3 运用以上方法，解答下列问题：
(1)求代数式-a2 + 6a - 4 的最值；
(2)关于x 的方程mx2 - 3(m + 2) x + 2m + 7 = 0 (m ≠ 0) ．求证：无论m 取何值，方程总有两个
不相等的实数根．
第二卷【拓展培优】
四、选择题(每小题 3 分，共 12 分)
（23-24 九年级上·江苏南京·阶段练习）
19．如图，数轴上点A、B 表示方程(3x - 9)2 - 37 = 0 的两个根a、b(a > b) ，它们在数轴上的 对应点的位置可以是( )
A ． B ．
C ． D ．
（22-23 八年级下·江苏南通·期末）
20 ．平面直角坐标系xOy 中，P 点坐标为 (m,2n2 -10)，且实数 m ，n 满足 2m - 3n2 + 9 = 0 ， 则点 P 到原点 O 的距离的最小值为( )
A ． B ． C ． D ．
（21-22 九年级下·广东广州·阶段练习）
21．P（x．y）为第二象限上的点．且 已知 OP=1 ．则 的值为( )
B ． C ． D ． 或 （23-24 八年级上·重庆荣昌·期末）
22．已知A = x2 - x + 3 ，B = x - 2 ，下面关于 A，B 的三个结论：①关于 x 的方程 的解是x = 6 ，② A - 2B - 2 > 0 ，③若式子 的值为整数，则整数 x 的取值是 3 或 7，其中 正确的有( )
A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个
五、填空题(每小题 3 分，共 12 分)
（21-22 九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）
23 ．等边三角形的边长是关于 x 的一元二次方程x2-6x + m + 8 = 0 的根，则等边三角形的面 积为 ．
（23-24 九年级下·安徽宣城·自主招生）
24 ．定义：对于函数y = lg x (x > 0) ，y 随x 的增大而增大，且lg10 = 1 ，
lg xy = lg x + lg y ．若 则lg a + lgb 的最大值为 ．
（24-25 八年级下·安徽六安·阶段练习）
25．公元 8 世纪波斯数学家花拉子米被誉为代数学之父，他在《代数学》中列举了这样一道 例题：
根的 3 倍与简单数 4 的和等于一个平方．用现代数学语言表示为：x2 = 3x + 4 ．即如图所示， 正方形ABCD 的边长为x ，CH = 3 ，QH 将正方形ABCD 分成面积为3x 的矩形QBCH 和面 积为 4 的矩形AQHD ，取 CH 中点G ，构造边长为 正方形MNHG ，延长GM 到F ，使 GF = GD ，则有正方形 EFGD ，此时显然有S矩形ADHQ +S正方形NMGH = S正方形EFGD ，即
4 + (çè 2 = ç x - ö,÷2 ，可以很容易求得该方程的一个正根x = ；若令 x = a, CH = b ，
S矩形ADHQ = b2 ，则 = ．
（2025·浙江湖州·一模）
26 ．一次数学探究活动中，老师给出了两个二次多项式2x2 + px + c ，-x2 + qx + c （其中p， q ，c 均是不为零的常数）及这两个代数式的一些信息，如下表所示：
（说明：a ，b ，m ，n ，k1 ，k2 均为常数）
有学生探究得到以下四个结论：①若 p + q = 12 ，则 2m + 6 = n ；②若 p = q = 2 ，则c = - ； ③若有且只有一个 x 的值，使代数式2x2 + px + c 的值为 0，则 p- 4q = 0 ；④若m - n = 2 ，
则 c 的值不可能是-5 ．其中所有正确结论的序号是 ．
..
六、解答题(12×2=24 分)
（2025 九年级下·全国·学业考试）
27 ．已知a + b = 4 ．
求 的最小值．
(2)若xy = 6, bx + ay = 9, x + y = 11 - 2ab ，求a, b, x, y 的值． （24-25 九年级上·四川绵阳·阶段练习）
28．如图，在矩形ABCD 中，AB = 15cm ，AD = 5cm ，动点 P，Q 分别从点A，C 同时出发，
二次多项式
对二次多项式进行因式分解
对二次多项式使用配方法
2x2 + px + c
(2x + a)(x + b)
2(x - m)2 + k1
2
-x + qx + c
(x + a)(-x + b)
-(x - n)2 + k2
点 P 以3cm / s 的速度向点 B 移动，一直到点 B 为止，点 Q 以2cm / s 的速度向点 D 移动（点 P 停止移动时，点 Q 也停止移动）．设移动时间为t (s) ，连接PQ，QB ．
(1)当 t 为何值时，P ，Q 两点间的距离为13cm ？
(2)当 t 为何值时，BQ = BP ．
(3)在运动过程中，是否存在一个时刻，使得上PQB = 90 ° ? 若存在，求出 t 的值；若不存在， 请说明理由．
1 ．D
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，两边直接开平方即可得． 【详解】解：Q (x +7)2 = 81，
:x + 7 = 9 或x + 7 = -9 ， 故选：D．
2 ．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题 的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出答案．
解
x2 - 3x -12 = 0
x2 - 3x = 12
:把方程 左边配成一个完全平方式后，得到的方程是 故选：C．
3 ．A
【分析】本题考查了配方法，利用完全平方公式进行计算，能求出-2p= -6 是解此题的关 键．设印刷不清的数字是 a，根据完全平方公式展开得出 x2 - 2px + p2 = 7 ，求出
x2 - 2px + 4 = 11-p2 ，再根据题意得出-2p = -6 ，a = 11-p2 ，最后求出答案即可． 【详解】解：设印刷不清的数字是 a，
∵ (x - p )2 = 7 ，
: x2 - 2px + p2 = 7 ， : x2 - 2px = 7 - p2 ，
: x2 - 2px + 4 = 11- p2 ，
:方程x2 - 6x + 4 = ●,等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成(x -p )2 = 7 的形式，
:-2p = -6 ，a = 11- p2 ， : p = 3 ，a = 11- 32 = 2 ， 即印刷不清的数字是 2 ， 故选：A．
4 ．C
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程及坐标与图形，解题时要注意解题步骤．选择用 配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项系数为1 ，一次项的系数是2 的倍数．根据 配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上 一次项系数一半的平方，再找出m ，n 的值即可．
【详解】: x2 - 4x - 7 = 0 ，
: x2 - 4x = 7 ，
: x2 - 4x + 4 = 7 + 4 ， :(x - 2)2 = 11 ．
: m = 2 ，n = 11，
:点P(m, n) 关于x 轴对称的点的坐标为(2, -11) ， 故选：C ．
5 ．A
【分析】本题考查了完全平方公式的应用，配方法的应用 ．先根据已知等式求出
y = x2 - x + 2 ，z = 2x2 - 3x + 3，再利用完全平方公式判断出 y > x ，z ≥ y ，由此即可得出答 案．
【详解】解：: y + z = 5 - 4x + 3x2，z - y = 1- 2x + x2 ， 解得y = x2 - x + 2 ，z = 2x2 - 3x + 3 ，
: y - x = x2 - x + 2 - x = x2 - 2x + 2 = (x -1)2 +1 > 0 ， : y > x ；
: z - y = 1- 2x + x2 = (x -1)2 ≥ 0 ，
: z ≥ y ，
: x < y ≤ z ，
故选：A．
6 ．C
【分析】本题考查的知识点是配方法、平方的非负性及三角形的三边关系， 解题关键是熟练 掌握配方法在三角形的三边关系中的应用．
先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值， 然后根据三角形的三边关系可得答案．
【详解】解：Qa2 -10a + b2 -16b + 89 = 0 ，
:(a2 -10a + 25) + (b2 -16b + 64) = 0 ，
:(a - 5)2 + (b - 8)2 = 0 ，
Q (a - 5)2 ≥ 0 ，(b - 8)2 ≥ 0 ，
: a - 5 = 0 ，b - 8 = 0 ，
: a = 5 ，b = 8 ，
Q 三角形的三条边为a ，b ，c ，
:b - a < c < b + a ，
:3 < c < 13 ，
又Q 这个三角形的最大边为c ，
:8 < c < 13 ．
故选：C ．
7 ．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．根据配方法解 一元二次方程即可确定出错的步骤．
【详解】解：出错的步骤是@，
应该是在②步的基础上，两边同时加上 4，
得(x - 2)2 = 6 ， 故选：C．
8 ．B
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用配方法解一元二次方程成为解题的关键．
根据配方法解老师出示的一元二次方程即可判断出错的同学． 【详解】解：2x2 + 4x -1 = 0 ，
移项得：2x2 + 4x = 1，故小张正确；
方程左右两边同时除以 2 可得： 故小王错误；
故小王负责的式子出现错误；
故选：B．
9 ．4
【分析】此题考查了配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．由题意可得 x2 + 4x + b = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 ，即可得到答案．
【详解】解：∵ x2 + 4x + b = (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 ，
:b 的值是4 ， 故答案为：4
10 ． -3 2
【分析】本题考查的是利用配方法求解代数式的最值，把原代数式化为 - (x - 2)2 - 3 ，从而 可得答案.
【详解】解：-x2 + 4x - 7
= - (x2 - 4x)- 7
= - (x2 - 4x + 4 - 4)- 7
= - (x - 2)2 + 4 - 7
= - (x - 2)2 - 3 ；
:当x =2 时，多项式-x2 + 4x - 7 的最大值是-3 ． 故答案为：-3 ，2
11 ．x = 2
【分析】本题考查了解分式方程，掌握去分母化为整式方程是解题的关键． 先去分母，化为一元二次方程，再求解，注意检验是否有增根即可．
解 x2 = 4 ，
解得：x1 = 2, x2 = -2 ，
经检验：x = -2 是增根，舍去，x = 2 是原方程的根，
:原方程的根为：x = 2 ， 故答案为：x = 2 ．
12 ．
【分析】一元二次方程配方得(x +1)2 = 4 ，再整体即可求解． 【详解】解：x2 + 2x - 3 = 0 ，移项得 x2 + 2x = 3 ，
配方得(x +1)2 = 4 ，
故答案为：505.5 ．
【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
13 ．2024
【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于 a 与 b 的 方程组，求出方程组的解得到 a 与 b 的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即
可．
【详解】解：Q2(x -1)2 +1 = 0 与(a + 6)x2 - (b + 8)x + 6 = 0 是“同族二次方程”， :(a + 6)x2 - (b + 8)x + 6 = (a + 6)(x -1)2 +1，
:(a + 6)x2 - (b + 8)x + 6 = (a + 6)x2 - 2(a + 6)x + a + 7 ，
: ax2 + bx + 2023 ， = -x2 + 2x + 2023 ， = - (x -1)2 + 2024 ， Q (x -1)2 ≥ 0 ，
:- (x -1)2 + 2024 最大值为2024 ， 即ax2 + bx + 2023 最大值为2024 ． 故答案为：2024 ．
【点睛】此题考查了配方法的应用， 非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的 新定义是解本题的关键．
14 ． 4 14 194
【分析】给方程x2 - 4x +1 = 0 (x ≠ 0) 两边同时乘 ，即可求出 的值；再给x + = 4 两边平
方，即可求出 的值；再把 两边平方，求出 的值．
【详解】Q 方程x2 - 4x +1 = 0 (x ≠ 0) 两边同时乘 得： ，
: x + = 4 ．
故答案为：4
Q x + = 4 两边平方得 ，
故答案为：14
两边平方得 ，
故答案为：194
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，完全平方公式，求代数式，灵活运用完全平方公式 是解本题的关键．
【分析】（1）题目要求用开平方的方法，所有需要把等号左右两边都变成是完全平方的形式，
再开平方即可求解；
（2）一元二次方程的一次项系数是偶数，所以运用配方法解一元二次方程，根据步骤一步 一步解答即可．
【详解】（1）解：4(x +1)2 = 9(x - 2)2 ．
: 2(x + 1) = ±3(x - 2) ，
:2x + 2 = 3x - 6 或2x + 2 = -3x + 6 ， :2x - 3x = -2 - 6 或2x + 3x = -2 + 6
（2）解：x2 - 4x + 2 = 0 ， 移项得，x2 - 4x = -2 ，
配方得x2 - 4x + 4 = -2 + 4 ， 即(x - 2)2 = 2 ，
:x - 2 = 或x - 2 = - ，
解得 ，
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法——直接开平方和配方法，解决此题的关键是 要熟练掌握解一元二次方程的各种方法，进而选择最优的方法解决问题．
16 ．(1) -x2 + 2x -1；
(2)嘉淇的说法正确．
【分析】本题考查整式的加减， 配方法的应用．解答本题的关键是明确去括号法则和合并同 类项的方法．
（1）根据 A = (4x2 - 5x - 6)- (5x2 - 7x - 5)，去括号，合并同类项即可求解；
（2）利用完全平方公式把整式 A 配方成- (x -1)2 ，据此求解即可． 【详解】（1）解：A = (4x2 - 5x - 6)- (5x2 - 7x - 5)
= 4x2 - 5x - 6 - 5x2 + 7 x + 5
= -x2 + 2x -1 ；
（2）解：QA = -x2 + 2x -1= - (x2 - 2x +1)
= - (x -1)2 ，
Q (x -1)2 ≥ 0 ，
:- (x -1)2 ≤ 0 ，
即整式 A 的值总小于或等于 0，不可能是正数， :嘉淇的说法正确．
(2) a = 1，b = 3，x = 2，y = 3 或a = 3，b = 1，x = 3，y = 2
【分析】（1）将已知式子化为 再由b = 4 - a 得原式转化为求
的最小值，只要分母最大时即可得解；
（2）将b = 4 - a 代入x + y = 11- 2ab，由题意整理得 结合
x + y = 2 2 + 3 ，令a - 2 = t ，则 解得t = ±1 ，即可求 a = 1，b = 3，x = 2，y = 3 或a = 3，b = 1，x = 3，y = 2 ．
【详解】（1）解：∵ ab > 0 且a + b = 4 ，
（2）解：Qa + b = 4 ， :b = 4 - a ，
:x + y = 11- 2ab = 11- 2a (4 - a ) = 11- 4a + 2a2 = 2a2 - 8a +11 = 2 (a - 2)2 + 3 ， Q (2 - a )(x - y ) = -4a2 +16a -13 = -4(a - 2)2 + 3 ，
∵ (x + y)2 - (x - y )2 = 4xy ，xy = 6
令 a - 2 = t ，
解得t = ±1，
: a = 1，b = 3，x = 2，y = 3 或a = 3，b = 1，x = 3，y = 2 ．
【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法，利用换元法求出 a - 2 的值是解题的 关键．
18 ．(1)代数式-a2 + 6a - 4 取得最大值是 5
(2)见解析
【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的判别式．
（1）根据非负数得性质得 -(a - 3)2 ≤ 0 ，所以当 a =3 时，式子有最大值 5；
（2）由题意得Δ = [-3(m + 2)]2 - 4m(2m + 7) ，整理得 Δ = (m + 4)2 + 20 ，即可判断
Δ = b2 - 4ac = (m + 4)2 + 20 ≥ 20 > 0 ，进而得证结论．
【详解】（1）解：-a2 + 6a - 4
= - (a2 - 6a) - 4
= - (a2 - 6a + 9 - 9) - 4
= - (a - 3)2 - 9 - 4
= -(a - 3)2 + 5
Q-(a - 3)2 ≤ 0
:-(a - 3)2 + 5 ≤ 5
: 当a =3 时，代数式-a2 + 6a - 4 取得最大值是 5；
（2）证明：QΔ = b2 - 4ac
= [-3 (m + 2)]2 - 4m(2m + 7)
= 9 (m2 + 4m + 4) - 8m2 - 28m
= 9m2 + 36m + 36 - 8m2 - 28m
= m2 + 8m + 36
= (m + 4)2 + 20
Q (m + 4)2 ≥ 0
:Δ = b2 - 4ac = (m + 4)2 + 20 ≥ 20 > 0
:无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．
19 ．D
【分析】本题考查解一元二次方程，用数轴表示实数，先求出方程的两个根，再根据根的符 号，进行判断即可．
【详解】解：∵ (3x - 9)2 - 37 = 0 ，
: (3x - 9)2 = 37 ，
∵ a > b
:它们在数轴上的对应点的位置可以是D；
故选 D．
20 ．B
【分析】由2m - 3n²+ 9 = 0 ,得n2 = ，点 P 到原点 O 的距离为 逐步整理，最后将被开方数配方进行求解即可.
解：由2m - 3n2 + 9 = 0 ,得 :点 P 到原点 O 的距离为：
故选: B.
【点睛】本题考查点的坐标， 但计算整理过程非常复杂，要求有极强的计算能力，确保计算 的正确性，熟练掌握配方法是解题的关键.
21 ．C
【分析】根据 P（x．y）为第二象限上的点，可知 0，y＞0，根据 OP=1，可知 ·、 = 1 ， 则x2 + y2 = 1，根据 x+y ＝ - ，可得 (x + y)2 = ，且 x ＝ -y - 进而可得
2xy = (x + y)2 - (x2 + y2 ) = -1 = - ，则 则
解得： 或 进而可知x = - ，则可求出 的值．
【详解】解：∵P（x．y）为第二象限上的点， :x＜0，y＞0，
∵OP=1，
: y (çè -y - = - ，化简得：
故选：C．
【点睛】本题查平面直角坐标系中点的坐标特征，点到原点的距离，完全平方公式的变形， 解一元二次方程，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键 ．
22 ．C
【分析】本题考查的是配方法的应用， 解分式方程，分式的值为整数的条件，理解题意是解 本题的关键，先建立分式方程 ，解方程后可判断①,求解 A - 2B - 2 ，再结
合配方法可判断化为 再结合分式的值可判断③ .
解
去分母得：x + 2 + x2 - 2x = x2 - 4 ，
解得：x = 6 ，
经检验x =6 是原方程的根，故①符合题意； : A = x2 - x + 3 ，B = x - 2 ，
: A - 2B - 2 = x2 - x + 3 - 2x + 4 - 2
= x2 - 3x + 5
: A - 2B - 2 > 0 ，故②符合题意；
而式子 的值为整数，x 为整数， : x - 2 = ±1 ，x - 2 = ±5 ，
: x =3 或x =1 或x =7 或x = -3 ；故③不符合题意； 故选 C
【分析】先根据题意可知该一元二次方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可求 m 的 值，进而确定该方程并求解的 x，进而得到等边三角形的边长；然后根据勾股定理求得等边
三角形的高，最后运用三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵等边三角形的边长是关于 x 的一元二次方程x2-6x + m + 8 = 0 的根 :关于 x 的一元二次方程x2-6x + m + 8 = 0 有两个相等的实数根
: △= (-6)2 - 4(m + 8) = 0 ， 解得m = 1
:原方程可化为x2-6x + 9 = 0 ， 解得x = 3
:等边三角形的三边边长都为 3
:等边三角形的高为 :等边三角形的面积为
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等边三角形的性质、勾股定理等知识点， 掌握当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式为零是解题关键．
24 ．1
【分析】本题考查了新定义， 不等式的性质，配方法求最值的计算，理解新定义运算，掌握 不等式的性质，配方法求最值的计算方法是解题的关键．
根据题意得到 则0 < b < 4 ，
由此得到当b = 2 时，ab 有最 大值10 ，代入计算即可求解．
解：已知 : 2a + 5b = 20 ，
∵lg xy = lg x + lg y ，
: lg a + lgb = lg ab ，a > 0, b > 0 ，
解得，b < 4 ，
: 0 < b < 4 ，
:当b = 2 时，ab 有最大值10 ，
: lgab = lg10 = 1， 故答案为：1 ．
25 ． 4
【分析】本题考查解一元二次方程，能够根据题意列出方程，利用直接开平方法求解方程是 解题的关键．
由题意列出方程，利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：4 + (çè 2 = çè(x - ö,÷2 ，
:x = 4 或-1，
:该方程的一个正根x = 4 ；
由题意得b2 + (çè 2 = çè(a - ö,÷2 ，
a 5 + 1
: = ， b 2
故答案为：4, ．
26 ．①④##④①
【分析】本题主要考查配方法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法，熟练掌握配方 法的应用、根的判别式及二元一次方程组的解法是解题的关键；由题意易得
然后根据配方法的应用、根 的判别式及二元一次方程组的解法可依次排除答案．
解 (2x + a)(x + b) = 2x2 + (a + 2b)x + ab ，
(x + a)(-x + b) = -x2 + (b - a )x + ab ，
2 2
: p = a + 2b, c = ab, q = b - a, m = - p , k1 = c - p , n = q , k2 = c + q ，
4 8 2 4
①∵ m = - p , n = q ，
4 2
∵ p + q = 12 ， : q = 12 - p ，
: 2m + 6 = n ；故正确； ②∵ p = q = 2 ，
解得：
故错误；
③由题意可知：当2x2 + px + c = 0 时，方程有两个相等的实数根， : Δ = b2 - 4ac = p2 - 8c = (a + 2b)2 - 8ab = (a - 2b)2 = 0 ，
: a = 2b ，
: p = 4b, q = -b ，
: p - 4q = 4b - 4 × (-b) = 8b ≠ 0 ；故错误；
: p + 2q = -8 ，
: a + 2b + 2(b - a ) = 4b - a = -8 ， : a = 4b + 8 ，
: c = ab = b (4b + 8) = 4b2 + 8b = 4 (b +1)2 - 4 ， : 4 (b +1)2 ≥ 0 ，
: c = 4 (b +1)2 - 4 ≥ -4 ，所以 c 的值不可能是-5，说法正确；
综上所述：正确的结论有①④;
故答案为①④ .
(2) a = 3 ，b = 1 ，x = 3 ，y = 2 或a = 1 ，b = 3 ，x = 2 ，y = 3
【分析】本题主要考查分式的混合运算， 配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方 法的运用是解题的关键．
（1）根据题意得到 b = 4 - a ，则原式化简得 由配方法求最值的计算方法即 可求解；
（2）根据题意得到b = 4 - a ，则x + y = 11- 2ab = 2(a - 2)2 + 3 ，bx + ay = 4x - ax + ay = 9 ，所 以-ax + ay = 9 - 4x ，由(2 - a )(x -y ) = -4(a - 2)2 + 3 得到x -y = 4 (a - 2) - - ，令a - 2 = t ，
【详解】（1）解： Qa + b = 4 ， :b = 4 - a ，
a (b +1)
( 5 ö2 25 25
Q- çèa - 2 ,÷ + 4 ≤ 4 ，
（2）解：Qa + b = 4 ， :b = 4 - a ，
:x + y = 11 - 2ab = 11 - 2a (4 - a ) = 2a2 - 8a + 11 = 2(a - 2)2 + 3 ， bx + ay = (4 - a )x + ay = 4x - ax + ay = 9 ，
:-ax + ay = 9 - 4x ，
:(2 - a )(x - y )
= 2x - 2y - ax + ay
= 2x - 2y + 9 - 4x
= -2(x + y) + 9
= -2(2a2 - 8a +11) + 9
= -4a2 +16a -13
= -4(a - 2)2 + 3 ，
Q xy = 6 ，
:(x + y)2 - (x - y)2 = 4xy = 24 ，即 (2t2 + 3 整理得
解得t = ±1，
: a = 3 ，b = 1 ，x = 3 ，y = 2 或a = 1 ，b = 3 ，x = 2 ，y = 3 ．
28 ．(1)t为0.6 时，P, Q 间的距离是13cm (2) 9 -
(3)不存在一个时刻，使得上PQB = 90 °
【分析】（1）过Q 作QM 丄 AB 于M ，根据路程= 速度× 时间，用t 表示出PM 的值，然后在 直角三角形PMQ 中，根据勾股定理求出t 的值；
（2）根据勾股定理得 BQ2 = (2t)2 + 52 ，然后根据当BQ = PB 时，列出方程求出t 的值即可；
（3）当上PQB = 90 ° 时，有PQ2 + BQ2 = PB2 ，列出方程，由 Δ < 0 ，说明方程无实数解，进
而可得不存在一个时刻，使得上 PQB = 90° .
【详解】（1）解：如图，过点Q 作QM 丄 AB 于M ，
∵点P 以3cm / s 的速度向点B 移动，点Q 以2cm / s 的速度向点D 移动，移动时间为t(s) ，
: AP = 3t(cm), CQ = 2t(cm) ， Q AB = 15cm, AD = 5cm ，
:PM =|15 - 2t - 3t |=|15 - 5t |， (15 - 5t)2 + 52 = 132 ，
解得：t = 0.6 或t = 5.4 ， Q AB = 15 ，
:3t ≤ 15 ，
:t ≤ 5 ，
: t = 5.4 不符合题意舍去，
: t 为0.6 时，P, Q 间的距离是13cm ；
（2）解：∵ AP = 3t(cm), CQ = 2tcm, PB = 15 - 3t(cm) ， 在Rt△BCQ 中，根据勾股定理得：BQ2 = (2t)2 + 52 ，
当BQ = PB 时，(2t)2 + 52 = (15 - 3t)2 ，
整理得，5t2 - 90t + 200 = 0 ，
解得 或t = 9 + （舍去）；
故当t 的值为 时，BQ = BP ；
（3）解：不存在一个时刻，使得上PQB = 90 ° ,
理由如下：
如图，过点Q 作QG 丄 AB 于点G ，得矩形BCQG ，矩形 AGQD ，
:BG = CQ = 2tcm, QG = BC = 5cm, PB = 15 - 3t(cm) ，
:PG = AB - BG - AP =|15 - 2t - 3t |=|15 - 5t | ，BQ2 = (2t)2 + 52 ，
当上PQB = 90 ° 时，有PQ2 + BQ2 = PB2 ，
:(15 - 5t)2 + 52 + (2t)2 + 52 = (15 - 3t)2 ，
化简得，2t2 - 6t + 5 = 0 ，
Q Δ = 62 - 4× 2 × 5 = -4 < 0 ， :此方程无实数解，
所以不存在一个时刻，使得上PQB = 90 ° .
【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义， 直角三角形，一元二次方程，关键是数形结合思想解决问题．