人教A版 (2019)必修 第一册简单的三角恒等变换课时练习

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考点一：两角和与差的正余弦与正切
①；
②；
③；
考点二：二倍角公式
①；
②；
③；
考点三：降次（幂）公式
考点四．辅助角公式
（其中）．
考点五：常见拆分方法
①；；②；③；
④；⑤．
注意 特殊的角也看成已知角，如．
【题型目录】
题型一：和差角公式的应用
题型二：二倍角公式的应用
题型三：凑角（换元法）
题型四：给值求角问题
题型五：求非特殊角三角函数值
【典例例题】
题型一：和差角公式的应用
【例1】在平面直角坐标系中，角的终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】得到点关于的对称点，即可求得，再结合余弦的和差角公式即可得到结果.
【详解】由题意得角的终边过点，所以，，
故.故选:B.
【例2】若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案.
【详解】因为．所以，解得，
于是．故选：C.
【例3】已知函数．设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，得，，再利用同角三角函数的关系求出，然后利用两角和的余弦公式可求得的值.
【详解】因为， ，
所以，，所以，，所以，
因为，所以，，
所以，故选：B
【例4】已知 ， 且 为第四象限角， 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两角差的正弦公式求得，根据同角的三角函数关系求得，即可求得答案.
【详解】由可得，即，因为 为第四象限角，故，所以，故选：A
【例5】（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】结合诱导公式、两角和的正弦公式求得正确选项.
【详解】
.故选：B
【例6】已知，则_______________．
【答案】
【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解.
【详解】解：因为，，所以，，
即，，
两式相加得，所以．故答案为：
【例7】化简：_____．
【答案】1
【分析】结合两角和的正切公式求得正确答案.
【详解】由于，所以，
所以.故答案为：
【题型专练】
1．已知，都是锐角，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数基本关系以及两角和的余弦公式求解.
【详解】因为，都是锐角，，，所以，
，所以.故B，C，D错误.故选：A.
2.已知，则_______________．
【答案】
【分析】将所给条件两边同时平方再相加即可得解.
【详解】解：因为，，所以，，
即，，
两式相加得，所以．故答案为：
3．已知均有意义，则的值为___________．
【答案】
【分析】根据两角和与差的余弦公式，以及三角函数的基本关系式，准确化简，即可求解.
【详解】因为，可得，
整理得，即，又由.
故答案为：.
4．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据诱导公式、差角的正弦公式求解.
【详解】
．故A，C，D错误.故选：B.
5．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】C
【分析】由韦达定理得，利用两角和与差的正弦公式展开求值式并弦化切，然后代入计算．
【详解】∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴．则．
故选：C．
6．已知，且是第二象限角，则______．
【答案】
【分析】首先利用两角差的正切公式求，再利用同角三角函数基本关系式求.
【详解】，解得：，
，且是第二象限角，所以.故答案为：
7．求值：cs58°sin77°＋sin122°sin13°= _______．
【答案】
【分析】根据诱导公式及两角和的正弦公式即可求解.
【详解】解：
，故答案为：.
8．____________．
【答案】
【分析】由正切的差角公式，可得，经过等量代换与运算可得答案.
【详解】
．故答案为：.
题型二：二倍角公式运用
【例1】若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由二倍角公式将的等式右侧化简，再利用分式运算及两角和差的余弦公式化简，根据，即可求得的值.
【详解】解：由，且
即.所以整理得：
又，所以，即.故选：A.
【例2】公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为，若，则的值为（ ）
A．1B．2C．-1D．-2
【答案】D
【分析】由平方关系结合二倍角正弦和余弦公式得出答案.
【详解】因为，，所以，
所以故选：D.
【例3】若为第二象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角关系，对所给等式两边平方，逆用二倍角的正弦公式，可解得答案.
【详解】因为，两边平方得, ，所以，，
所以，．故选：D.
【例4】已知为三角形的内角，且，则___________.
【答案】
【分析】根据二倍角公式可由得，再将化成齐次式即可解出．
【详解】由，可得，
故.故答案为：．
【例5】若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用商数关系式和二倍角公式化简题设中的三角函数式可得，再根据二倍角的余弦公式可求的值.
【详解】因为，故，故，
因为，故，所以，所以即，
故，故选：D.
【例6】设，，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，利用倍角公式化简，利用正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，，
.因为函数在上是增函数，所以.故选：C.
【题型专练】
1.（多选）下列三角式中，值为1的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】A选项,，故正确.B选项，，故正确.C选项，，故正确.D选项，，故错误，故选：ABC.
2．若，则_______，_______．
【答案】
【解析】，所以．
．故答案为：；．
3．若，且，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】先利用倍角公式以及平方关系求出，再结合选项逐个验证即可.
【详解】因为，所以，解得．
又，所以，从而，于是．故选：AD.
4．已知为锐角，且，则___________.
【答案】
【分析】根据同角关系可由余弦求出正弦，然后由二倍角公式以及两角和的正弦即可求解.
【详解】因为为锐角，且，所以，所以.
所以.故答案为：
5．若是第三象限角，且，则___________.
【答案】
【分析】利用两角差的正弦公式化简已知条件，求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，结合降幂公式求得.
【详解】，由于是第三象限角，所以，所以.
故答案为：
6.若，且，则（ ）
A．B．C．2D．2
【答案】D
【分析】由，可解得，即可求解
【详解】，故，可解得或，又，故，故，故选：D
7.若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cs(α＋eq \f(π,4))sinβ，则
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.
【详解】由已知得：,
即：，即：,
所以,故选：C
题型三：凑角（换元法）
【例1】已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.
【详解】因为，则，所以，，
所以，.故选：B.
【例2】若，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意求得和的值，结合两角差的余弦公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，，因为，，可得，，
则
.故选：C.
【例3】已知 ， 则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出的值，再根据诱导公式可求出答案.
【详解】因为，所以，
所以.故选：B．
【例4】若，，则___________.
【答案】
【分析】由，应用和角正切公式即可求值.
【详解】.故答案为：.
【例5】已知，，，求与的值．
【答案】，.
【解析】因为，所以，，
所以，，
所以，
．
【例6】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得.
【详解】因为，
所以.故选：B．
【题型专练】
1．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，结合已知及和差角余弦公式可得，进而可得，最后由倍角余弦公式求值.
【详解】因为，所以，因为，所以，于是，所以．故选：B
2．已知，，则（ ）
A．1B．-1C．D．
【答案】A
【分析】由，利用两角差的正切公式展开，即可计算出答案.
【详解】因为，，所以
.故选：A.
3．已知，，，则的值为（ ）
A．或0B．0C．D．
【答案】D
【分析】根据两角差的正弦公式，结合同角三角函数的关系与求解即可.
【详解】∵，∴，∵，，∴，.
则或0.∵，∴.故选：D
4．已知，，，，则________.
【答案】
【分析】根据同角三角函数的关系可得与，再结合以及同角三角函数的关系可得.
【详解】∵，且，∴.∵，∴，∴.又，∴，
∴，
又∵，∴.故答案为：
5．已知，，，，求：
(1)的值；
(2)的值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）先由已知条件判断的范围，再利用同角三角函数的关系求出，则由利用两角差的余弦公式可求得，
（2）由同角三角函数的关系求出，从而可求得的值，再利用正切的二倍角公式可求得的值.
（1）因为，，所以，，
所以，，
所以
.
（2）因为，，所以，
所以，所以.
6.已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得的值，再根据求解即可.
【详解】因为，所以，
.故选：B.
7.已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知的取值范围，求出的取值范围，再结合即可解得的值，即可求解
【详解】因为，所以又，所以，所以
所以故选：D
8．已知，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】先根据，判断角的范围，再根据求；
根据平方关系，判断的值；利用公式求值，并根据角的范围判断角的值；利用公式和，联合求.
【详解】①因为，所以，又，故有，，
解出，故A错误；
②，由①知：，所以，所以，故B正确；
③由①知：，而，所以，又，所以，
解得，所以
又因为，，所以，有，故C正确；
④由，由③知，，
两式联立得：，故D错误．故选：BC
题型四：给值求角
【例1】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合式子中角的特点以及范围，分别求，
，再根据正切值缩小的范围，从而得到的范围，即可得到角的大小.
【详解】因为 ，
，而，，所以，，，，所以．故选：D．
【例2】已知，，则______．
【答案】
【分析】由诱导公式、辅助角公式、倍角公式得出，再由正弦函数的性质结合得出.
【详解】由题知，则，
即，即，
即，则或，．
因为，所以，所以，解得．故答案为：
【例3】在中，，，则角（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可知，即，再将题干等式代入化简，即可得出答案.
【详解】因为，所以，因为，
所以.又，所以由得
，所以，所以，所以.又，所以.故选：C.
【例4】已知，且，求的值为_____．
【答案】
【分析】注意到，利用诱导公式和两角和的正弦公式求解，注意范围的确定.
【详解】，则，注意到，于是
，不妨记，于是，而，于是（负值舍去），又，则（正值舍去），于是计算可得：
，而，于是.故答案为：.
【例5】已知都是锐角，，则___________.
【答案】
【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求.
【详解】、为锐角，，
，
由于为锐角，故答案为：
【题型专练】
1.已知角，，则______.
【答案】
【分析】化简，即可得到，再根据的范围，即可求出结果.
【详解】，，，
，，
，，，则.
故答案为：.
2.已知，求角的值．
【答案】
【解析】因为，所以．又因为，所以．
因为，所以，
所以．
又因为，所以．
3.若，且，则的值为___________.
【答案】或
【分析】根据二倍角的余弦公式和两角差的正弦公式可得，分类讨论当、时的情况，结合和辅助角公式计算即可.
【详解】由题意知，则，
即，
当时，，即，由，得；
当时，，所以，即，
由，得，所以，得.
故答案为：或
4.若，，且，，则的值是______．
【答案】
【分析】由以及，求出的值，再求出，再由可求出的值，利用两角和的余弦公式计算的值，结合角的范围即可求得答案.
【详解】因为，所以，因为，所以，
因为，，所以，因为，所以，
所以，
所以，
因为，，所以，所以.故答案为：.
5.若，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两角和与差的余弦公式，结合角的取值范围求解
【详解】因为，所以，因为，所以，即，
所以.因为，，所以，
因为，所以.
所以.
因为，，所以，所以.故选：A
6.已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】推导出，可得出，求出的取值范围，即可得解.
【详解】因为，则，所以，，
因为、都是锐角，由题意可得，所以，，
所以，，因为、都是锐角，则且，则，所以，，因此，.故选：D.
7．已知，其中，求角的值.
【答案】
【解析】因为，所以.因为，所以.
由已知可得，，
则
.
因为，所以.
8．已知，且，求角的值．
【答案】
【解析】依题意，且，
所以.
所以.
，两者相加得，所以.
9.已知且，则=（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】根据给定条件利用三角恒等变换求出的值，再判断的范围即可得解.
【详解】因，则，，
因，，则，又，有，
于是得，因此，，所以.故选：C
10．（多选）已知，，，且，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．，可能是方程的两根
D．
【答案】ABD
【分析】A. 利用平方关系求解判断； B.利用诱导公式求解判断； C.利用角的范围判断； D.利用两角和的正切公式求解判断.
【详解】A. 由，，且 ，所以，所以故正确；
B. 因为，且，且，所以，故正确；
C.若，可能是方程的两根，则，，
因为，，所以，所以，又，，故错误；
D.，
，
，故正确；故选：ABD
11．（多选）已知，其中为锐角，则以下命题正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】利用凑角的方式，将角看成整体，但要注意角的范围，
根据同角三角函数的关系，两角和差的余弦公式及解方程即可求解.
【详解】因为，，所以，故A正确；
因为，所以
所以，故B正确；
，，
由得，，解得；故C不正确；
由得，，解得；
，故D不正确.故选：AB.
12．若，则__________，_________．
【答案】
【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求．
【详解】，∴，即，即，令，，则，∴，即，
∴ ，则．
故答案为：；．
题型五：求非特殊角三角函数值
【例1】求值（1）；（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）原式
（2）原式
【例2】（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将代入所求式子通分化简，再结合二倍角公式、两角差的正弦公式，即可得解．
【详解】解：
．故选：A．
【例3】求值
【答案】
【详解】原式
【例4】若角的终边经过点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先通过诱导公式变形确认的值，再将变形化简．
【详解】∵，，∴，故，，又，即，∴．
故选：D．
【例5】求值：（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先化切为弦将转化为，然后根据二倍角的正弦和余弦公式、辅助角公式以及诱导公式进行化简求值.
【详解】原式
，故选：D.
【题型专练】
1.求值
【答案】2.
【详解】原式
2.___________.
【答案】
【分析】将原式化切为弦，通分，然后利用两角和正弦公式以及二倍角公式，即可求解.
【详解】
.故答案为：.
3.若，则α的一个可能角度值为__________.
【答案】等答案较多
【分析】先把化简成，解得后，解三角方程即可解决.
【详解】
则，故，或
故答案为：等均符合题意.
4.化简并求值.
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）32.
【解析】（1）原式
.
（2）原式
.
（3）原式
.
（4）原式
.