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    第一章 空间向量与立体几何(B卷·能力提升练)-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷(人教B版2019)
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    第一章 空间向量与立体几何(B卷·能力提升练)-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷(人教B版2019)

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    这是一份第一章 空间向量与立体几何(B卷·能力提升练)-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷(人教B版2019),文件包含第一章空间向量与立体几何B卷·能力提升练解析版docx、第一章空间向量与立体几何B卷·能力提升练原卷版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共42页, 欢迎下载使用。

    班级              姓名             学号             分数           

    第一 空间向量与立体几何B卷·能力提升练)

    (时间:120分钟,满分:150分)

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OBACMN分别是对边OBAC的中点,点G在线段MN上,,现用基向量表示向量,设,则的值分别是(       

    A B

    C D

    【答案】C

    【解析】连结ON

    因为MN分别是对边OBAC的中点,所以

    所以

    ,所以

    故选:C

    2.如图,在四棱锥中,底面,四边形为正方形,且的重心,则与底面所成的角满足(       

    A B

    C D

    【答案】B

    【解析】

    为坐标原点,的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系,则,所以.易知平面的一个法向量为

    所以

    故选:B

    3.如图,圆台的高为4,上、下底面半径分别为35MN分别在上、下底面圆周上,且,则||等于(       

    A B5 C D5

    【答案】A

    【解析】O2MO1O2O1NO1O2

    00

    3×5×cos60°

    2=(2

    222+2229+16+25+1565

    ∴||

    故选:A

    4.在平面向量中,我们用表示方向上的投影,换个角度,向量在直线OB的法向量方向上的投影的绝对值就是点A到直线OB的距离(如图1),如果利用类比的方法,那么图2中点A到平面BCD的距离为(       

    A B C D

    【答案】B

    【解析】由题意可知,

    为平面BCD的一个法向量,则

    ,即,令,则

    所以

    因为,所以点A到平面BCD的距离为

    故选:B

    5.已知矩形ABCDAB1BC,沿对角线ACABC折起,若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为,则BD之间距离为(       

    A1 B C D

    【答案】C

    【解析】BD分别作BEACDFAC

    AB1BC

    AC2

    BEDF

    AECF,即EF211

    平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为

    ||

    BD之间距离为

    故选:C

    6.如图,在正方体中,点是线段上的动点,则下列判断:

    三棱锥的体积是定值与点位置无关;

    若异面直线所成的角为,则的最大值为

    无论点在线段的什么位置,都有

    当点与线段的中点重合时,异面.

    其中正确的个数是(  )

    A1 B2 C3 D4

    【答案】C

    【解析】因为平面,所以点到平面的距离为

    设正方体的棱长为,则,即无论点在线段 的什么位置,三棱锥的体积为定值,故正确;

    建立如图所示的直角坐标系,

    设正方体棱长为,则

    ,则

    ,设异面直线 所成角为

    时,有最大值,此时点是线段 的中点,故正确,

    ,所以,所以,故正确;

    当点与线段的中点重合时,,显然均在平面 ,故错误,所以①②③正确.

    故选:C

    7.如图,在四棱锥中,平面与底面所成的角为,底面为直角梯形,,点为棱上一点,满足,下列结论错误的是(       

    A.平面平面

    B.点到直线的距离

    C.若二面角的平面角的余弦值为,则

    D.点A到平面的距离为

    【答案】D

    【解析】A选项,因为平面平面

    所以CD

    PBA即为与底面所成的角,

    因为

    所以PA=AB=1

    因为

    AD中点F,连接CF,则AF=DF=AB=CF=BC

    则四边形ABCF为正方形,FCD=∠FCA=45°

    所以ACCD

    又因为

    所以CD平面PAC

    因为CD平面PCD

    所以平面平面PCDA正确;

    A选项的证明过程可知:CD平面PAC

    因为平面PAC

    所以CDPC

    故点P到直线CD的距离即为PC的长度,

    其中

    由勾股定理得:B正确;

    A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,

    其中平面ACD的法向量为,设平面ACE的法向量为

    ,令得:

    所以

    设二面角的平面角为,显然

    其中

    解得:

    因为,所以C正确;

    过点AAHPC于点H

    由于CD平面APC平面APC

    所以AHCD

    因为

    所以AH平面PCD

    AH即为点A到平面PCD的距离,

    因为PAAC

    所以D选项错误

    故选:D

    8.在棱长为1的正方体中,是棱的中点,点在侧面内,若,则的面积的最小值是(     

    A B C D

    【答案】B

    【解析】以点为空间直角坐标系的原点,分别以所在直线为轴,

    建立空间直角坐标系,

    则点,所以

    因为,所以

    因为,所以,所以

    因为,所以

    所以,因为

    所以当时,

    因为正方体中,平面平面,故

    所以

    故选:B

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

    9.如图,在三棱柱中,分别是上的点,且.设,若,则下列说法中正确的是(       

    A B

    C D

    【答案】BD

    【解析】

    ,故A错误;

    由题可知

    ,故B正确;

    因为

    ,故C错误,D正确.

    故选:BD

    10.如图,在平行六面体中,,点分别是棱的中点,则下列说法中正确的有(       

    A

    B.向量共面

    C

    D.若,则该平行六面体的高为

    【答案】ACD

    【解析】在平行六面体中,令,不妨令

    依题意,

    因点MN分别是棱的中点,则

    ,则有A正确;

    ,若向量共面,

    则存在唯一实数对使得

    ,而不共面,则有,显然不成立,B不正确;

    ,则,故C正确.

    连接,依题意,,即四面体是正四面体,

    因此,平行六面体的高等于点到平面的距离,即正四面体的高h

    由选项A

    平面是平面的一个法向量,

    ,所以平行六面体的高为D正确.

    故选:ACD

    11.如图,四棱锥中,底面ABCD是正方形,平面OP分别是的中点,M是棱SD上的动点,则下列选项正确的是(       

    A

    B.存在点M,使平面SBC

    C.存在点M,使直线OMAB所成的角为30°

    D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值

    【答案】ABD

    【解析】为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图),

    M是棱SD上的动点,设

    ,故A正确;

    的中点时,的中位线,

    所以

    平面平面

    所以平面,故B正确;

    若存在点M,使直线OMAB所成的角为30°

    化简得,方程无解,故C错误;

    M到平面ABCD的距离

    M与平面SAB的距离

    所以点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为,是定值,故D正确;

    故选:ABD

    12.在正方体中,动点满足,其中,且,则(       

    A.对于任意的,都有平面平面

    B.当时,三棱锥的体积为定值

    C.当时,不存在点,使得平面

    D.当时,存在点,使得

    【答案】ABC

    【解析】对于A选项,设正方体的棱长为

    以点为坐标原点,所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

    设平面的法向量为

    ,取,可得

    因为

    ,设平面的法向量为

    ,取,可得

    因为,即

    对于任意的,都有平面平面A对;

    对于B选项,当时,点

    设平面的法向量为

    ,取,可得,且

    所以,点到平面的距离为

    又因为的面积为定值,故三棱锥的体积为定值,B对;

    对于C选项,当时,

    假设存在点,使得平面,因为平面,则

    ,则,可得,与题设条件不符,

    假设不成立,故当时,不存在点,使得平面C对;

    对于D选项,当时,则

    ,故为锐角,D错.

    故选:ABC

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13.已知.设D在直线AB上,且,设,若,则实数______

    【答案】

    【解析】因为在直线上,且

    所以

    所以,

    因为

    所以,解得

    故答案为:

    14.如图,在四棱锥中,,底面为菱形,边长为2平面,异面直线所成的角为60°,若为线段的中点,则点到直线的距离为______

    【答案】【解析】

    连接.以为坐标原点,向量的方向分别为轴的正方向,建立空间直角坐标系,为异面直线所成角,即

    在菱形中, .设,则.在中, ,可得

    到直线的距离为

    故答案为:

    15.在棱长为1的正方体中,分别在棱上,且满足是平面,平面与平面的一个公共点,设,则 _________

    【答案】

    【解析】如图所示,

    正方体中,

    A四点共面,四点共面,

    ,解得

    故答案为:

    16.如图,三棱锥各棱的棱长都是,点是棱的中点,点在棱上,且,记.求的最小值.

    【答案】

    【解析】根据题意,连接,点是棱的中点,点在棱上,且

    ,则

    由空间向量数量积的定义可得

    所以,

    则当时,取得最小值,则的最小值为

    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.

    17.(10分)

    这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.

    问题:如图,在正方体,中,以为坐标原点,建立空间直角坐标系.已知点的坐标为为棱上的动点,为棱上的动点,______,则是否存在点,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

    【解析】方案一:选条件

    假设存在满足题意的点.由题意,知正方体的棱长为2,则,所以.设,则,所以

    因为,所以,即

    因为,所以,所以.又

    所以,故存在点,满足,此时

    方案二:选条件

    假设存在满足题意的点.由题意,知正方体的棱长为2,则,所以

    ,则

    所以.因为,且

    所以,解得.又,所以

    故存在点,满足,此时

    方案三:选条件.假设存在满足题意的点.由题意,知正方体的棱长为2

    ,所以

    ,则.因为

    所以不共线,所以,即

    故不存在点满足

    18.(12分)

    如图所示,在几何体EFG-DABC中,四边形ABCDCDGFADGE均为正方形,且边长均为1,点M在棱DG上.

    1)求证:BMEF

    2)当DM的长为多少时,使得直线MB与平面BEF所成的角为45

    【解析】1四边形、四边形、四边形均为正方形,两两互相垂直,

    为坐标原点,轴,可建立如图所示空间直角坐标系,

    ,设

    2)由(1)知:

    设平面的法向量

    ,令,解得

    假设存在点,使得直线与平面所成的角为,则

    ,解得:

    在棱上,

    当点在棱上,且时,直线与平面所成的角为

    19.(12分)

    平面平面这两个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答.如图,在四棱锥中,底面是边长为4的菱形,分别是棱的中点,且______

    1)求证:

    2)若,且,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

    【解析】1)若选:连接

    四边形是菱形,

    中点,

    平面平面,平面平面平面

    平面,又平面

    若选:连接,连接

    四边形是菱形,平分

    中点,平分

    中点,

    ,即

    平面平面

    平面

    2)连接,连接,由(1)知:中点,

    则以为坐标原点,轴建立如图所示空间直角坐标系,

    设平面的法向量

    ,令,解得:

    设平面的法向量

    ,令,解得:

    即平面与平面所成锐二面角的余弦值为

    20.(12分)

    如图,平面ABCFBC的中点,EPC边上的一点.

    1)求异面直线BCAE所成角的大小;

    2)若二面角的余弦值为,求此时三棱锥的体积.

    【解析】1)因为平面ABC平面ABC

    所以,又

    所以,所以平面平面PAC

    ,即异面直线BCAE所成角的大小为90°

    2)根据题意,以C为原点,CACB所在直线分别为xy轴,过点CAP的平行线为z轴建系

    中,由于,且,则,设点E到平面ABC的距离为

    ,又

    ,设平面的一个法向量为

    ,令,可得,即

    平面ACF的一个法向量,设的平面角为,则

    所以,得

    即点到平面的距离为1,又因为

    所以

    故三棱锥的体积为

    21.(12分)

    如图在四棱锥中,侧面底面,侧棱,底面为直角梯形,其中的中点.

    1)求证:平面

    2)求二面角的正弦值;

    3)线段上是否存在,使得它到平面的距离为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

    【解析】1的中点,侧面底面,侧面底面平面平面

    2

    底面为直角梯形,其中,又平面为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系,易得平面的法向量,设平面的法向量,则,取,得,设二面角夹角为,则,则二面角的正弦值为

    3)设线段上存在,使得它到平面的距离为到平面的距离,解得(舍去),则,则

    22.(12分)

    如图,在六面体中,是等边三角形,二面角的平面角为30°

    1)证明:

    2)若点E为线段BD上一动点,求直线CE与平面所成角的正切的最大值.

    【解析】1)证明:取中点,连接

    因为,所以,且

    所以平面

    平面,所以

    2)连接,则,由,可得

    于是,所以

    ,所以平面

    为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,

    ,可得

    平面的法向量为

    ,则

    与平面所成角为

    ,则

    ,由对称轴知,当,即时,

    ,于是

    直线与平面所成角的正切的最大值为2


     

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