初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数测试题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）有理数测试题，共68页。

【学习目标】
1.理解有理数乘法法则；
2.能利用乘法则进行简单的有理数的乘运算；
3.能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；
【知识点梳理】
考点1 乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。
考点2 乘法运算定律
（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。
【典例分析】
【考点1 乘法法则】
【典例1】计算（﹣1）×（）的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣
【变式1-1】计算：（﹣3）×5的结果是（ ）
A．15B．2C．﹣2D．﹣15
【变式1-2】计算：等于（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
【变式1-3】计算（﹣3）×（﹣1）的结果是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
【典例2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．|a|＞|b|B．a+b＜0C．ab＞0D．a﹣b＜0
【变式2-1】如图，数轴上A，B两点所表示的两数的关系不正确的是（ ）
A．两数的绝对值相等B．两数互为相反数
C．两数的和为0D．两数的积为1
【变式2-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）
A．a＞bB．ab＞0C．a﹣b＜0D．|a|＜|b|
【变式2-3】有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞﹣3B．ab＞0C．a+b＞0D．|a|＞|b|
【典例3】计算：（﹣3）××（﹣1）×
【变式3-1】（﹣8）×4×（﹣1）×（﹣3）．
【变式3-2】计算：（﹣0.25）×（﹣25）×（﹣4）．
【变式3-3】计算：
（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）；
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）．
【典例4】计算:﹣24×（﹣+﹣）
【变式4-1】计算: ．
【变式4-2】计算：（）×（﹣60）
【变式4-3】计算：（﹣36）×（﹣+﹣）．
【典例5】用简便方法计算
（1）99×（﹣9）
（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）
【变式5-1】25×﹣25×+25×（﹣）
【变式5-2】计算：（﹣36）×99
【变式5-3】用简便方法计算
（1）29×（﹣12）
（2）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）
专题1.4.1 有理数的乘法（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1.理解有理数乘法法则；
2.能利用乘法则进行简单的有理数的乘运算；
3.能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；
【知识点梳理】
考点1 乘法法则
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
（2）任何数同0相乘，都得0。
（3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。
（4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。
考点2 乘法运算定律
（1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。
即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。
【典例分析】
【考点1 乘法法则】
【典例1】计算（﹣1）×（）的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣
【答案】B
【解答】解：原式＝﹣×＝﹣1．
故选：B．
【变式1-1】计算：（﹣3）×5的结果是（ ）
A．15B．2C．﹣2D．﹣15
【答案】D
【解答】解：（﹣3）×5
＝﹣（3×5）
＝﹣15．
故选：D．
【变式1-2】计算：等于（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
【答案】
【解答】解：原式＝﹣1；
故选：D．
【变式1-3】计算（﹣3）×（﹣1）的结果是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．3D．4
【答案】C
【解答】解：（﹣3）×（﹣1）＝3，
故选：C．
【典例2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．|a|＞|b|B．a+b＜0C．ab＞0D．a﹣b＜0
【答案】D
【解答】解：A选项，|a|＜|b|，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜0，b＞0，|a|＜|b|，
∴a+b＞0，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜b，
∴a﹣b＜0，故该选项符合题意；
故选：D．
【变式2-1】如图，数轴上A，B两点所表示的两数的关系不正确的是（ ）
A．两数的绝对值相等B．两数互为相反数
C．两数的和为0D．两数的积为1
【答案】D
【解答】解：由数轴知，|3|＝|﹣3|，﹣3＝﹣3，﹣3+3＝0，﹣3×3＝﹣9，
∴D选项说法不正确，
故选：D．
【变式2-2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（ ）
A．a＞bB．ab＞0C．a﹣b＜0D．|a|＜|b|
【答案】C
【解答】解：A选项，a＜b，故该选项不符合题意；
B选项，∵a＜0，b＞0，
∴ab＜0，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜b，
∴a﹣b＜0，故该选项符合题意；
D选项，∵|a|＞2，|b|＜2，
∴|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式2-3】有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a＞﹣3B．ab＞0C．a+b＞0D．|a|＞|b|
【答案】D
【解答】解：由数轴可知，﹣4＜a＜﹣3，2＜b＜3，
∵a＜﹣3，
∴A选项错误，不符合题意；
∵ab＜0，
∴B选项错误，不符合题意；
∵|a|＞|b|，a＜0，b＞0，
∴a+b＜0，
∴C选项错误，不符合题意；
∵|a|＞|b|，
∴D选项正确，符合题意．
故选：D．
【典例3】计算：（﹣3）××（﹣1）×
【解答】解：（﹣3）××（﹣1）×
＝（﹣）×（﹣1）×
＝×
＝﹣
【变式3-1】（﹣8）×4×（﹣1）×（﹣3）．
【解答】解：（﹣8）×4×（﹣1）×（﹣3）
＝﹣（8×4×1×3）
＝﹣96．
【变式3-2】计算：（﹣0.25）×（﹣25）×（﹣4）．
【解答】解：原式＝﹣0.25×25×4
＝﹣0.25×100
＝﹣25．
【变式3-3】计算：
（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）；
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）．
【解答】解：（1）（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝﹣××
＝﹣；
（2）（﹣5）×（﹣）××0×（﹣325）
＝0．
【典例4】计算:﹣24×（﹣+﹣）
【解答】解：﹣24×（﹣+﹣），
＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24），
＝20﹣9+2，
＝22﹣9，
＝13．
【变式4-1】计算: ．
【解答】解：原式＝﹣24×﹣24×+24×＝﹣12﹣16+20＝﹣8．
【变式4-2】计算：（）×（﹣60）
【解答】解：原式＝﹣15﹣25+50＝10．
【变式4-3】计算：（﹣36）×（﹣+﹣）．
【解答】解：原式＝﹣36×（﹣）﹣36×+36×
＝16﹣30+21
＝7．
【典例5】用简便方法计算
（1）99×（﹣9）
（2）（﹣5）×（﹣3）+（﹣7）×（﹣3）+12×（﹣3）
【解答】解：（1）原式＝（100﹣）×（﹣9）
＝﹣900+
＝﹣899．
（2）原式＝（﹣5﹣7+12）×（﹣3）
＝0×（﹣3）
＝0．
【变式5-1】25×﹣25×+25×（﹣）
【解答】解：25×﹣25×+25×（﹣）
＝25×（﹣﹣）
＝25×0
＝0．
【变式5-2】计算：（﹣36）×99
【解答】解：原式＝（﹣36）×（100﹣）
＝（﹣36）×100﹣（﹣36）×
＝﹣3600+
＝﹣3599．
【变式5-3】用简便方法计算
（1）29×（﹣12）
（2）﹣5×（﹣）+13×（﹣）﹣3×（﹣）
【解答】解：（1）原式＝（30﹣）×（﹣12）
＝30×（﹣12）﹣×（﹣12）
＝﹣360+
＝﹣359；
（2）原式＝（﹣）×[（﹣5）+13﹣3]
＝（﹣）×5
＝﹣11．
专题1.4.1 有理数的乘法（专项训练）
1．计算﹣1的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣a一定是负数B．若|a|＝0.5，则a＝0.5
C．﹣a的倒数是D．a与﹣a互为相反数
3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则错误的结论是（ ）
A．a＜bB．b＞﹣aC．a﹣b＞0D．ab＜0
4．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＞|b|B．a+b＞0C．a﹣b＞0D．ab＞0
5．在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b＜0B．a+b＞0C．|a|＞|b|D．ab＞0
6．计算：
（1）． （2）．
7．计算：0.5×（﹣0.6）．
8．计算：
（1）（﹣5）×（﹣7） （2）
9．计算：（﹣8）×（﹣）×（﹣1.25）×．
10．计算：×（﹣）××．
11.计算：（﹣3）××（﹣）×（﹣）
12．计算：
（1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1； （2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）．
13．计算：（﹣0.25）×（﹣）×4×（﹣18）．
14．计算：
（1）﹣0.75×（﹣0.4）×1 （2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）
15．（简便计算）99×（﹣9）
16．计算：
（1）﹣0.75×（﹣0.4）×1； （2）0.6×（﹣）•（﹣）•（﹣2）
17．用简便方法计算：﹣99×14．
18．用简便方法计算
（1）99×（﹣9） （2）﹣39×（﹣6）
19．用简便算法计算下列各题．
（1） （2）．
20．利用适当的方法计算：+．
21．用简便方法计算：（﹣3）×（﹣）+0.25×24.5+（﹣3）×25%
22．用简便方法计算：
（1）（﹣9）×31﹣（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；
（2）99×（﹣36）．
23．计算：﹣60×（+﹣﹣）
24．计算
（1）
（2）．
专题1.4.1 有理数的乘法（专项训练）
1．计算﹣1的结果是（ ）
A．1B．﹣1C．D．﹣
【答案】A
【解答】解：原式＝（﹣）＝1．
故选：A．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．﹣a一定是负数B．若|a|＝0.5，则a＝0.5
C．﹣a的倒数是D．a与﹣a互为相反数
【答案】D
【解答】解：A、a表示一个实数，可以是正数或负数或零，故选项A不符合题意；
B、|a|＝0.5，则a＝0.5或﹣0.5，故选项B不符合题意；
C、a表示一个实数，可以是正数或负数或零，零没有倒数，选项C不符合题意；
D、a与﹣a互为相反数，选项D符合题意．
故选：D．
3．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则错误的结论是（ ）
A．a＜bB．b＞﹣aC．a﹣b＞0D．ab＜0
【答案】C
【解答】解：由数轴可知：﹣b＜a＜0＜﹣a＜b，
A、a＜b，故A不符合题意．
B、﹣a＜b，故B不符合题意．
C、a﹣b＜0，故C符合题意．
D、ab＜0，故D不符合题意．
故选：C．
4．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A．|a|＞|b|B．a+b＞0C．a﹣b＞0D．ab＞0
【答案】C
【解答】解：由数轴可得：0＜a＜1，﹣2＜b＜﹣1，
A、0＜|a|＜1，1＜|b|＜2，所以|a|＜|b|，故选项A不符合题意；
B、﹣1＜a+b＜0，故选项B不符合题意；
C、1＜a﹣b＜3，则a﹣b＞0，故选项C符合题意；
D、ab＜0，故选项D不符合题意．
故选：C．
5．在数轴上表示a、b两数的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b＜0B．a+b＞0C．|a|＞|b|D．ab＞0
【答案】A
【解答】解：∵a＞0，b＜0，|a|＜|b|，
∴a+b＜0，ab＜0，
所以B，C，D不正确，A正确；
故选：A
6．计算：
（1）． （2）．
【解答】解：（1）
＝+（3×）
＝1；
（2）
＝
＝﹣（）
＝﹣；
7．计算：0.5×（﹣0.6）．
【解答】解：0.5×（﹣0.6）
＝﹣（0.5×0.6）
＝﹣0.3．
8．计算：
（1）（﹣5）×（﹣7） （2）
【解答】解：（1）原式＝5×7＝35；
（2）原式＝5×6××＝6．
9．计算：（﹣8）×（﹣）×（﹣1.25）×．
【解答】解：原式＝﹣8×1.25××＝﹣．
10．计算：×（﹣）××．
【解答】解：×（﹣）××
＝（×）×（﹣×）
＝×（﹣）
＝﹣．
11.计算：（﹣3）××（﹣）×（﹣）
【解答】解：（﹣3）××（﹣）×（﹣）
＝（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝×（﹣）
＝﹣
12．计算：
（1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1；
（2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣0.75×（﹣0.4 ）×
＝××
＝；
（2）原式＝0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）
＝﹣×××
＝﹣1．
13．（﹣0.25）×（﹣）×4×（﹣18）．
【解答】解：原式＝﹣（××4×18）＝﹣14．
14．计算：
（1）﹣0.75×（﹣0.4）×1
（2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）
【解答】解：（1）原式＝﹣×（﹣）×＝；
（2）原式＝×（﹣）×（﹣）×（﹣2）＝﹣．
15．（简便计算）99×（﹣9）
【解答】解：99×（﹣9）
＝（100﹣）×（﹣9）
＝﹣900+
＝﹣899．
16．计算：
（1）﹣0.75×（﹣0.4）×1；
（2）0.6×（﹣）•（﹣）•（﹣2）
【解答】解：（1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1
＝
＝．
（2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）
＝﹣
＝﹣1
17．用简便方法计算：﹣99×14．
【解答】解：原式＝（﹣100+）×14＝﹣1400+2＝﹣1398．
18．用简便方法计算
（1）99×（﹣9）
（2）﹣39×（﹣6）
【解答】解：（1）原式＝（100﹣）×（﹣9）＝﹣900+＝﹣899；
（2）原式＝（﹣40+）×（﹣6）＝240﹣1＝239．
19．用简便算法计算下列各题．
（1）
（2）．
【解答】解：（1）
＝（﹣24）
＝6﹣4+3﹣2
＝3
（2）
＝（100﹣）×（﹣13）
＝﹣1300+
＝﹣1298．
20．利用适当的方法计算：+．
【解答】解：原式＝×（﹣9﹣18+1）
＝×（﹣26）
＝﹣14．
21．用简便方法计算：（﹣3）×（﹣）+0.25×24.5+（﹣3）×25%
【解答】解：（﹣3）×（﹣）+0.25×24.5+（﹣3）×25%，
＝3×+×24.5+（﹣3）×，
＝×（3+24.5﹣3.5），
＝×24，
＝6．
22．用简便方法计算：
（1）（﹣9）×31﹣（﹣8）×（﹣31）﹣（﹣16）×31；
（2）99×（﹣36）．
【解答】解：（1）原式＝31×（﹣9﹣8+16）
＝31×（﹣1）
＝﹣31；
（2）原式＝（100﹣）×（﹣36）
＝100×（﹣36）﹣×（﹣36）
＝﹣3600+
＝﹣3599．
23．计算：﹣60×（+﹣﹣）
【解答】解：原式＝（﹣60）×+（﹣60）×﹣（﹣60）×﹣（﹣60）×
＝﹣45﹣50+44+35
＝﹣16．
24．计算
（1）
（2）．
【解答】解：（1）[1﹣（+﹣）×24]×（﹣），
＝[1﹣（×24+×24﹣×24）]×（﹣），
＝[﹣（9+4﹣18）]×（﹣），
＝（+5）×（﹣），
＝×（﹣）+5×（﹣），
＝﹣﹣1，
＝﹣；
（2）﹣5×（﹣）+11×（﹣）﹣3×（﹣），
＝﹣5×（﹣）+11×（﹣）﹣6×（﹣），
＝（﹣5+11﹣6）×（﹣），
＝0．
专题1.4.2 有理数的除法（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1.理解有理数除法法则；
2.能利用除法则进行简单的有理数的乘运算；
3.能掌握除法的运算定律和运算技巧，熟练计算；
4.通过将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想
【知识点梳理】
考点1 倒数
（1）定义： 的两个数互为倒数。
（2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 .
考点2 除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
考点3 四则混合运算
先乘除，后加减，有括号先算括号里的
【典例分析】
【考点1 倒数】
【典例1】6的倒数是（ ）
A．﹣B．C．﹣6D．6
【变式1-1】如果α与﹣8互为倒数，那么α的值为（ ）
A．8B．﹣8C．D．
【变式1-2】﹣0.5的倒数是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣2D．2
【变式1-3】若x与互为倒数，则|1﹣x|的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【典例2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解是多少？
【变式2-1】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd+的值．
【变式2-2】已知a与﹣3互为相反数，b与﹣互为倒数，求a﹣b的值．
【变式2-3】设a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的倒数等于它本身，试化简：+（a+b）m﹣|m|．
【考点2 有理数的除法法则】
【典例3】计算的结果为（ ）
A．B．C．18D．﹣18
【变式3-1】计算6÷（﹣2）的结果等于（ ）
A．﹣3B．﹣2C．3D．8
【变式3-2】下列结论正确的是（ ）
A．互为相反数的两个数的商为﹣1
B．在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1
C．当|x|＝﹣x，则x＜0
D．带有负号的数一定是负数
【变式3-3】若（﹣2024）×□＝1，则“□”内应填的实数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．﹣D．
【典例4】阅读下列材料：计算50÷（﹣+）．
解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为（﹣+）÷50
＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 一 是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：（﹣）÷（﹣+﹣）
【变式4-1】计算：．
【变式4-2】（）÷（﹣）
【变式4-3】计算:（﹣）÷（1﹣+），
【考点3有理数乘除法混合运算】
【典例5】计算：（﹣）×（﹣）÷（﹣3）．
【变式5-1】计算：﹣×÷1．
【变式5-2】计算：﹣56×（﹣）÷（﹣1）．
【变式5-3】计算：．
【考点4 有理数四则混合运算】
【典例6】计算：．
【变式6-1】计算：．
【变式6-2】×（﹣6）﹣（﹣）÷（﹣）
专题1.4.2 有理数的除法（知识解读）
【直击考点】

【学习目标】
1.理解有理数除法法则；
2.能利用除法则进行简单的有理数的乘运算；
3.能掌握除法的运算定律和运算技巧，熟练计算；
4.通过将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想
【知识点梳理】
考点1 倒数
（1）定义： 的两个数互为倒数。
（2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。
注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 .
考点2 除法法则
（1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
（3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。
考点3 四则混合运算
先乘除，后加减，有括号先算括号里的
【典例分析】
【考点1 倒数】
【典例1】6的倒数是（ ）
A．﹣B．C．﹣6D．6
【答案】B
【解答】解：6的倒数是，
故选：B．
【变式1-1】如果α与﹣8互为倒数，那么α的值为（ ）
A．8B．﹣8C．D．
【答案】D
【解答】解：﹣8的倒数是﹣，
故选：D．
【变式1-2】﹣0.5的倒数是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣2D．2
【答案】C
【解答】解：∵﹣2×（﹣0.5）＝1，
∴﹣0.5的倒数是：﹣2．
故选：C．
【变式1-3】若x与互为倒数，则|1﹣x|的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【解答】解：∵x与互为倒数，
∴x＝3，
当x＝3时，
|1﹣x|＝|1﹣3|＝2．
故选：A．
【典例2】若a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，则关于x的方程（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0的解是多少？
【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，p的绝对值等于2，
∴a+b＝0，cd＝1，p2＝4，
∴（a+b）x2+3cd•x﹣p2＝0，
整理得：3x﹣4＝0，
解得：x＝．
【变式2-1】若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4．
（1）直接写出a+b，cd，m的值；
（2）求m+cd+的值．
【解答】解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为4，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±4；
（2）由（1）得：
原式＝±4+1＝5或﹣3．
【变式2-2】已知a与﹣3互为相反数，b与﹣互为倒数，求a﹣b的值．
【解答】解：∵a与﹣3互为相反数，b与﹣互为倒数，
∴a＝3，b＝﹣2．
∴a﹣b＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5．
【变式2-3】设a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的倒数等于它本身，试化简：+（a+b）m﹣|m|．
【解答】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数，m的倒数等于它本身，
∴a+b＝0，cd＝1，m＝±1，
∴当m＝1时，原式＝1+0﹣1＝0；
当m＝﹣1时，原式＝﹣1+0﹣1＝﹣2；
故代数式的值为：0或﹣2
【考点2 有理数的除法法则】
【典例3】计算的结果为（ ）
A．B．C．18D．﹣18
【答案】D
【解答】解：原式＝﹣9×2
＝﹣18．
故选：D．
【变式3-1】计算6÷（﹣2）的结果等于（ ）
A．﹣3B．﹣2C．3D．8
【答案】A
【解答】解：原式＝﹣（6÷2）
＝﹣3．
故选：A．
【变式3-2】下列结论正确的是（ ）
A．互为相反数的两个数的商为﹣1
B．在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1
C．当|x|＝﹣x，则x＜0
D．带有负号的数一定是负数
【答案】B
【解答】解：A选项，0的相反数是0，0÷0没有意义，故该选项不符合题意；
B选项，在数轴上与表示数4的点相距3个单位长度的点对应的数是7或1，故该选项符合题意；
C选项，当|x|＝﹣x，则x≤0，故该选项不符合题意；
D选项，﹣（﹣2）＝2，故该选项不符合题意；
故选：B．
【变式3-3】若（﹣2024）×□＝1，则“□”内应填的实数是（ ）
A．﹣2024B．2024C．﹣D．
【答案】C
【解答】解：1÷（﹣2024）＝﹣．
故选：C．
【典例4】阅读下列材料：计算50÷（﹣+）．
解法一：原式＝50÷﹣50÷+50÷＝50×3﹣50×4+50×12＝550．
解法二：原式＝50÷（﹣+）＝50÷＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为（﹣+）÷50
＝（﹣+）×＝×﹣×+×＝．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 一 是错误的．请你选择合适的解法解答下列问题：
计算：（﹣）÷（﹣+﹣）
【解答】解：没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一．
原式＝（）÷（﹣）
＝（﹣）×3
＝．
【变式4-1】计算：．
【解答】解：
＝
＝﹣×36﹣×36+×36
＝﹣27﹣6+15
＝﹣18．
【变式4-2】（）÷（﹣）
【解答】解：原式＝（）×（﹣60），
＝﹣×60﹣×60+×60，
＝﹣45﹣35+50，
＝﹣30．
【变式4-3】计算:（﹣）÷（1﹣+），
＝（﹣）÷（﹣+），
＝（﹣）÷，
＝（﹣）×，
＝﹣；
【考点3有理数乘除法混合运算】
【典例5】计算：（﹣）×（﹣）÷（﹣3）．
【解答】解：原式＝﹣×××
＝﹣．
【变式5-1】计算：﹣×÷1．
【解答】解：原式＝﹣×（﹣）×
＝．
【变式5-2】计算：﹣56×（﹣）÷（﹣1）．
【解答】解：原式＝﹣56×（﹣）×（﹣）
＝﹣15．
【变式5-3】计算：．
【解答】解：原式＝××
＝．
【考点4 有理数四则混合运算】
【典例6】计算：．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝1．
【变式6-1】计算：．
【解答】解：原式＝÷（﹣）×6.8
＝÷×6.8
＝×12×6.8
＝5×6.8
＝34．
【变式6-2】×（﹣6）﹣（﹣）÷（﹣）
【解答】解：原式＝﹣4﹣×＝﹣4﹣6＝﹣10．
专题1.4.2 有理数的除法（专项训练）
1．﹣1的倒数是（ ）
A．B．﹣C．1D．﹣1
2．一个数的倒数等于﹣，这个数是（ ）
A．﹣2B．C．2D．﹣
3．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．
4．甲的等于乙的，那么甲、乙两数之比是（ ）
A．7：5B．5：7C．3：2D．2：3
5．计算：（﹣27）÷2×÷（﹣24）．
6．（﹣81）÷2×（﹣）÷（﹣16）
7．计算：（﹣+）÷（﹣）
8．计算：（1）÷（﹣）
9．计算：（﹣﹣）÷（﹣）．
10．阅读下列材料：
计算：÷（﹣+）．
解法一：原式＝÷﹣÷+÷＝×3﹣×4+×12＝．
解法二：原式＝÷（﹣+）＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝（﹣+）÷＝（﹣+）×24＝×24﹣×24+×24＝4．
所以，原式＝．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．
11．计算（﹣32）÷4×（﹣8）结果是（ ）
A．1B．﹣1C．64D．﹣64
12．计算：（﹣3）÷（﹣1）×（﹣）．
13．计算：（﹣1）÷（﹣2）×（﹣）．
14．计算：（﹣）×（﹣1）÷（﹣）．
15．计算：．
16．计算：（﹣1）×（﹣1）÷（﹣1）．
17．计算：（﹣）÷（﹣2）×．
18．计算：÷（﹣10）×（﹣）÷（﹣）
19．计算：
（1）﹣4×（﹣7）；
（2）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（﹣）；
（3）（﹣24）÷（﹣2）÷（﹣1）；
（4）﹣27×÷（﹣24）．
20．计算：．
21．计算：﹣0.75×（﹣0.4）÷1．
22．计算：
（1）； （2）．
23．计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； （2）﹣；
（3）； （4）．
24．计算：．
专题1.4.2 有理数的除法（专项训练）
1．﹣1的倒数是（ ）
A．B．﹣C．1D．﹣1
【答案】B
【解答】解：﹣1＝﹣，﹣1的倒数是：﹣．
故选：B．
2．一个数的倒数等于﹣，这个数是（ ）
A．﹣2B．C．2D．﹣
【答案】A
【解答】解：﹣的倒数是﹣2，
故选：A．
3．已知a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，求式子（a+b）+m﹣cd+m．
【答案】-5
【解答】解：∵a和b互为相反数，c和d互为倒数，m是绝对值等于2的数，
∴当m＝2时，原式＝0+2﹣1+2＝3；
当m＝﹣2时，原式＝0﹣2﹣1﹣2＝﹣5．
4．甲的等于乙的，那么甲、乙两数之比是（ ）
A．7：5B．5：7C．3：2D．2：3
【答案】B
【解答】解：∵甲数×＝乙数×，
∴甲数：乙数
＝：
＝÷
＝×5
＝
＝5：7，
故选：B．
5．计算：（﹣27）÷2×÷（﹣24）．
【解答】解：（﹣27）÷2×÷（﹣24）
＝（﹣27）×÷2÷（﹣24）
＝（﹣27）×÷[2×（﹣24）]
＝（﹣12）÷（﹣54）
＝
6．（﹣81）÷2×（﹣）÷（﹣16）
【解答】解：（﹣81）÷2×（﹣）÷（﹣16）
＝﹣81×××
＝﹣1
7．计算：（﹣+）÷（﹣）
【解答】解：原式＝（﹣+）×（﹣36），
＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36），
＝﹣8+9﹣2，
＝﹣1．
8．计算：（1）÷（﹣）
【解答】解：原式＝（1﹣﹣）×（﹣）
＝﹣2+1+
＝﹣．
9．计算：（﹣﹣）÷（﹣）．
【解答】解：原式＝（﹣﹣）×（﹣18）
＝×（﹣18）﹣×（﹣18）﹣×（﹣18）
＝
＝﹣1．
10．阅读下列材料：
计算：÷（﹣+）．
解法一：原式＝÷﹣÷+÷＝×3﹣×4+×12＝．
解法二：原式＝÷（﹣+）＝÷＝×6＝．
解法三：原式的倒数＝（﹣+）÷＝（﹣+）×24＝×24﹣×24+×24＝4．
所以，原式＝．
（1）上述得到的结果不同，你认为解法 一 是错误的；
（2）请你选择合适的解法计算：（﹣）÷（﹣+﹣）．
【解答】解：（1）上述得到的结果不同，我认为解法一是错误的；
故答案为：一；
（2）原式的倒数为：（﹣+﹣）÷（﹣）＝（﹣+﹣）×（﹣42）＝﹣7+9﹣28+12＝﹣35+21＝﹣14，
则原式＝﹣
11．计算（﹣32）÷4×（﹣8）结果是（ ）
A．1B．﹣1C．64D．﹣64
【答案】C
【解答】解：原式＝﹣8×（﹣8）＝64．
故选：C．
12．计算：（﹣3）÷（﹣1）×（﹣）．
【解答】解：原式＝﹣×（﹣）×（﹣）
＝﹣1．
13．计算：（﹣1）÷（﹣2）×（﹣）．
【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）
＝﹣．
14．计算：（﹣）×（﹣1）÷（﹣）．
【解答】解：原式＝﹣××4
＝﹣．
15．计算：．
【解答】解：
＝（）××（﹣8）×（﹣）
＝﹣．
16．计算：（﹣1）×（﹣1）÷（﹣1）．
【解答】解：原式＝﹣×（﹣）÷（﹣）
＝×（﹣）
＝．
17．计算：（﹣）÷（﹣2）×．
【解答】解：原式＝××
＝．
18．计算：÷（﹣10）×（﹣）÷（﹣）
【解答】解：原式＝×××
＝﹣
19．计算：
（1）﹣4×（﹣7）；
（2）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（﹣）；
（3）（﹣24）÷（﹣2）÷（﹣1）；
（4）﹣27×÷（﹣24）．
【解答】解：（1）﹣4×（﹣7）
＝28；
（2）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（﹣）
＝﹣（2×5×7×）
＝﹣10；
（3）（﹣24）÷（﹣2）÷（﹣1）
＝12÷（﹣1）
＝﹣10；
（4）﹣27×÷（﹣24）
＝27÷×÷24
＝27×××
＝．
20．计算：．
【解答】解：原式＝
＝﹣6．
21．计算：﹣0.75×（﹣0.4）÷1．
【解答】解：原式＝
＝．
22．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝××
＝；
（2）原式＝×（﹣）×
＝﹣．
23．计算：
（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）；
（2）﹣；
（3）；
（4）．
【解答】解：（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4），
＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]，
＝﹣85×100，
＝﹣8500；
（2）﹣2×2÷（﹣2），
＝﹣××（﹣），
＝2；
（4）（﹣+﹣）×36，
＝×36﹣×36+×36﹣×36，
＝28﹣30+27﹣14，
＝55﹣44，
＝11．
24．．
【解答】解：＝＝＝．
专题1.4 有理数的乘除法（能力提升）
一、选择题。
1．（2024秋•青田县期末）若等式♦（﹣3）＝1成立，则“♦”内的运算符号是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
2．（2024秋•孝义市期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．a+b＝0B．ab＞0C．a÷b＜0D．a﹣b＞0
3．（2024秋•兴山县期末）已知a与﹣2024互为倒数，则a的值为（ ）
A．+2024B．﹣2024C．D．
4．（2024秋•武冈市期末）下列说法正确的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若ab＝0，则a＝0且b＝0
C．若|a|＝﹣a，则a＜0 D．若ab＞0且a+b＞0，则a＞0，b＞0
5．（2024秋•大丰区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．|a|＜|b|B．a＞bC．a+b＞0D．
6．（2024秋•绥棱县期末）8：15的前项增加16，要使比值不变，后项应该（ ）
A．加上16B．乘以16C．加上30D．乘以30
7．（2024秋•垦利区期末）在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．（2024秋•邹城市期中）如图，有①，②，③，④，⑤五张写着不同数字的卡片，请你从中抽取三张卡片，使其中两张卡片上数字之差与第三张卡片上数字的乘积最小，你抽取的三张卡片应是（ ）

A．①，②，③B．②，③，④C．①，②，⑤D．②，④，⑤
9．（2024秋•万州区期末）对于有理数x，y，若＜0，则++的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
10．（2024秋•黔江区期末）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则；③若a+b＜0，且，则|a+2b|＝﹣a﹣2b；④若m是有理数，则|m|+m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题。
11．（2024秋•邗江区期末）若a，b互为倒数，则﹣4ab+1的值为 ．
12．（2024秋•呼和浩特月考）六（3）班女生人数是男生的，女生人数是总人数的 ．如果六（3）班的总人数在40～50之间，那么六（3）班一共有 人．
13．（2024秋•孝义市期末）有理数的乘法运算，除了用乘法口诀外，现有一种“划线法”：如图1，表示的乘法算式是12×23＝276；图2表示的是123×24＝2952．则图3表示的乘法算式是 ．

14．（2024秋•黔南州月考）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的最大剂量是 30 mg．
15．（2024秋•台江区期末）已知有理数a，b满足ab≤0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则（2a+b+）（a﹣b）的值为 ．
16．（2024秋•江汉区期末）某商店销售一批服装一段时间后降价促销，利润率降低了15个百分点，降价前销售16件与降价后销售18件的销售额相同，降价前的利润率是 ．
17．（2024秋•泾阳县期末）若两个数的积为﹣1，我们称它们互为负倒数，则0.125的负倒数是 ．
18．（2024秋•黄陂区期中）下列说法：
①若a，b互为相反数，则＝﹣1；
②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0；
③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7；
④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．
其中一定正确的结论是 （只填序号）．
三、解答题。
19．（2024秋•昌平区期末）计算：3÷（﹣）×（﹣4）．
20．（2024春•宝山区校级月考）﹣24×（﹣+﹣）
21．（2024秋•顺义区期末）计算 ．
22．（2024秋•西城区校级期中）．
23．（2024秋•永吉县期中）计算：（﹣3）÷（﹣1）×（﹣）．
24．（2024秋•新华区校级期中）已知a2＝4，|b|＝3．
（1）已知＜0，求a+b的值；
（2）|a+b|＝﹣（a+b），求a﹣b的值．
25．（2024秋•偃师市期中）已知|x|＝，|y|＝．
（1）求x+y的值；
（2）若xy＜0，求的值．
26．（2024春•开州区期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a≤b≤c≤d，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为1＜3＜6＜9，所以1369叫做顺次数．
（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是 ，最小的“顺次数”是 ；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．
27．（2024秋•渑池县期中）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：49×（﹣5），看谁算的又快又对．
小明的解法：原式＝﹣；
小军的解法：原式＝．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把49看作，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：9×（﹣3）．
28．（2024秋•靖江市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，）＝ ，f（5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．
专题1.4 有理数的乘除法（能力提升）
一、选择题。
1．（2024秋•青田县期末）若等式♦（﹣3）＝1成立，则“♦”内的运算符号是（ ）
A．+B．﹣C．×D．÷
【答案】C。
【解答】解：∵，
∴A选项不符合题意，
∵，
∴B选项不符合题意，
∵﹣，
∴C选项符合题意．
故选：C．
2．（2024秋•孝义市期末）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．a+b＝0B．ab＞0C．a÷b＜0D．a﹣b＞0
【答案】C。
【解答】解：由数轴可知：﹣b＜a＜0＜﹣a＜b，
A、a+b＞0，故A不符合题意．
B、ab＜0，故B不符合题意．
C、a÷b＜0，故C符合题意．
D、a﹣b＜0，故D不符合题意．
故选：C．
3．（2024秋•兴山县期末）已知a与﹣2024互为倒数，则a的值为（ ）
A．+2024B．﹣2024C．D．
【答案】C。
【解答】解：∵（﹣）×（﹣2024）＝1，
∴﹣与﹣2024互为倒数，
则a的值为﹣．
故选：C．
4．（2024秋•武冈市期末）下列说法正确的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若ab＝0，则a＝0且b＝0
C．若|a|＝﹣a，则a＜0 D．若ab＞0且a+b＞0，则a＞0，b＞0
【答案】D。
【解答】解：A选项，若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b，故该选项不符合题意；
B选项，若ab＝0，则a＝0或b＝0，故该选项不符合题意；
C选项，若|a|＝﹣a，则a≤0，故该选项不符合题意；
D选项，若ab＞0且a+b＞0，则a＞0，b＞0，故该选项符合题意；
故选：D．
5．（2024秋•大丰区期末）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）
A．|a|＜|b|B．a＞bC．a+b＞0D．
【答案】D。
【解答】解：A选项，∵|a|＞1，|b|＜1，
∴|a|＞|b|，故该选项不符合题意；
B选项，a＜b，故该选项不符合题意；
C选项，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＜0，b＞0，
∴＜0，故该选项符合题意；
故选：D．
6．（2024秋•绥棱县期末）8：15的前项增加16，要使比值不变，后项应该（ ）
A．加上16B．乘以16C．加上30D．乘以30
【答案】C。
【解答】解：∵（8+16）÷8
＝24÷8
＝3，
∴8：15的前项增加16，要使比值不变，后项应该乘3或加上：
15×3﹣15
＝45﹣15
＝30．
故选：C．
7．（2024秋•垦利区期末）在下列说法：①如果a＞b，则有|a|＞|b|；②若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数；③一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数；④若m+n＝0，则m、n互为相反数．其中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D。
【解答】解：①如果a＞b，如1＞﹣2，|1|＝1，|﹣2|＝2，但|1|＜|﹣2|，那么|a|＞|b|不一定成立，故①不正确．
②若干个不为0的有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数，故②不正确．
③根据绝对值的定义，当a≥0，则|a|＝a，即0或正数的绝对值等于本身，故③不正确．
④根据等式的性质，m+n＝0，则m＝﹣n，那么m与n互为相反数，故④正确．
综上：正确的有④，共1个．
故选：D．
8．（2024秋•邹城市期中）如图，有①，②，③，④，⑤五张写着不同数字的卡片，请你从中抽取三张卡片，使其中两张卡片上数字之差与第三张卡片上数字的乘积最小，你抽取的三张卡片应是（ ）

A．①，②，③B．②，③，④C．①，②，⑤D．②，④，⑤
【答案】C。
【解答】解：4﹣（﹣2）＝6，6×（﹣5）＝﹣30．故选：C．
9．（2024秋•万州区期末）对于有理数x，y，若＜0，则++的值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【答案】B。
【解答】解：∵＜0，
∴x，y异号．
∴xy＜0，
∴＝＝﹣1，
当x＞0时，y＜0，则＝＝﹣1，＝＝1，
∴原式＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1．
当x＜0时，y＞0，则则＝＝1，＝＝﹣1．
∴原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
故选：B．
10．（2024秋•黔江区期末）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1和0；②若﹣1＜m＜0，则；③若a+b＜0，且，则|a+2b|＝﹣a﹣2b；④若m是有理数，则|m|+m是非负数；⑤若c＜0＜a＜b，则（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C。
【解答】解：∵0没有倒数，
∴①错误．
∵﹣1＜m＜0，
∴＜0，m2＞0，
∴②错误．
∵a+b＜0，且，
∴a＜0，b＜0．
∴a+2b＜0，
∴|a+2b|＝﹣a﹣2b．
∴③正确．
∵|m|≥﹣m，
∴|m|+m≥0，
∴④正确，
∵c＜0＜a＜b，
∴a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0．
∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0正确．
∴⑤正确．
故选：C．
二、填空题。
11．（2024秋•邗江区期末）若a，b互为倒数，则﹣4ab+1的值为 ﹣3 ．
【答案】﹣3。
【解答】解：∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，
∴﹣4ab+1＝﹣4+1＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．（2024秋•呼和浩特月考）六（3）班女生人数是男生的，女生人数是总人数的 ．如果六（3）班的总人数在40～50之间，那么六（3）班一共有 45 人．
【答案】，45。
【解答】解：∵六（3）班女生人数是男生的，
∴女生人数是总人数的4÷（4+5）＝，
∵六（3）班的总人数在40～50之间，
∴能被9整除的数是45，
∴六（3）班一共有45人．
故答案为：，45．
13．（2024秋•孝义市期末）有理数的乘法运算，除了用乘法口诀外，现有一种“划线法”：如图1，表示的乘法算式是12×23＝276；图2表示的是123×24＝2952．则图3表示的乘法算式是 31×42＝1302 ．

【答案】31×42＝1302。
【解答】解：31×42＝1302，
故答案为：31×42＝1302．
14．（2024秋•黔南州月考）某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的最大剂量是 30 mg．
【答案】30。
【解答】解：60÷2＝30（mg），
故答案为：30．
15．（2024秋•台江区期末）已知有理数a，b满足ab≤0，a+b＞0，7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，则（2a+b+）（a﹣b）的值为 0 ．
【答案】0。
【解答】解：∵ab≤0，a+b＞0，
∴a，b异号或其中一个为0，另一个为正数，
若a＞0，b＜0，
∵a+b＞0，
∴7a+2b+1＝5a+2a+2b+1＝5a+2（a+b）+1＞0，
∵﹣|b﹣a|≤0，
∴这种情况不存在；
若a＜0，b＞0，
则b﹣a＞0，
∵7a+2b+1＝﹣|b﹣a|，
∴7a+2b+1＝﹣（b﹣a），
∴6a+3b+1＝0，
∴2a+b+＝0，
∴原式＝0；
若a＝0，b＞0，
∵7a+2b+1＝2b+1＞0，﹣|b﹣a|＝﹣b＜0，
∴这种情况不存在；
若a＞0，b＝0，
∵7a+2b+1＝7a+1＞0，﹣|b﹣a|＝﹣a＜0，
∴这种情况不存在；
故答案为：0．
16．（2024秋•江汉区期末）某商店销售一批服装一段时间后降价促销，利润率降低了15个百分点，降价前销售16件与降价后销售18件的销售额相同，降价前的利润率是 135% ．
【答案】135%。
【解答】解：设降价前的利润率是x，
16x＝18×（x﹣15%）
16x＝18x﹣2.7
18x﹣16x＝2.7
2x＝2.7
x＝1.35
1.35＝135%
故答案为：135%．
17．（2024秋•泾阳县期末）若两个数的积为﹣1，我们称它们互为负倒数，则0.125的负倒数是 ﹣8 ．
【答案】﹣8。
【解答】解：0.125的负倒数为：﹣1÷0.125＝﹣8．
故答案为﹣8．
18．（2024秋•黄陂区期中）下列说法：
①若a，b互为相反数，则＝﹣1；
②如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0；
③若x表示一个有理数，则|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7；
④若abc＜0，a+b+c＞0，则的值为﹣2．
其中一定正确的结论是 ②③ （只填序号）．
【答案】②③。
【解答】解：∵0 的相反数是0，
∴当a，b为0时，相反数的商为0，就不成立，
∴①的说法错误；
∵当a，b同号或a，b中至少一个为0时，|a+b|＝|a|+|b|，
∴如果|a+b|＝|a|+|b|，则ab≥0，
∴②的说法正确；
∵当﹣5≤x≤2时，根据绝对值的几何意义可得|x+2|+|x+5|+|x﹣2|的最小值为7，
∴③的说法正确；
∵若abc＜0，a+b+c＞0，则a，b，c中可能两个正数一个负数或两个负数一个正数，
∴当有两个正数一个负数时，设a＞0，b＞0，c＜0，
＝1﹣1+1﹣1＝0；
∴④的说法错误；
综上，正确的说法有：②③，
故答案为：②③．
三、解答题。
19．（2024秋•昌平区期末）计算：3÷（﹣）×（﹣4）．
【解答】解：原式＝3÷×4
＝3×2×4
＝6×4
＝24．
20．（2024春•宝山区校级月考）﹣24×（﹣+﹣）
【解答】解：﹣24×（﹣+﹣），
＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24），
＝20﹣9+2，
＝22﹣9，
＝13．
21．（2024秋•顺义区期末）计算 ．
【解答】解：原式＝﹣24×﹣24×+24×＝﹣12﹣16+20＝﹣8．
22．（2024秋•西城区校级期中）．
【解答】解：原式＝×（﹣）×（﹣）
＝．
23．（2024秋•永吉县期中）计算：（﹣3）÷（﹣1）×（﹣）．
【解答】解：原式＝﹣×（﹣）×（﹣）
＝﹣1．
24．（2024秋•新华区校级期中）已知a2＝4，|b|＝3．
（1）已知＜0，求a+b的值；
（2）|a+b|＝﹣（a+b），求a﹣b的值．
【解答】解：（1）∵a2＝4，|b|＝3，
∴a＝±2，b±3，
∵＜0，
∴①a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝2+（﹣3）＝﹣1；
②a＝﹣2，b＝3，
∴a+b＝（﹣2）+3＝1；
综上所述：a+b＝±1；
（2）∵|a+b|＝﹣（a+b），
∴a+b＜0，
∴①a＝2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝2﹣（﹣3）＝5，
②a＝﹣2，b＝﹣3，
∴a﹣b＝（﹣2）﹣（﹣3）＝1，
综上所述：a﹣b＝1或5．
25．（2024秋•偃师市期中）已知|x|＝，|y|＝．
（1）求x+y的值；
（2）若xy＜0，求的值．
【解答】解：（1）∵|x|＝，|y|＝，
∴x＝±，y＝±，
当x＝，y＝时，x+y＝＝，
当x＝，y＝﹣时，x+y＝＝，
当x＝﹣，y＝时，x+y＝﹣＝﹣，
当x＝﹣，y＝﹣时，x+y＝﹣＝﹣，
综上，x+y的值为±或±；
（2）∵|x|＝，|y|＝，
∴x＝±，y＝±，
又∵xy＜0，
∴x与y异号，
当x＝，y＝﹣时，＝﹣，
当x＝﹣，y＝时，＝﹣，
综上，的值为﹣．
26．（2024春•开州区期末）一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，如果a≤b≤c≤d，那么我们把这个四位正整数叫做顺次数，例如四位正整数1369：因为1＜3＜6＜9，所以1369叫做顺次数．
（1）四位正整数中，最大的“顺次数”是 9999 ，最小的“顺次数”是 1111 ；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是2、7，且这个四位正整数是“顺次数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．
【解答】解：（1）根据题意a≤b≤c≤d，
∴四位正整数中，最大的“顺次数”是9999，最小的“顺次数”是1111，
故答案为：9999；1111；
（2）根据题意a≤b≤c≤d，且一个四位顺次数的百位、个位上的数字分别是2、7，
∴这个“顺次数”的千位是1或2，
①当a＝1时，这个顺次数可能是1227，1237，1247，1257，1267，1277；
其中，只有1267是7的倍数；
②当a＝2时，这个顺次数可能是2227，2237，2247，2257，2267，2277；
其中，只有2247是7的倍数；
∴这个四位正整数是1267或2247．
27．（2024秋•渑池县期中）学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：49×（﹣5），看谁算的又快又对．
小明的解法：原式＝﹣；
小军的解法：原式＝．
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
（2）小强认为还有更好的方法：把49看作，请把小强的解法写出来．
（3）请你用最合适的方法计算：9×（﹣3）．
【解答】解：（1）小军的解法较好；
（2）49×（﹣5）
＝（50﹣）×（﹣5）
＝50×（﹣5）﹣×（﹣5）
＝﹣250+
＝﹣249；
（3）9×（﹣3）
＝（10﹣）×（﹣3）
＝10×（﹣3）﹣×（﹣3）
＝﹣30+
＝﹣29．
28．（2024秋•靖江市期中）小聪是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识，脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如5÷5÷5，（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）等，类比有理数的乘方．小聪把5÷5÷5记作f（3，5），（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）÷（﹣2）记作f（4，﹣2）．
（1）直接写出计算结果，f（4，）＝ 4 ，f（5，3）＝ ；
（2）关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ② ．（填序号）
①f（6，3）＝f（3，6）；
②f（2，a）＝1（a≠0）；
③对于任何正整数n，都有f（n，﹣1）＝1；
④对于任何正整数n，都有f（2n，a）＜0（a＜0）．
（3）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式f（n，a）（n为正整数，a≠0，n≥2），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
（4）请利用（3）问的推导公式计算：f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）．
【解答】解：（1）f（4，）＝÷÷÷＝4，
f（5，3）＝3÷3÷3÷3÷3＝；
故答案为：4； ．
（2）①f（6，3）＝3÷3÷3÷3÷3÷3＝，f（3，6）＝6÷6÷6＝，
∴f（6，3）≠f（3，6），故错误；
②f（2，a）＝a÷a＝1（a≠0），故正确；
③对于任何正整数n，当n为奇数时，f（n，﹣1）＝﹣1；当n为偶数时，f（n，﹣1）＝1．故错误；
④对于任何正整数n，2n为偶数，所以都有f（2n，a）＞0，而不是f（2n，a）＜0（a＜0），故错误；
故答案为：②．
（3）公式f（n，a）＝a÷a÷a÷a÷…÷a÷a＝1÷（an﹣2）＝（）n﹣2（n为正整数，a≠0，n≥2）．
（4）f（5，3）×f（4，）×f（5，﹣2）×f（6，）
＝×9×（﹣）×16
＝﹣．