数学必修 第一册三角恒等变换同步测试题

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题型一：两角和与差的正（余）弦公式
题型二：两角和与差的正切公式
题型三：二倍角公式的简单应用
题型四：给角求值
题型五：给值求值
题型六：给值求角
题型七：利用半角公式化简求值问题
题型八：三角恒等式的证明
题型九：辅助角公式的应用
题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
题型十一：利用两角和与差的余弦进行证明
题型十二：三角恒等变换在实际问题中的应用
【知识点梳理】
知识点一：两角和的余弦函数
两角和的余弦公式：
知识点诠释：
（1）公式中的都是任意角；
（2）和差角的余弦公式不能按分配律展开，即；
（3）公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题．
（4）记忆：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反．
知识点二：两角和与差的正弦函数
两角和正弦函数
在公式中用代替，就得到：
两角差的正弦函数
知识点诠释：
（1）公式中的都是任意角；
（2）与和差角的余弦公式一样，公式对分配律不成立，即；
（3）和差公式是诱导公式的推广，诱导公式是和差公式的特例．如
当或中有一个角是的整数倍时，通常使用诱导公式较为方便；
（4）使用公式时，不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简时，不要将和展开，而应采用整体思想，进行如下变形：
这也体现了数学中的整体原则．
（5）记忆时要与两角和与差的余弦公式区别开来，两角和与差的余弦公式的等号右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相反；两角和与差的正弦公式的等号右端的两部分为异名三角函数积，连接符号与等号左边角的连接符号相同．
知识点三：两角和与差的正切函数
知识点诠释：
（1）公式成立的条件是：，或，其中；
（2）公式的变形：
（3）两角和与差的正切公式不仅可以正用，也可以逆用、变形用，逆用和变形用都是化简三角恒等式的重要手段，如就可以解决诸如的求值问题．所以在处理问题时要注意观察式子的特点，巧妙运用公式或其变形，使变换过程简单明了．
（4）公式对分配律不成立，即．
知识点四：理解并运用和角公式、差角公式需注意的几个问题
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系
（1）掌握好表中公式的内在联系及其推导线索，能帮助学生理解和记忆公式，是学好本部分的关键．
（2）诱导公式是两角和、差的三角函数公式的特殊情况．，中若有为的整数倍的角时，使用诱导公式更灵活、简便，不需要再用两角和、差公式展开．
2、重视角的变换
三角变换是三角函数的灵魂与核心，在三角变换中，角的变换是最基本的变换，在历年的高考试题中多次出现，必须引起足够的重视．常见的角的变换有：
；；；等，常见的三角变换有：切化弦、等．
知识点五：二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式
知识点诠释：
（1）公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；
（2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的．要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．如：；
2、和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
知识点六：二倍角公式的逆用及变形
1、公式的逆用
；．
．
．
2、公式的变形
；
降幂公式：
升幂公式：
知识点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题
1、对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2、掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，也要抓住角之间的规律（如互余、互补、和倍关系等等）；
3、将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接．
知识点七：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：，
降幂公式：，
知识点诠释：
利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
知识点八：辅助角公式
1、形如的三角函数式的变形：
令，，则
（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）
2、辅助角公式在解题中的应用
通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．
知识点九：半角公式（以下公式只要求会推导，不要求记忆）
，
以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．
以上两个公式称作半角正切的有理式表示．
知识点十：积化和差公式


知识点诠释：
规律1：公式右边中括号前的系数都有．
规律2：中括号中前后两项的角分别为和．
规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．
知识点十一：和差化积公式


知识点诠释：
规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．
规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．
规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cs）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．
规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．
注意
1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．
2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．
3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．
4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．
5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．
【典型例题】
题型一：两角和与差的正（余）弦公式
例1．（ ）
A．B．C．D．
例2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
例3．（ ）
A．B．C．D．
变式1．=（ ）
A．B．C．D．
变式2．的值为（ ）
A．B．C．D．
变式3．下列各式化简结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧与总结】
已知，的某种三角函数值，求的正弦，先要根据平方关系求出、的另一种三角函数值．求解过程中要注意先根据角的范围判断所求三角函数值的符号，然后再将求得的函数值和已知函数值代入和角或差角的三角函数公式中求值．
题型二：两角和与差的正切公式
例4．（ ）
A．B．1C．D．
例5．在中，，，则角（ ）
A．B．C．D．
例6．的值为（ ）
A．B．C．D．
变式4．（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
公式的变形应予以灵活运用．
题型三：二倍角公式的简单应用
例7．已知sinα+csα＝，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
例8．若，则（ ）
A．B．C．D．
例9．若，则（ ）
A．B．C．D．
变式6．若，则=（ ）
A．B．C．D．
变式7．若，则（ ）.
A．B．C．D．
变式8．若则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
应用二倍角公式化简（求值）的策略：化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
题型四：给角求值
例10．的值为（ ）
A．0B．C．D．
例11．计算：（ ）
A．B．C．D．
例12．计算：（ ）
A．1B．2C．3D．4
变式9．（ ）
A．1B．C．D．2
变式10．（ ）
A．B．C．D．
变式11．（ ）
A．B．C．D．
变式12．（ ）
A．B．1C．D．
变式13．（ ）
A．B．C．1D．
【方法技巧与总结】
在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时，要先把非特殊角转化为特殊角的差（或同一个非特殊角与特殊角的差），利用公式直接化简求值，在转化过程中，充分利用诱导公式，构造出两角差的余弦公式的结构形式，正确地顺用公式或逆用公式求值．
题型五：给值求值
例13．若，则（ ）
A．B．C．D．
例14．若，则（ ）
A．B．C．D．
例15．已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式14．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
变式15．已知函数．设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式16．已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式17．）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
变式18．已知，且，则值为（ ）
A．B．C．D．
变式19．已知，，且，，则（ ）
A．1B．0C．-1D．
变式20．，则（ ）
A．B．C．D．
变式21．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式22．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
变式23．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
变式24．若，，则（ ）
A．B．C．D．
变式25．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式26．已知，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
变式27．已知，则（ ）
A．B．C．D．
变式28．已知、为锐角，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式29．已知，则的值是（ ）
A．B．C．D．
变式30．已知为锐角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【方法技巧与总结】
给值求值的解题策略
（1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角．
（2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：
①；②；③；④．
题型六：给值求角
例16．若，，且，是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．或D．或
例17．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
例18．若，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
变式31．设，则的大小是（ ）
A．B．C．D．或
变式32．已知，，，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
变式33．已知，均为锐角，且，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
变式34．已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
变式35．若，，且，，则的值是（ ）
A．B．C．或D．或
【方法技巧与总结】
解决三角函数给值求角问题的方法步骤
（1）给值求角问题的步骤．
①求所求角的某个三角函数值．
②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角．
（2）选取函数的原则．
①已知正切函数值，选正切函数．
②已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好．
题型七：利用半角公式化简求值问题
例19．化简：
例20．若，是第三象限角，则___________.
例21．化简：
(1)；
(2).
变式36．已知，．
（1）求的值；
（2）若，，求的值．
【方法技巧与总结】
1、化简问题中的“三变”
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开方等．
2、利用半角公式求值的思路
（1）看角：看已知角与待求角的2倍关系．
（2）明范围：求出相应半角的范围为定符号作准备．
（3）选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常利用计算．
提醒：已知的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号．
题型八：三角恒等式的证明
例24．（1）证明：
（2）求值：
变式38．证明：
(1)；
(2)．
【方法技巧与总结】
三角恒等式证明的常用方法
（1）执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
（2）左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
（3）拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
（4）比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
（5）分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
题型九：辅助角公式的应用
例25．若函数的图像关于直线对称，则___________.
例26．当函数取得最大值时，____________．
例27．要使有意义，则实数m的取值范围为____________．
变式39．A、B、C是的内角，其中，则的取值范围是__．
变式40．关于函数有下列结论：
①其表达式可写成；
②曲线关于直线对称；
③在区间上单调递增；
④，使得恒成立.
其中正确的是______（填写正确的序号）.
变式41．函数的最大值为______．
变式42．若函数取最小值时，则___________.
【方法技巧与总结】
辅助角公式的应用策略
（1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
（2）把形如化为，可进一步研究函数的周期、单调性．
题型十：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合
例28．已知函数，.
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间；
(3)求在区间上的最大值和最小值.
例29．已知函数
(1)求的最小正周期及单调递减区间；
(2)求在区间上的最值；
(3)若，求的值．
例30．已知函数
(1)求的最小正周期和对称中心;
(2)求的单调递减区间；
(3)当时，求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值
变式44．已知函数
(1)求的最小正周期和单调增区间；
(2)当时，，求.
变式45．已知函数，.
(1)求的最小正周期、对称轴和单调递增区间；
(2)若函数与关于直线对称，求在闭区间上的最大值和最小值.
变式46．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数的单调递增区间；
(3)若函数在区间内有两个不同的零点，直接写出实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤：（1）运用和、差、倍角公式化简；（2）统一化成的形式；（3）利用辅助角公式化为的形式，研究其性质．
题型十一：三角恒等变换在实际问题中的应用
例34．如图，是半径为1，的扇形，C是弧上的动点，是扇形的内接矩形，记，当时，四边形的面积S取得最大，则的值为_________．
例36．如图，已知面积为的扇形，半径为，是弧上任意一点，作矩形内接于该扇形．
(1)求扇形圆心角的大小；
(2)点在什么位置时，矩形的面积最大？并说明理由．
【同步练习】
一、单选题
1．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
2．函数图象的一条对称轴方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
5．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．存在，使成立
B．对任意都成立
C．能根据公式直接展开
D．在中，若为钝角，则的值大于1
7．已知䌼角满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．18
二、多选题
8．下列各式中，值为的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．的最小正周期为 B．曲线关于点中心对称
C．的最大值为 D．曲线关于直线对称
10．已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象．若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
11．函数的图像相邻的两条对称轴之间的距离是______；
12．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为θ，那么______
13．已知都是锐角，，则___________.
14．已知函数，若在区间上单调递减，且函数图象关于对称，则的值是___________．
四、解答题
15．（1）若，求的值；
（2）求的值；
（3）在中,，求角.
16．已知函数
(1)求的值；
(2)求的最小正周期和单调递增区间；
(3)求在上的最值．
17．已知函数.设，.
(1)求的最小正周期；
(2)求的值.
18．已知，
(1)求和的值
(2)若，，求的大小．
19．已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式.
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标变)，得到函数的图象，当时，求函数的值域.
(3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到依次为，，…，试确定的值，并求的值.