初中数学华东师大版（2024）九年级上册二次根式导学案

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册二次根式导学案，共42页。学案主要包含了华东师大版，题型 6 规律探究，题型 7 化简求值，题型 8 隐含条件，题型 9 复合根式，变式 1-1，变式 1-2，变式 1-3等内容，欢迎下载使用。
专题 21.1
二次根式（举一反三讲义） 【华东师大版】
【题型 1 二次根式的概念】
【题型 2 二次根式有意义的条件】 【题型 3 二次根式的双重非负性】
【题型 5 ( )2 = a (a ≥ 0) 】 【题型 6 规律探究】
【题型 7 化简求值】 【题型 8 隐含条件】 【题型 9 复合根式】
知识点 1 二次根式的概念
1 ．定义：一般地，我们把形如、 （ a ≥ 0 ）的式子叫做二次根式，“” 叫做二次根号，a 叫 做被开方数．
2 ．拓展：二次根式必须同时满足两个条件：（1）含二次根号“” ；（2）被开方数必须是非负 数（被开方数可以是数字也可以是含有字母的式子）．
知识点 2 二次根式有无意义的条件
íìï当a ≥ 0时，二次根式有意义；
ïl当a < 0时，二次根式无意义．
例如：因为x2 + 2x +1 = (x +1)2 ≥ 0 ，所以二次根式恒有意义．
知识点 3 二次根式的性质
ìï 被开方数a ≥ 0，
ïl二次根式 ≥ 0．
1 ．二次根式 具有双重非负性： í
2 ． ，即 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身，如
3 ． 即一个任意实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值． 如
拓展：( )2 (a ≥ 0) 和sa2 的区别
【题型 1 二次根式的概念】
【例 1】（24-25 八年级下·四川成都·专题练习）
1 ．下列各式一定属于二次根式的是( )
A ． ·、 B ． · C ． x +1 D ． ·、
【变式 1-1】（24-25 八年级下·广东惠州·期中）
2 ．下列各式一定是二次根式的是( )
A ． B ．、 C ． · D ． /a
【变式 1-2】（24-25 八年级下·浙江温州·期中）
3 ．下列的式子一定是二次根式的是( )
A ． · B ． · C ． D ．、
【变式 1-3】（24-25 八年级下·广西桂林·专题练习）
4 ．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？请说明理由．
（1） ·、 ；（2） 、 ；（3） 、 ；（4） ；（5） ·、 ；
运算结果
( )2 = a
a2
= íì a (a ≥ 0)
l-a(a < 0)
a 的取值
a ≥ 0
任意实数
作用
①用来去根号，化简二次根式；
2
(一)
①用来去根号，化简二次根 式；
@将根号外的非负因式平方 后移到根号内． 例如：若 a ≥ 0 ，则 、a = ·、
【题型 2 二次根式有意义的条件】
【例 2】（24-25 九年级上·黑龙江牡丹江·开学考试）
5 ．若式子 有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式 2-1】（24-25 八年级下·山东济宁·期中）
6 ．若二次根式、/2025 + x 有意义，则实数 x 的取值范围是 ． 【变式 2-2】（24-25 八年级下·广东江门·阶段练习）
7 ．二次根式 中字母 x 的取值范围是 ． 【变式 2-3】（24-25 八年级上·上海杨浦·阶段练习）
有意义时，x 的取值范围是 ． 【题型 3 二次根式的双重非负性】
【例 3】（24-25 八年级下·浙江·阶段练习）
9 ．已知对所有实数 x ，满足 x +1 + ，则 m 的最小值为 ． 【变式 3-1】（24-25 八年级下·福建莆田·阶段练习）
10 ．已知实数 x，y 满足 则 2025 的值为 ． 【变式 3-2】（24-25 八年级上·湖南常德·期末）
11 ．若 a ，b 为实数，且满足 则a - b 平方根是 ． 【变式 3-3】（24-25 八年级下·江苏泰州·阶段练习）
12 ．已知实数 x 满足 则x - 20122 = ．
【例 4】（24-25 八年级下·江苏南京·阶段练习）
13 ．若化简 的结果为-3 ，则x 的取值范围是( )
A ．x = 0 B ．x ≤ 1 C ．x ≥ 1 D ．x ≤ 4
【变式 4-1】（24-25 八年级上·湖北十堰·期末）
14 ．已知1 < x < 2 ，化简 ·\ + = ．
【变式 4-2】（24-25 八年级上·江西抚州·阶段练习）
15 ．运用分类讨论的方法，请你解答下列问题：
当3 ≤ a ≤ 7 时，化简
(2)若等式 成立，则 a 的取值范围是______；
若 求 a 的值．
【变式 4-3】（24-25 八年级下·江苏泰州·阶段练习）
16 ．设 则M 与N 的关系为 ( )
A ．M > N B ．M < N C ．M = N D ．M = ±N
【例 5】（24-25 八年级下·浙江金华·阶段练习）
17 ．已知 △ABC 的三边长a 、b 、c 满足 求 △ABC 的周长．
【变式 5-1】（24-25 八年级下·天津和平·期中）
18 ．若1，a，3 是三角形的三边长，化简 ． 【变式 5-2】 （24-25 八年级下·甘肃武威·期中）
19 ．挖掘问题中的隐含条件，解答下列问题：
已知 求x 的值；
(2)已知 a ，b 是实数，且 化简 ． 【变式 5-3】（24-25 八年级下·四川泸州·期中）
20 ．已知a + b + c = 2 + 4+ 6 -14，求 a 、b 、c 的值．
【题型 6 规律探究】
【例 6】（24-25 七年级下·云南昭通·阶段练习）
21 ．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥ 4 ） 行从左向右数第(n - 4) 个数是（用含n 的代数式表示）( )
A．
n2 - 4
B．
n2 - 2
C．
n2 - 3
D ． 、/n - 4
【变式 6-1】（2025·云南曲靖·二模）
22 ．在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码， 其单项 式依次为：2a ，4 a2 ，6 a3 ，8a4 ，10a5 ……，则第 n 个单项式是( )
A ．2n an B ．2n an
C ．2 (n +1) an D ．2 (n -1) an-1
【变式 6-2】（2025·河北保定·一模）
23 ．小明做数学题时，发现规律： = ；
（1）第 5 个等式为 ；
若 为正整数），则a . b = ． 【变式 6-3】（24-25 八年级下·江苏盐城·期中）
24 ．观察下列等式，并回答问题：
② = = ；③ = = ； …
(1)根据上述规律，写出第 5 个等式：________．
(2)请写出第n 个（n 为正整数）等式：________，并证明你的结论．
(3)运用上述结论，计算 【题型 7 化简求值】
【例 7】（24-25 八年级下·福建莆田·阶段练习）
25 ．已知实数 a 满足6 < 2a - 2 < 20 ，化简 【变式 7-1】（24-25 八年级上·江苏苏州·期中）
26 ．已知y = 3 + 2 + 2 ，求 + x2 的值．
【变式 7-2】（24-25 八年级下·江苏南京·阶段练习）
27 ．已知三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长为 c ，化简 【变式 7-3】（24-25 九年级下·江苏南京·自主招生）
28 ．已知 求 P、Q 的值． 【题型 8 隐含条件】
【例 8】（24-25 八年级上·江苏扬州·期中）
29 ．若m 满足关系式 ·、 + = . ，则 m = ． 【变式 8-1】（24-25 七年级下·湖北武汉·期中）
30 ．已知m, x, y 是两两不相等的实数，且满足 · + = - ，则
的值为 ．
【变式 8-2】
31 ．若a 、b 、c 为实数，且满足a + b + c = 2 + 4 + 6 -14 ，求 、 的 值为 ．
【变式 8-3】（24-25 七年级下·天津和平·期中）
32 ．若实数 a ，b ，c 满足关系式 ·、 + = + ，则 c = .
【题型 9 复合根式】
【例 9】（24-25 八年级下·江苏泰州·阶段练习）
33 ．已知正整数a、m、n 满足 = - ．则这样的a、m、n 的取值( ).
A ．有一组 B ．有二组 C ．多于二组 D ．不存在
【变式 9-1】（24-25 八年级下·安徽芜湖·阶段练习）
34 ．计算、 的结果是 ．
【变式 9-2】（24-25 八年级下·河南濮阳·期末）
35 ．先阅读再求值．
在计算 7 - 210 的过程中，小明和小莉的计算结果不一样．
小明的计算过程如下：
小莉的计算过程如下：
(1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由；
计算 ．
【变式 9-3】（24-25 八年级下·山东泰安·阶段练习）
36 ．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平 方，如：5 + 2 = (2 + 3) + 2 = ( )2 + ( )2 + 2× = ( + )2 ；
8 + 2 = (1+ 7) + 2 = 12 + ( )2 + 2× 1 × = (1+ )2 ． 【类比归纳】
(1)小华仿照小明的方法将 化成了 则x = __________ ， =
(2)请运用小明的方法化简 ．
7 - 2 10
2 - 2 2 × 5 + 5
=
1 ．C
【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据形如 ，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、因为 -4 < 0 ，则·、/-4 无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、当 x < 0 时，则 /x 无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、因为x +1 ≥ 1 > 0 ，故是二次根式，故此选项符合题意；
D、当 -1 < x < 1 时，则x2 -1 < 0 ， 无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C．
2 ．C
【分析】本题主要考查了二次根式的定义， 当a ≥ 0 时，、/a 就是二次根式，解决本题的关键 是根据二次根式的定义进行判断．
【详解】解：A 选项： 3/5 是三次根式，不是二次根式，故 A 选项不符合题意；
B 选项： 、 中被开方数-3 < 0 ，所以 、无意义，故 B 选项不符合题意；
C 选项： 、6 符合二次根式的定义，故 C 选项符合题意；
D 选项： 、 中当a < 0 时， \a 无意义，不是二次根式，故 D 选项不符合题意． 故选：C．
3 ．C
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不能确定 x +1的正负，故 A 选项不符合题意；
B 、3 - τ < 0 ，二次根式没有意义，故 B 选项不符合题意；
C 、 3 是二次根式，故 C 选项符合题意；
D 、-1 < 0 ，二次根式没有意义，故 D 选项不符合题意；
故选：C．
4 ．、 ，·、ia2 +1 ，vx2 + 4x + 4 ，3s| m | 是二次根式；·i-15 ，）3i-8 ， 不是 二次根式．
【分析】本题考查了二次根式的定义， 根据二次根式的定义逐一排除即可，解题的关键是正 确理解满足二次根式的条件有三个： ① 含有根号； ② 根指数是2 ； ③ 被开方数是非负数， 三个条件缺一不可．
【详解】解：（1） 、/8 是二次根式；
（2 ） 中-15 < 0 ，不是二次根式；
（3 ） 中a2 +1 > 0 ，是二次根式；
（4 ） 立方根，不是二次根式；
中x2 + 4x + 4 = 2 ≥ 0 ，是二次根式；
（6 ） 中 是二次根式；
（7 ） 中1+ 4x < 0 ，不是二次根式；
: s8 ， ， ·、ix2 + 4x + 4 ，3、 是二次根式； ·、i-15 ， ， 不是二 次根式．
5 ．x ≥ 1且x ≠ 2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 以及分式有意义的条件，掌握相关知识点是解 题关键．根据二次根式的被开方数大于等于 0，得到x -1 ≥ 0，根据分式的分母不为 0，得到 x - 2 ≠ 0 ，求解即可．
解：Q 式子 有意义，
:x -1≥ 0 ， x - 2 ≠ 0 ，
:x ≥ 1，且 x ≠ 2 ，
故答案为：x ≥ 1且x ≠ 2
6 ．x ≥ -2025
【分析】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定理是解题的关键． 根据二次根式的定理，被开方数大于等于 0 列出不等式即可求解．
【详解】解：:二次根式 有意义，
: 2025 + x ≥ 0 ， 解得x ≥ -2025 ．
故答案为：x ≥ -2025 ．
7 ．x ≥ 1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 分式有意义的条件，熟练掌握有意义的条件是 解题的关键．根据被开方数是非负数，分式有意义的条件计算即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
: x -1 ≥ 0 且x ≠ 0 ， 解得x ≥ 1．
故答案为：x ≥ 1．
8 ．x ≥ 0 且x ≠ 3
【分析】本题考查了二次根式有意义，分式有意义的条件，根据 有意义时，可得
且x ≥ 0 ，据此即可求解．
解 有意义时， 且x ≥ 0 ，
: x ≠ 3，且 x ≥ 0 ，
故答案为x ≥ 0 且x ≠ 3．
9 ．3
【分析】本题主要考查了绝对值的性质和二次函数的性质，
先根据二次根式有意义的条件可得 ，再分两种情况讨论即可得出答案．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得 ．
: m ≥ 3 ；
当x ≥ 2 时
综上所述，m 的最小值为 3．
故答案为：3．
10 ．-1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组、代数式的求值， 熟练掌
ìx - 3 ≥ 0
l3 - x ≥ 0 的值，进而求出y 的值，再代入代数式即可求解．
握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得到 í , 解出x
ìx - 3 ≥ 0
【详解】解：由题意得， íl3 - x ≥ 0 ，
解得：x = 3 ，
:(y - x)2025 = (2 - 3)2025 = (-1)2025 = -1． 故答案为：-1．
11 ．
【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质列出方程求出 a 、b 的值，代入所求 代数式计算即可．
解
: a - 5 = 0 ， b + 3 = 0 ， : a = 5 ，b = -3 ，
则a - b = 5 - (-3) = 8 ， a - b 平方根为 故答案为：
12 ．2013
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本 题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出 x 的取值范围，再根据二次根式的性质化简得 /x - 2013 = 2012 ，然后两边平方即可求解．
【详解】解：∵ x - 2013 ≥ 0 ， : x ≥ 2013，
: x > 2012 ．
: 、 + = x ，
即x - 2013 = 20122 ， 故x - 20122 = 2013 ．
故答案为：2013．
13 ．A
【分析】本题主要考查了绝对值、二次根式的性质等知识点， 掌握二次根式的性质以及分类 讨论思想成为解题的关键．
先根据二次根式的性质可得 1- x - x + 4 = -3，然后分四种情况分别去绝对值求解即可． 解
即 1- x - x + 4 = -3，
当1- x ≥ 0 ，x + 4 ≥ 0 ，即-4 ≤ x ≤ 1 时，则1- x - x - 4 = -3 ，解得：x = 0 符合题意；
当1- x ≥ 0 ，x + 4 ≤ 0 ，即 x ≤ -4 时，则1 - x - - (x + 4) = -3 ，方程无解，不符合题意； 当1- x ≤ 0 ，x + 4 ≥ 0 ，即 x ≥ 1时，则x -1- x - 4 = -3 ，方程无解，不符合题意；
当1- x ≤ 0 ，x + 4 ≤ 0 ，即x ≥ 1, x ≤ -4 ，则 x -1+ x + 4 = -3 ，解得：x = -3 ，不符合题意． 综上，x = 0 ．
故选 A．
14 ．1
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握 成为解题的关键． 先运用完全平方公式对被开方数因式分解，然后再根据二次根式的性质化简即可解答．
【详解】解：:1< x < 2 ， : x -1 > 0, x - 2 < 0 ，
: ·、 + = + = x -1+ 2 - x = 1．
故答案为：1．
15 ．(1)4
(2) a ≤ -9
(3) a = -2 或a = 6
【分析】本题考查二次根式的性质， 熟练掌握二次根式的性质，以及分类讨论的思想，是解 题的关键：
（1）根据二次根式的性质，结合a 的范围，进行化简即可；
（2）分 a ≤ -9 ，-9 < a < 5 和a ≥ 5 三种情况进行讨论求解即可；
（3）分 a < -1 ，-1 ≤ a ≤ 5 和a > 5 三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：: 3 ≤ a ≤ 7 ，
= a - 3 + 7 - a
= 4 ；
当a ≤ -9 时，上式= 5 - a + a + 9 = 14 ；
当-9 < a < 5 时，上式= 5 - a - a - 9 = -2a - 4 ， :-9 < a < 5 ，
:-14 < -2a - 4 < 14 ，不符合题意；
当a ≥ 5 时，上式= a - 5 - a - 9 = -14 ，不符合题意；
:a 的取值范围是a ≤ -9 ；
当a < -1 时， a +1 + a - 5 = -a -1- a + 5 = 8 ，解得：a = -2 ； 当-1 ≤ a ≤ 5 时， a +1 + a - 5 = a +1- a + 5 = 6 ≠ 8 ，
当a > 5 时， a +1 + a - 5 = a +1+ a - 5 = 8 ，解得：a = 6 ； 综上：a = -2 或a = 6 ．
16 ．C
【分析】将被开方数利用平方差公式和完全平方公式计算、化简可得． 【详解】解：∵ M = · ,
=1，
=1，
:M=N， 故选 C．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平 方公式及二次根式的性质．
17 ．14
【分析】本题考查了非负数的性质， 二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握完全平方公 式是解题的关键．利用完全平方公式和非负数的性质得到 ， - 2 = 0 ，
,求出 a = 2 ，b = 6 ，c = 6 ，进而求解即可．
解
:a = 2 ，b = 6 ，c = 6 ，
:a + b + c = 2 + 6 + 6 = 14 ．
: △ABC 的周长为 14．
18 ．2a - 6
【分析】本题考查了二次根式的化简求值， 根据三角形三边关系求出a 的范围，再根据二次
根式和绝对值的性质进行化简即可，根据三角形三边关系确定出a 的取值范围是解题的关键． 【详解】解：Q 1 ，a ，3 是三角形的三边长，
:3 -1 < a < 1+ 3，
即 2 < a < 4 ，
= a - 2 - a - 4
= a - 2 - (4 - a )
= a - 2 - 4 + a
= 2a - 6 ，
故答案为：2a - 6 ．
19 ．
(2) b - 3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件及利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二 次根式有意义的条件，挖掘出隐含条件．
（1）由根号内的数据大于等于 0，得 2 - x ≥ 0，，解得 x ≤ 2 ，再根据 去根号，化简求解即可；
（2）由根号内的数据大于等于 0，得a - 2 ≥ 0 ，且2 - a ≥ 0 ，解得a =2 ，将a 的值代入式子 得b 的取值范围，再对 进行去根号，化简即可．
【详解】（1）解：由题意，得 2 - x ≥ 0，
:x ≤ 2 ，
:x - 3 < 0 ，
: 1 = 2x ，
解得 ．
（2）解：由题意，得 a - 2 ≥ 0 ，且 2 - a ≥ 0 ， : a ≥ 2 且a ≤ 2 ，
:a = 2 ，
Q b > - 2 +1 ， 、/a - 2 - 2 +1 = - 2 +1 = 1 ， : b > 1 ，b -1 > 0 ，
20 ．a = 3, b = 5, c = 6
【分析】本题主要考查了二次根式的性质， 二次根式非负数的性质，完全平方公式，解题的 关键是熟练掌握二次根式性质．
根据a + b + c = 2 + 4+ 6-14，得出
即可得出a - 2 = 1 ，b -1 = 4 ，c + 3 = 9 ，求出 结果即可．
【详解】解：∵ a + b + c = 2 + 4+ 6 -14 ，
: a - 2 - 2 +1+ b -1- 4+ 4 + c + 3 - 6 + 9 = 0 ，
: 、 -1 = 0 ， ·、 - 2 = 0 ，、 - 3 = 0 ，
: a - 2 = 1 ，b -1 = 4 ，c + 3 = 9 ， 解得：a = 3 ，b = 5 ，c = 6 ．
21 ．A
【分析】本题主要考查二次根式的性质及数字规律，熟练掌握二次根式的性质及数字规律是 解题的关键；由题意易得每一行的最后一个数字是 ·,且每一行有2n 个数字，由此 问题可求解．
【详解】解：由数阵可知：每一行的最后一个数字是 ·,且每一行有2n 个数字， :第n （n 是整数，且n ≥ 4 ）行最后一个数是 第一个数字是
· = ·、 ，
:从左向右数第(n - 4) 个数是 ·、 = ；
故选 A．
22 ．A
【分析】本题考查了单项式规律探索， 根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是 解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：2a = (2 × 1) × × a1 ，4a2 = (2 × 2) × × a2 ，6a3 = (2 × 3) × × a3 ， 8a4 = (2 × 4) × × a4 ，10a5 = (2 × 5) × × a5 ， … ,
:第 n 个单项式是2n an ， 故选：A．
23 ． 520
【分析】此题考查了数字类规律， 找出一系列等式的规律为 ≥ 1 的正 整数），令n = 8 求出a 与b 的值，即可求得a . b 的值．
解
根据题中的规律得 的正整数），
:a = 8 ，b = 82 + 1 = 65 ，
则a . b = 8 × 65 = 520 ．
故答案为 520 ．
(3)
【分析】本题主要考查数字的变化规律、二次根式性质和运算法则， 解答的关键是由所给的
等式总结出存在的规律．
（1）根据所给的等式的形式求解即可；
（2）分析所给的等式的形式，总结出规律即可；
（3）利用（2）中的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得第 5 个等式为：
故答案为
解：第 1 个等式 第 2 个等式
第 3 个等式 由以上等式可以猜想第 n 个等式是：
故答案为
（3）解：
(çè 1- ÷ ç1- ÷ ç1- 1ö,÷ … çè(1- 25 ö,÷
= 1 × 2 × 3 … … × 44
2 3 4 45
1
=
.
45
25 ．7
【分析】首先解不等式， 然后根据公式 ·、 =| a |，化简即可．本题考查二次根式的化简、不
等式的性质，绝对值的简等知识，记住 =| a |，属于基础题，中考常考题型．
【详解】解：Q 6 < 2a - 2 < 20 ， :8 < 2a < 22
:4 < a < 11，
: 原式=| a - 4 | + | a -11|
= a - 4 +11- a
= 7 ．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 二次根式的求值，由二次根式有意义的条件得 即得 ，进而得到 y = 2 ，再代入代数式计算即可求解，掌握二次根式有意 义的条件是解题的关键．
ì2x -1 ≥ 0
【详解】解：由题意得 í ,
l1- 2x ≥ 0
: y = 2 ，
27 ．
【分析】此题主要考查了二次根式的化简， 三角形的三边关系，解题的关键是首先利用三角 形三边关系得出 c 的取值范围，进而化简求出答案．
【详解】解：由三边关系定理，得 3 + 5 > c ，5 - 3 < c ，即 2 < c < 8 ，
28 ．P = ，Q = 1
【分析】此题考查了二次根式的性质、分式的求值等知识，由题意可得 a + b = 6 ，ab = 3 ， 根据完全平方公式变形后代入 即可求出 P 的值，把 化简后，再进行 整体代入即可求出 Q 的值．
解 : a + b = 6 ，ab = 3 ，
29 ．3
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件， 二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二 次根式有意义的条件得1- x -y = x -1+ y = 0 ，即得x + y = 1，
再根据二次根式的非负性得3x + 5y - 2 - m = 0 ，
2x + 3y - m = 0 ，即得x + 2y = 2 ，再解方程组 求出x、y 的值即可求解，掌握二次 根式有意义的条件及性质是解题的关键．
【详解】解：由题意得，1- x -y ≥ 0 ，x -1+ y ≥ 0 ， : 1- x -y = x -1+ y = 0 ，
: 3x + 5y - 2 - m = 0 ，2x + 3y - m = 0 ， : x + 2y = 2 ，
由 解得 ， : 0 + 3× 1- m = 0 ，
: m = 3 ，
故答案为：3 ．
【分析】根据被开方数是非负数，确定出 m = 0 ，x = -y ，代入原式即可解决问题．
【详解】解： Qm ，x ，y 是两两不相等的实数且满足 ·、 + = - ，
ìm - y ≥ 0
又Q í-(ym-0) ≥ 0 ，
ïlm(x - m) ≥ 0
: m = 0 ，x = -y ，x ≠ 0 ，y ≠ 0 ，
: 原式 故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出m = 0 ，x = -y ，记住二 次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型．
31 ．6
【分析】根据配方法的理论依据，即公式 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 ，将原方程转化为
即可解答．
解
: a = 0 ，b = 3 ，c = 11， : ·、
= 6 ，
故答案为：6 ．
【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质和实数的计算， 解题的关键是熟练掌握 配方法的理论依据．
32 ．404
【分析】根据二次根式有意义条件求得 a ＝199，然后由非负数的性质求得 b 、c 的值． 【详解】解：根据题意，得
解得 a ＝199，
则 + = 0 ， 所以
解得 故答案为：404．
【点睛】本题考查二次根式的意义和性质，熟知相关知识点是解题的关键．
33 ．A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则进 行计算．根据 得出 即可得出a2 = m + n ， mn = 20 ，m > n ，根据 20 = 20 × 1 = 10 × 2 = 5 × 4 ，分三种情况求出 a2 的值进行验证即可．
解 : a2 - 4 = m + n - 2 ，
: a2 = m + n ，mn = 20 ，m > n ， 又∵20 = 20 × 1 = 10 × 2 = 5 × 4 ，
当m = 20, n = 1 时，a2 = 21不合题意， 当m = 10, n = 2 时，a 2 = 12 不合题意， 当m = 5, n = 4 时，a2 = 9 符合题意，
:满足条件的取值只有 1 组．
故选：A．
34 ． -
【分析】注意到 = 45，故可将原式化为 ·、 ，然后探寻
45 - 2 = ( - )2 ，进而得解．
【详解】解： 2025 - 2024
= ·、45 - 2506
= - ；
故答案为： - ．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，数字比较大，正确找到 45 - 2 = ( - )2 是 解题的关键.
35 ．(1)小莉的化简结果正确，见解析
(2) -1
【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
（1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可；
（2）仿照小莉的解答过程求解即可．
【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下：
（2）原式 = ·1- 2 × 1 × 5 + 5
= 1-
= -1
36 ．(1)3 ； +1
(2) 2 -
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用，解题的关键在于能够准确 读懂题意．
（1）将 4 看成是1 + 3 ，则 2 = 2 × 1 × ,由此求解即可；
（2）将 7 看成是4 + 3 ，则 4 = 2 × 2 × ,由此求解即可． 【详解】（1）解：4 + 2 = (3 +1) + 2
: x = 3 ；
解