数学等式性质与不等式性质同步练习题

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知识点一、符号法则与比较大小
实数的符号：
任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立.
两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质：
①两个同号实数相加，和的符号不变
符号语言：；
②两个同号实数相乘，积是正数
符号语言：；
③两个异号实数相乘，积是负数
符号语言：
④任何实数的平方为非负数，0的平方为0
符号语言：，.
比较两个实数大小的法则：
对任意两个实数,
①；②；③.
对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立.
知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系.它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据.
知识点二、不等式的性质
不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分
基本性质有：
(1)对称性：
(2)传递性：
(3)可加性：(c∈R)
(4)可乘性：a>b，
运算性质有：
(1)可加法则：
(2)可乘法则：
(3)可乘方性：
知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据.
知识点三、比较两代数式大小的方法
作差法：
任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小.
①；②；③.
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小.
①；②；③.
中间量法：
若且，则（实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量.
题型一：作差法比较两数(式)的大小
【例1】已知，，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】作差可得x-y的表达式，根据题意，分析可得x-y的正负，即可得答案.
【详解】，因为，所以，
又，所以，即.故选：B
【例2】若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断
【详解】对于A，，因为，故，即，故A错；
对于B，不确定符号，取则，故B错误；
对于C， ，因为，故，即，故C正确；对于D，，因为，故，即，故D错误．故选：C
【例2】已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过作差法，，确定符号，排除D选项；通过作差法，，确定符号，排除C选项；通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】由，且，故；
由且，故；
且，故.所以，
故选：B.
【题型专练】
1.设，，，则P、Q的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用作差法计算可得；
【详解】解：因为，，所以，所以；故选：A
2.已知 ， ，则 _______ ．（填“>”或“0， ， 此时成立；
(2)若b>a>0， 则， a-bb，则B．若a>b，则
C．若a>b，c>d，则a+c>b+dD．若a>b，c>d，则ac>bd
【答案】C
【分析】根据不等式的性质即可逐一求解.
【详解】对于A:取则，故A错，对于B:若，则，故B错误，
对于C:由同号可加性可知：a>b，c>d，则a+c>b+d，故C正确，
对于D:若，则，，故D错误.故选：C
【例3】已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可
【详解】因为实数a，b，c满足，，所以，
对于A，因为，所以，因为，所以，所以A错误，
对于B，若，则，因为，所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误，故选：C
【例4】若a，b为实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】据特值可说明ABC不正确；根据不等式的性质可得D正确.
【详解】对于A，当时，满足，不满足，故A不正确；
对于B，当时，满足，不满足，故B不正确；
对于C，当时，满足，不满足，故C 不正确；
对于D，若，则，故D正确.故选：D.
【例5】（多选）若a，b，，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则B．若，则
C．若且，则D．
【答案】BCD
【分析】由不等式的性质逐一判断即可.
【详解】解：对于A，当时，结论不成立，故A错误；
对于B，等价于，又，故成立，故B正确；
对于C，因为且，所以等价于，即，成立，故C正确；
对于D，等价于，成立，故D正确.故选：BCD.
【题型专练】
1.若，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．，若，则
C．若，则D．，，若，则
【答案】C
【分析】利用特值法可判断ABD，利用不等式的性质可判断C.
【详解】对于A，当时，，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；对于C，若，则，故C正确；
对于D，当时，，故D错误，故选：C.
2.已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质判断A，利用特殊值判断B、C、D；
【详解】解：因为，所以，故A正确；对于B：当时，故B错误；
对于C：当，，显然满足，但是，故C错误；
对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；故选：A
3.若，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用不等式的性质判断即可
【详解】对于A，若，则满足，此时，所以A错误，
对于B，若，则满足，而当时，则，所以B错误，
对于C，因为，所以，因为，所以，所以C正确，
对于D，若，则满足，而当时，则，所以D错误，
故选：C
4.已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】结合不等式的性质以及差比较法确定正确答案.
【详解】为正数，为负数，所以，，，
所以.故选：C
5.如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.
【详解】由可得：，,，故A，B，C错误,，故D正确.故选：D
6.（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ABC
【解析】对于A：利用同向不等式相加，即可证明；对于B、C：利用不等式的可乘性可以证明；
对于D：取特殊值即可否定结论.
【详解】对于A：因为，所以.
因为，利用同向不等式相加，则有.故A正确；
对于B：因为，所以，所以，对两边同乘以，则有.故B正确；
对于C：因为，所以.因为，所以.
对两边同乘以，有，所以.故C正确；
对于D：取，满足，但是，所以不成立.故D错误.
故选：ABC
7.（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
【答案】AD
【分析】A．由不等式的性质判断；B.举例判断；C.由判断； D.作差判断.
【详解】A．由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故正确；
B. 当时，，故错误；C.当时，故错误；
D.，因为，，，所以，故正确；故选：AD
8.下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若且，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【分析】A选项可举出反例；BCD选项，可通过不等式的基本性质进行证明.
【详解】对选项A：可取，，，则满足，但此时，所以选项A错误；
对选项B：因为，所以若，则；若，则；所以选项B正确；
对选项C：若，则，所以选项C错误；
对选项D：若，所以；又因为，所以由同向同正可乘性得：，所以，所以选项D正确，故选：BD．
题型四：利用不等式的性质证明不等式
【例1】，，，，设，证明：
【答案】证明见解析
【分析】通过凑配构造的方式，构造出新式子，且可以化简为整数，然后利用放缩思想得到S的范围.
【详解】解：，，，，，
；
，
.
【例2】已知，，，求证：
(1)； (2).
【分析】（1）根据不等式的性质证明即可；（2）结合（1）和不等式的性质求解.
(1)证明：因为，，所以，所以；
(2)证明：由（1）得，又，所以.
【例3】已知下列三个不等式：①，②，③，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个真命题？请证明你的结论.
【分析】先写出组成的命题，然后结合不等式的性质进行证明.
【详解】可以组成3个真命题.
（1）若，，则.
证明：因为，，所以，即.
（2）若，，则.
证明：因为，，所以，即.
（3）若，，则.
证明：因为，，所以.
【题型专练】
1.求证：
(1)若，且，则；
(2)若，且，同号，，则；
(3)若，且，则．
【分析】（1）将变为，利用不等式同向正值的可乘性，即可证明结论；
（2）由以及，可得，再根据，同号，得，利用不等式同向正值的可乘性证明结论；
（3）由可得，继而可得,利用不等式的性质可得结论.
(1)证明：因为，所以，又，故，即；
(2)证明：因为，，所以 ，
因为，同号，所以 ，，故，即 ，所以；
(3)证明：因为，所以 ，
又，所以 ， 故.
2.若，，，求证：
【分析】先根据不等式性质判断的大小关系，然后结合不等式性质可判断的大小关系，由此即可证明的大小关系.
【详解】证明：，．
又，．则，即．
又，．
3.（1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.
【分析】（1）根据作差法证明即可；
（2）由于，故，再结合（1）的结论易证.
【详解】证明：（1）因为，，所以，。
所以，故得证；
（2）由不等式的性质知，，
所以，
又因为根据（1）的结论可知，，
所以.
所以.
4.若，则.
(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；
(2)证明不等式：.
【答案】(1)，证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明.
【详解】证明：(1)当时，，故，
由，且，
利用不等式性质可得，；
(2)欲证，
只需证明，即，
①当时，显然不等式成立，
②当时，不妨令，即，故，
由于，显然成立，
故原不等式成立；
同理，当时，原不等式也成立.
综上所述，对于任意，，均成立.
题型五：利用不等式的性质比较大小
【例1】下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】由不等式性质依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，若，由可得：，A错误；
对于B，若，则，此时未必成立，B错误；
对于C，当时，，C错误；
对于D，当时，由不等式性质知：，D正确.故选：D.
【例2】（多选）已知，，下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据不等式性质及特殊值判断即可.
【详解】对于A，由不等式性质，可得，正确；
对于B，时，显然不成立，故错误；对于C，时，，故错误；
对于D，由可得，所以，
即，故正确.故选 ：AD
【例3】如果，那么下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可逐一判断.
【详解】由可得：，,，故A，B，C错误,，故D正确.故选：D
【题型专练】
1.（多选）对于实数，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】BD
【分析】A特殊值法判断；B由结合不等式性质判断；C作差法判断；D由或时的大小情况判断.
【详解】A：当时，不成立，错误；B：由，有，则，正确；
C：由，则，错误；
D：若或，有，与题设矛盾，故，正确.故选：BD
2.（多选）下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【分析】对于A：利用同向不等式相加可以证明；对于B：利用同向不等式相乘可以证明；
对于C：利用不等式的可乘性可以判断；对于D：取特殊值可以判断.
【详解】对于A：因为，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正确；
对于B：因为，所以，又因为，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正确；对于C：因为，所以.因为，所以.故C错误；
对于D：取特殊值满足，但是，，所以.故D错误.
故选：AB
3.若，则下列不等式不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件，结合结合不等式性质判断A，B，C正确，再举例说明D错误..
【详解】因为，所以，，，，
又，所以，所以成立，，所以，
，所以，取可得，，，
所以不成立，故选：D.
4.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质判断AD，结合作差法比较大小判断BC.
【详解】解：对于A选项，因为，故，故，正确；
对于B选项，由于，，故，，故，即，正确；
对于C选项，由于，故，故，即，正确；对于D选项，当时，，故错误.故选：ABC
题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
【例1】设，，求，，的范围.
【答案】，，
【分析】根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可.
【详解】∵，，∴，，，，
∴，，∴.故，，．
【例2】（多选）已知实数x，y满足则（ ）
A．的取值范围为B．的取值范围为
C．的取值范围为D．的取值范围为
【答案】ABD
【解析】利用不等式的性质直接求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；
因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；
因为，所以，则，故C错误；
因为，所以，则，故D正确.
故选：ABD.
【例3】若，，，则t的取值范围为______．
【答案】
【分析】设，然后求出x,y，进而根据不等式的性质求出答案.
【详解】设，则，解得．因为，，所以，即．
故答案为：.
【例4】已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先把转化为，根据，，求出的范围，利用单增，求出z的范围即可.
【详解】.设，
所以，解得：，，
因为，，所以，
因为单调递增，所以.故选：C
【例5】已知x，y为实数，满足，，则的最大值是______，此时______.
【答案】 32 3
【分析】由题干条件得到，又因为，故得到，化简可得到结果，通过可分别求出参数的值.
【详解】∵，∴.∵，∴.由不等式的性质，得，
即，故的最大值为32，此时，即，∴.故答案为：32；3.
【题型专练】
1.已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先求的范围，再根据不等式的性质，求的范围.
【详解】因为，所以，由，得.故选：A.
2.已知且，则的取值范围是
【答案】
【分析】由已知条件推导出，，再由得出，由得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】，，则，，，则，由得，则，即，即，又，，因此，的取值范围是.
3.若实数满足，，则的取值范围为________．
【答案】
【分析】设，解得，，再由不等式的性质即可求解.
【详解】设，解得，，所以．
又，，，，所以.
故答案为：．
4.已知，，求的取值范围___________.
【答案】
【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】设，所以，解得，
因为，，则，因此，.
故答案为：.
5．已知实数、满足，，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】利用待定系数法得出，再利用不等式的基本性质可求得的最大值.
【详解】设，所以，，解得，
所以，，因为，，则，，因此，.所以，的最大值为.
故答案为：.
6.已知且满足，则的取值范围是
【答案】
【分析】设，求出结合条件可得结果.
【详解】设，可得，解得，，
因为可得，所以.
7.（1）已知，，求和的取值范围；
（2）已知，，求的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【分析】（1）根据不等式的性质求解（2）由待定系数法配凑后求解
【详解】（1），又，
，又，
（2）设，得即
而，