人教A版 (2019)必修 第一册简单的三角恒等变换第2课时教案及反思

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册简单的三角恒等变换第2课时教案及反思，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时 辅助角公式的推导和应用

一、教学目标
1. 能够利用等式的性质，也可以逆用和差角公式推导出辅助角公式.
2. 通过三角恒等变形，灵活利用公式将三角恒等变形将形如asinx＋bcsx的函数转化为y＝Asin(x＋φ)的函数，解决函数的最值、周期、单调性等问题，强化数学运算的核心素养.
3. 会利用辅助角公式求解实际问题中的最值，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；
4. 通过对三角函数中的恒等式变换应用的学习，体会数学来源于生活，最终也服务于生活，提高学习数学的兴趣.

二、教学重难点
重点：辅助角公式的推导；利用辅助角公式和三角函数恒等变换解决实际应用问题．
难点：辅助角推导应用的数学方法和思想；如何将实际问题转换成三角函数恒等变换的问题．

三、教学过程
（一）创设情境
通过提问的方式依次让学生回答和差化积公式有哪些呢？
师生活动：教师提问方式可以随机抽取学生点对点的回答，大众提问学生积极举手回答或者学生集体回答：1. 回顾一下和差化积公式有哪些呢？2. 对于更一般的asinx+bcsx（a>0,b>0)这样的形式是否也可以用和差化积公式进行化简呢？等问题引发学生三角函数的恒等式的实际应用的探讨和思考，学生积极讨论.
设计意图：回顾旧知，对三角函数公式加强记忆以及对其使用条件的熟悉，初步了解三角函数中的恒等式变换在实际应用中还可以解决哪些问题提供解决问题的思路和方向, 为接下来的探究作铺垫.
（二）探究新知
任务1：探究辅助角公式的推导.
探究：如何将asinx+bcsx转化成a2+b2sin(x+φ)的形式呢？
问题: 三角函数式y=Asin(x+φ)，利用和差角公式展开为哪种形式？如何推导呢？
答案: 可化为asinx+bcsx的形式；y=Asin(x+φ)=A(sinxcsφ+csxsinφ) =Acsφsinx+Asinφcsx
思考：依据等式性质，如何逆用和差角公式将asinx+bcsx转化成a2+b2sin(x+φ)的的形式呢？sinx与csx的系数能否看成同一个角的正弦和余弦？
教师并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
分析： ∵ aa2+b22+ba2+b22=1，可令 aa2+b2=csφ， ba2+b2=sinφ则有 asinx+bcsx=a2+b2(sinxcsφ+csxsinφ)因此，可以得出如下结论：asinx+bcsx=a2+b2sin(x+φ)其中 tanφ=sinφcsφ=ba.
追问：类似地，是否可以将其写成余弦的形式呢？
分析：可以将其写成余弦的差角形式：asinx+bcsx=a2+b2cs(x−φ)其中 tanφ=ab.
思考：化简：(1) 2csα− 2sinα；(2)sinα+csα；
解：(1) 2csα− 2sinα=2( 22csα− 22sinα)=2cs(α+π4)；
(2)sinα+csα= 2( 22sinα+ 22csα)= 2sin(α+π4)；
总结：辅助角公式：asinx+bcsx=a2+b2sin(x+φ).（其中tanφ=ba）；asinx+bcsx=a2+b2cs(x−φ).（其中tanφ=ab）
任务2：探究三角函数性质中的应用
探究：求下列函数的周期，最大值和最小值：
（1） y＝sinx+ 3 csx；（2）y＝3sinx＋4csx．
教师追问1: 什么样的三角函数式便于求周期，最大值和最小值等性质？
提示：形如y=Asin(ωx+φ)、y=Acs(ωx+φ)的一个角的一个三角函数名的形式.
教师追问2: 三角函数式y=Asin(ωx+φ)、y=Acs(ωx+φ)，利用和差角公式展开，都可化为哪种形式？ asinωx+bcsωx化为哪种形式？
提示：1：可化为asinωx+bcsωx的形式；2：Asin(ωx+φ)或者Acs(ωx+φ)的形式.
思考：对于y＝ sinx+3csx ，其中sinx与csx的系数1与 3 能否看成同一个角的正弦和余弦？满足什么条件的两个实数才可以分别看作同一个角的正弦和余弦?并求解这两个式子.
师生活动：教师可以给以提示：不能；利用同角三角函数关系sin2x+cs2x=1，可知满足m2+n2=1的实数m，n才可以分别看作同一个角的正弦和余弦．并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
解：(1)y=sinx+ 3csx=2(12sinx+ 32csx)=2(sinxcsπ3+csxsinπ3)=2sin(x+π3).因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为−2．
(2)设3sinx+4csx=Asin(x+φ)，则3sinx+4csx=Asinxcsφ+Acsxsinφ．
于是Acsφ=3，Asinφ=4，于是A2cs2φ+A2sin2φ=25，所以A2=25．
取A=5，则csφ=35，sinφ=45．
由y=5sin(x+φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为−5．
任务3：探究在实际问题中的应用.
探究：如图，在扇形OPQ中，半径OP=1，圆心角∠POQ=π3，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形. 记∠POC=α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.
思考：先需要根据已知条件表示矩形的面积 S ，它的长和宽与角α有怎样的关系呢？你是如何得到的？ S与α之间的函数关系S=f(α)需要将这个解析式转化为哪种形式利于求出最值？
师生活动：教师可以给以提示：在直角△OBC中，得宽BC=sinα． 由图得AB=OB－OA，而在直角△OBC中，得OB=csα，在直角△OAD中，OA= 33AD= 33 BC= 33 sinα，所以AB=csα－33sinα．因此，可得S=(csα－33 sinα)sinα=csαsinα－33 sin2α．先利用降幂公式将函数化为y＝asinωx+bcsωx的形式，再利用辅助角公式将其化为y=Asin(ωx+φ)或者y=Acs(ωx+φ)的形式，即可求得最值．
并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
解：在Rt△OBC中，OB=csα，BC=sinα. 在Rt△OAD中，DAOA=tanπ3=3.
所以OA=33DA=33BC=33sinα AB=OB−OA=csα−33sinα
设矩形ABCD的面积为S，
则S=AB⋅BC=csα−33sinα sinα=sinαcsα−33sin2α =13(32sin2α+12cs2α)−36 =13sin(2α+π6)−36
由0