初中数学华东师大版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系导学案

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册一元二次方程的根与系数的关系导学案，共54页。学案主要包含了华东师大版，变式 1-1，变式 1-2，变式 1-3，变式 2-1，变式 2-2，变式 2-3，变式 3-1等内容，欢迎下载使用。
【华东师大版】
【题型 1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】
【题型 2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
【题型 3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】 【题型 4 利用根与系数的关系求参数的值】
【题型 5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】
【题型 6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】
【题型 7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
【题型 8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】 【题型 9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】
【题型 10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】
知识点 一元二次方程根与系数的关系
1 ． 由求根公式可得当 Δ ≥ 0 时，一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根分别为
例如：方程x2 + px + q = 0 的两根为 x1 ，x2 ，则 x1 + x2 = -p ，x1x2 = q ．
2 ． 一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）不解方程，求关于方程两根的代数式的值．
（2）已知方程一根，求方程的另一根及方程中字母的值．
（3）已知方程两根的关系，求方程中字母的值．
（4）与根的判别式相结合，解决一些综合题．
【题型 1 利用根与系数的关系直接求代数式的值】 【例 1】
（24-25 九年级下·山东烟台·期中）
b a
1 ．若a, b 是关于x 的方程x2 - x - 3 = 0 的两实数根，则 + 的值为 ．
a b
【变式 1-1】
（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）
2 ．已知a, b 是一元二次方程x2 + x - 2025 = 0 的两个实数根，则ab- a -b = ． 【变式 1-2】
（24-25 八年级下·黑龙江大庆·期中）
3 ．一元二次方程x2 + x - 2 = 0 的两个根分别是 x1 ，x2 ，则 x + x 的值为 ．
【变式 1-3】
（24-25 八年级下·江苏扬州·阶段练习）
4．若关于 x 的方程x2 + 2x - m2 - m = 0 （m 为正整数）的两根分别记为am ， βm ，如：当m = 1
时，方程的两根记为 则 ．
【题型 2 利用根与系数的关系结合方程的解直接求代数式的值】
【例 2】
（24-25 八年级下·浙江杭州·期中）
5．若a ，β 是方程x2 + 2x - 2025 = 0 的两个实数根，则代数式2a2 + 6a + 2β + 5 的值为 ． 【变式 2-1】
（2025·四川广安·中考真题）
6 ．已知方程x2 - 5x - 24 = 0 的两根分别为a 和b ，则代数式 a2 - 4a + b 的值为 ． 【变式 2-2】
（24-25 九年级下·安徽安庆·阶段练习）
7 ．已知a 和b 是方程x2 + 4x - 4 = 0的两个根，则a2 + 5a - b(a -1) 的值为 ． 【变式 2-3】
（2025·湖北·一模）
8 ．如果 m ，n 是一元二次方程x2 - x = 3的两个实数根，那么2n2 - mn + 2m 的值是 ． 【题型 3 利用根与系数的关系结合方程的解降次求代数式的值】
【例 3】
（24-25 九年级下·黑龙江绥化·期中）
9 ．已知a 、 β 是方程x2 + 2x -1 = 0 的两个实根，则a3 + 5β + 2 的值是 ．
【变式 3-1】
（24-25 八年级下·安徽宣城·期中）
10 ．已知a、 β 是方程x2 + 4x + 2 = 0 的两个实根，则a3 +14β + 5 的值是 ．
【变式 3-2】
（24-25 九年级上·湖北武汉·阶段练习）
11．如果 m，n 是一元二次方程x2 + x - 3 = 0的两个根，那么多项式m3 + 3n - mn + + 2032 的 值是 ．
【变式 3-3】
（24-25 九年级下·安徽芜湖·期中）
12 ．已知a ， β 是一元二次方程x2 + x - 3 = 0的两根，求a6 - 40β + 3 的值为
【题型 4 利用根与系数的关系求参数的值】
【例 4】
（24-25 八年级下·浙江金华·阶段练习）
13 ．已知关于x 的一元二次方程x2 - mx + 2m -1 = 0 有两个实数根 x1 ，x2 ．实数m 满足
【变式 4-1】
（24-25 九年级下·江西九江·期中）
14 ．已知 x1 ，x2 是关于 x 的方程x2 - mx + 1 = 0 的两个实数根，且(x1 - 2)(x2 - 2) = -3 ，则 m 的值等于 ．
【变式 4-2】
（24-25 九年级上·江苏南通·阶段练习）
15 ．已知方程x2 + (4 - 2m)x + m2 - 5 = 0 的两根之积是两根之和的 2 倍，则m = ． 【变式 4-3】
（24-25 九年级上·河南周口·期中）
16．关于 x 的方程x2 - 2mx + m2 - 4 = 0 的两个根 x1 ，x2 满足x1 = 2x2 + 3 ，且x1 > x2 ，则 m 的 值为 ．
【题型 5 利用根与系数的关系求参数的取值范围】
【例 5】
（23-24 八年级下·浙江金华·阶段练习）
17 ．若关于 x 的方程4x2 - 5x - (m + 5) = 0 的解中，仅有一个正数解，则 m 的取值范围 是 ．
【变式 5-1】
（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）
18 ．已知关于x 的一元二次方程x2 - 4x + m -1 = 0有两个不相等的实数根x1, x2 ，且x1, x2 满足
2x1x2 > x1 + x2 ，则 m 的取值范围是 ． 【变式 5-2】
（23-24 八年级下·浙江嘉兴·期末）
19 ．已知关于x 的一元二次方程ax2 + (a + 2)x +1 = 0 有两个不相等的实数根x1, x2 ，且 x1 < 1 < x2 ，则实数a 的取值范围为 ．
【变式 5-3】
（23-24 九年级上·四川成都·期末）
20 ．已知关于 x 的一元二次方程x2 - (2m + 2)x + m2 - 4m + 4 = 0 有两个实数根 x1 ，x2 ，则 m 的取值范围是 ，若 x1 、x2 满足：x1x2 -1 = x1 + x2 ，则 m = ．
【题型 6 利用根与系数的关系构造一元二次方程求解】
【例 6】
（24-25 九年级上·湖北随州·期末）
21 ．已知2x2 - 2025x + 3 = 0,3y2 - 2025y + 2 = 0 ，且xy ≠ 1，则 的值为 ．
【变式 6-1】
（24-25 八年级下·上海·阶段练习）
ìx + y = 8
.
l xy = 15
22 ．方程组 í 的解是
【变式 6-2】
（24-25 八年级下·江西宜春·阶段练习）
23 ．已知实数m, n (m ≠ n)满足2m2 - 3m - 1 = 0 ，2n2 - 3n -1 = 0，则 的值为 m n
【变式 6-3】
24 ．设x，y，s，t 为互不相等的实数，且(x2 - s2 )(x2 - t2 ) = 1 ，(y2 - s2 )(y2 - t2 ) = 1，则 x2y2 - s2t2 的值为( )
A ．-1 B ．1 C ．0 D ．0.5
【题型 7 不解方程由根与系数的关系判断根的正负】
【例 7】
（2024 八年级下·全国·专题练习）
25．已知 a、b、c 是△ABC 的三条边的长，那么方程 的根的情况是( )
A ．没有实数根 B ．有两个不相等的负实数根
C ．有两个相等的负实根 D ．只有一个实数根
【变式 7-1】
（2025·江苏南京·模拟预测）
26 ．关于 x 的一元二次方程x2 - 2kx -1 = 0 的根的情况是( )
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根且两根异号
C ．有两个不相等的实数根且两根同号 D ．没有实数根
【变式 7-2】
（2022·江苏南京·二模）
27 ．方程(x +1)(x - 2) +1 = 0 的根的情况，下列结论中正确的是( )
A ．两个正根 B ．两个负根 C ．一个正根，一个负根 D ．无实数根 【变式 7-3】
（23-24 九年级上·福建厦门·期中）
28 ．一元二次方程ax2 + bx + c = 0， 已知a > 0 ，b > 0 ，c < 0 ，则这个方程根的情况是( )
A ．有两个正的实数根 B ．没有实数根
C ．有一正根一负根且正根绝对值大 D ．有一正根一负根且负根绝对值大
【题型 8 由已知方程根的情况判断另一个方程根的情况】
【例 8】
（22-23 八年级下·浙江杭州·阶段练习）
29 ．一元二次方程M : ax2 + bx + c = 0 ；N : cx2 + bx + a = 0 ，其中 ac ≠ 0 ，a ≠ c ，给出以下 四个结论：①若方程 M 有两个不相等的实数根，则方程 N 也有两个不相等的实数根；②若 方程 M的两根符号相同，则方程 N的两根符号也相同； ③若 m 是方程 M的一个根，则 是方程 N的一个根；④若方程 M 和方程 N 有一个相同的根，则这个根必是x =1 ，其中正确 的结论是( )
A ．①③ B ．①②③ C ．①②④ D ．①③④
【变式 8-1】
（22-23 九年级上·江苏南京·期中）
30 ．若关于x 的一元二次方程a(x + h)2 + k = 0 的两根分别为-3 、2 ，则方程 a(x -1+ h)2 + k = 0 的根为 ．
【变式 8-2】
（24-25 九年级上·浙江台州·期末）
31．若x1 = 2025 ，x2 = 1 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根，则方程 的解为 ．
【变式 8-3】
32 ．关于 x 的一元二次方程x2 + px + q = 0 有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程 y2 + qy + p = 0 也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是( )
\l "bkmark1" A．p 是正数，q 是负数 B ．(p- 2)2 + (q- 2)2 ＜8
\l "bkmark2" C ．q 是正数，p 是负数 D ．(p - 2)2 + (q - 2)2 ≥ 8
【题型 9 根与系数的关系与几何图形的综合运用】 【例 9】
（24-25 八年级下·安徽合肥·期中）
33 ．已知等腰 △ABC 的一条边为 7，其余两边的边长恰好是方程x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 的两个根，则 m 的值是 ．
【变式 9-1】
（24-25 八年级下·江苏扬州·阶段练习）
34 ．若一个菱形的两条对角线长分别是关于 x 的一元二次方程x2 - 6x + m = 0 的两个实数根，
且其面积为 4，则该菱形的边长为 ． 【变式 9-2】
（24-25 九年级上·四川成都·阶段练习）
35 ．已知平行四边形ABCD 的两边AB 、AD 的长是关于 x 的方程x2 - mx + m - 1 = 0 的两个
2 4
实数根，当四边形ABCD 是菱形时，其周长为 ． 【变式 9-3】
（24-25 八年级下·浙江杭州·期中）
36．边长为整数的直角三角形，若其两直角边长是方程x2 - (k + 2)x + 4k = 0 的两根，则该直 角三角形的斜边长为 ．
【题型 10 根与系数的关系和根的判别式的综合应用】 【例 10】
（24-25 八年级下·安徽滁州·期末）
37 ．已知关于x 的一元二次方程mx2 - (2m +1)x + 2 = 0 ．
(1)判断此方程根的情况，并说明理由．
(2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数m 的值的和．
(3)若此方程的两个实数根分别为x1, x2 ，求代数式m (x + x)- (2m +1)(x + x)+ 2(x + x) 的
值．
【变式 10-1】
（24-25 八年级下·浙江·期中）
38 ．关于x 的一元二次方程x2 - 5x + k = 0 有实数根．
(1)求k 的取值范围．
(2)如果k 是符合条件的最大整数，且关于x 的一元二次方程(m -1)x2 + x + m - 3 = 0 与方程 x2 - 5x + k = 0 有一个相同的根，求此时m 的值．
(3)若方程x2 - 5x + k = 0 的两个实数根为x1, x2 ，满足x1 = 4x2 ，求此时 k 的值．
【变式 10-2】
（2025·四川南充·二模）
39 ．已知a 、b 是一元二次方程x2 - 2x + k2 - 2 = 0的两个实数根．
(1)求整数k 的取值；
(2)若等式a2 + 2b - 5 = 0 成立，求整数k 的值．
【变式 10-3】
（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
40 ．材料一：定义：若关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 有两个实数根x1, x2 ，且
满足 x1 + x2 = x1 . x2
,则称此类方程为“和积方程”．
例如： 即 解得
是“和积方程”．
材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于 x 的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根为 x1 ，x2 ，则 这就是一元二次 方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．
(1)方程x2 - 5x + 6 = 0 （填是或不是）“和积方程”；
(2)若关于 x 的方程x2 - (n + 3)x + 3n = 0 是“和积方程”，则 n = _____
(3)若关于 x 的一元二次方程x2 + (2m +1)x + m2 + 2m = 0 是“和积方程”，求 m 的值．
1 ．- 7
3
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，
b c
熟练掌握ax2 + bx + c = 0的两根x1、x2 满足x1 + x2 = - a ，x1x2 = a 是解题的关键．
b a
根据一元二次方程根与系数关系得到a + b = 1 ，ab = -3 ，然后将 + 变形后整体代入求解
a b
即可．
【详解】解：∵a ，b 是方程x2 - x - 3 = 0 的两个实数根， : a + b = 1 ，ab = -3
: b + a = a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab = 12 - 2× (-3) = - 7 ． a b ab ab -3 3
故答案为：- ．
2 ．-2024
【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数之间的关系，得到a + b= -1, ab = -2025 ， 整体代入法进行计算即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵a, b 是一元二次方程x2 + x - 2025 = 0 的两个实数根， : a + b = -1, ab = -2025 ，
: ab - a - b = ab - (a + b) = -2025 - (-1) = -2024 ；
故答案为：-2024 ．
3 ．5
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于 x 的一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 x1 ，x2 和系数a ，b ，c ，有如下关系：x1 + x2 = - ，
x1 . x2 = ，由题可得 x1 + x2 = -1 ，x1 . x2 = -2 ，再利用完全平方公式计算即可得解．
【详解】解：∵一元二次方程x2 + x - 2 = 0 的两个根分别是 x1 ，x2 ， : x1 + x2 = -1 ，x1 . x2 = -2 ，
: x + x = (x1 + x2 )2 - 2x1 . x2 = (-1)2 - 2× (-2) = 5 ，
故答案为：5 ．
2025
4 ．
1013
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，由一元二次方程根与系 数的关系得出am + βm = -2 ，am βm = - (m2 + m) ，从而得出 由此规 律计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵关于 x 的方程x2 + 2x - m2 - m = 0 （m 为正整数）的两根分别记为am ， βm ， : am + βm = -2 ，am βm = - (m2 + m)，
1 1 1 1 1 1
: a1 + β1 + a2 + β2 + … + a2025 + β2025
= 2 éêL(çè 1- + ç - + … + ç - ö,÷
= 2 × (çè 1 -
2025
=
,
1013
故答案为： ．
5 ．4051
【分析】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
将x = a 代入原方程，再结合根与系数的关系x1 + x2 = - 即可解决问题．
【详解】解：∵α , β 是方程x2 + 2x - 2025 = 0 的两个实数根， : a2 + 2a - 2025 = 0 ，a + β = - = -2 ，
: a2 + 2a = 2025 ，
则2a2 + 6a + 2β + 5 = 2a2 + 4a + 2a + 2β + 5
= 2 (a2 + 2a)+ 2(a + β)+ 5
= 2 × 2025 + 2 × (-2) + 5
= 4051，
故答案为：4051．
6 ．29
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程x2 - 5x - 24 = 0 的两根分别为a
和b ，可得：a + b = 5 ，a2 - 5a = 24 ，把 a2 - 4a + b 整理可得：
a2 - 4a + b = (a2 - 5a )+ (a + b) ，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：Q 方程x2 - 5x - 24 = 0 的两根分别为a 和b ，
:a + b = 5 ，a2 - 5a - 24 = 0 ， : a2 - 5a = 24 ，
: a2 - 4a + b
= a2 - 5a + a + b
= (a2 - 5a )+ (a + b)
= 24 + 5
= 29 ．
故答案为：29 ．
7 ．4
【分析】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，根据根与系数的关系得出ab = -4 ， a + b = -4 ，根据方程的解得 a2 + 4a - 4 = 0 ，再将a2 + 5a - b(a -1) 变形为
a2 + 4a - ab + (a + b) ，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵a 和b 是方程x2 + 4x - 4 = 0的两个根， : a2 + 4a - 4 = 0 ，ab = -4 ，a + b = -4 ，
: a2 + 4a = 4 ，
: a2 + 5a - b(a -1)
= a2 + 5a - ab + b
= a2 + 4a - ab + (a + b)
= 4 - (-4) + (-4)
= 4 ．
故答案为：4．
8 ．11
【分析】本题主要考查了根与系数的关系、 一元二次方程根的定义定义、代数式求值等知识 点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键
先将一元二次方程化为一般形式，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到
m + n = 1, mn = -3 以及方程的解可得n2 = 3 + n ，然后对2n2 - mn + 2m变形后代入计算即可解答． 【详解】解： :m ，n 是一元二次方程x2 - x = 3的两个实数根， 即x2 - x - 3 = 0 的两个不相等 的实数根，
: m + n = 1, mn = -3, n2 - n - 3 = 0 : n2 = 3 + n
: 2n2 - mn + 2m
= 2 (3 + n) - (-3) + 2m
= 6 + 2n + 3 + 2m
= 9 + 2 (n + m)
= 9 + 2 × 1
= 11．
故答案为：11．
9 ．-10
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系得a2 + 2a - 1 = 0 ， a + β = -2 ，将原式变形，整体代入计算即可
【详解】解：: a 、 β 是方程x2 + 2x -1 = 0 的两个实根， : a2 + 2a - 1 = 0 ，a + β = -2 ，
: a2 = 1 - 2a ，a2 + 2a = 1
: a3 + 5β + 2
= a . a2 + 5β + 2
= a (1- 2a) + 5β + 2
= a - 2a2 - 4a + 4a + 5β + 2
= a - (2a2 + 4a)+ 4a + 5β + 2
= 5a - 2 (a2 + 2a)+ 5β + 2
= 5 (a + β)
= 5 × (-2)
= -10 ，
故答案为：-10 ．
10 ．-43
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根和系数的关系，同底数幂乘法的逆 用，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题关键．由题意可知a + β = -4 ，
a2 + 4a + 2 = 0，进而整理出 a3 = 14a + 8 ，将其代入化简求值即可． 【详解】解：根据题意，a、 β 是方程x2 + 4x + 2 = 0 的两个实根， : a + β = -4 ，a2 + 4a + 2 = 0 ，
: a2 = -4a - 2 ，
: a3 = a . a2 = -4a2 - 2a = -4(-4a - 2) - 2a = 14a + 8 ，
: a3 +14 β + 5 = 14a + 8 +14 β + 5 = 14 (a + β)+13 = 14 × (-4) +13 = -43 ．
故答案为：-43 ．
11 ．2029
【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握 x1 ，x2 是一元二次方 程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根时， x1x2 = 是解题的关键．先根据根与系数 的关系得出m + n = -1 ，mn = -3 ，再利用一元二次方程解的定义得到m2 = -m + 3 ，
,从而得到 m3 = 4m - 3 ， ，则原式化简为4(m + n) - mn + 2032 ，最后利用 整体代入的方法计算即可．
【详解】解：Qm 、n 是一元二次方程x2 + x - 3 = 0的两个实数根
:m + n = -1 ，mn = -3 ，m 2 + m - 3 = 0 ，n2 + n - 3 = 0
:m2 = -m + 3 ，n (n +1) = 3
:m3 = m (-m + 3) = -m2 + 3m = - (-m + 3) + 3m = 4m - 3
= 4m - 3 + 3n - mn + n +1+ 2032
= 4m + 4n - mn - 2 + 2032
= 4 (m + n) - mn + 2030
= 4 × (-1) - (-3) + 2030
= 2029
故答案为：2029．
12 ．100
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，关于 x 的一元二次 方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个实数根 x1 ，x2 和系数a ，b ，c ，有如下关系：
x1 . x2 = ，由题意得出 a2 + a - 3 = 0 ，a + β = -1 ，从而得出 a2 + a = 3 ，求出
a6 = -40a + 57 ，整体代入计算即可得出答案．
【详解】解：∵ a 、 β 是一元二次方程x2 + x - 3 = 0的两根， : a2 + a - 3 = 0 ，a + β = -1 ，
: a2 = 3 - a ，
: a3 = a . (-a + 3) = -a2 + 3a = a - 3 + 3a = 4a - 3 ， : a6 = (a3 )2
= (4a - 3)2
= 16a2 - 24a + 9
= 16 (3 -a) - 24a + 9
= 48 -16a - 24a + 9
= -40a + 57 ，
: a6 - 40β + 3
= -40a - 40β + 57 + 3
= -40(a + β)+ 60
= 40 + 60
= 100 ．
故答案为：100 ．
13 ．-2
【分析】此题主要考查了根与系数的关系，首先根据一元二次方程根与系数得到两根之和和 两根之积，然后把(x1 - 1) (x2 - 1) 转换为x1x2 - (x1 + x2 ) + 1，然后利用前面的等式即可得到关 于 m 的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵ x1 ，x2 是一元二次方程x2 - mx + 2m -1 = 0 的两个实数根，
: x1 + x2 = m ，x1x2 = 2m -1，
解得m1 = -2 ，m2 = 3 ，
经检验m1 = -2 ，m2 = 3 是分式方程的解， 又∵方程x2 - mx + 2m -1 = 0 有两个实数根，
:Δ = m2 - 4(2m -1) ≥ 0 ，
当m1 = -2 时， Δ = 4 - 4× (-5) = 24 > 0 ， 当m2 = 3 时， Δ = 9 - 4× 5 = -11< 0 ，
:符合条件的 m 的值为m1 = -2 ．
故答案为：-2 ．
14 ．4
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，若x1，x2 是该方程的两个实数根，则x1 + x2 = - ，x1x2 = ，据此可 得 x1 + x2 = m，x1x2 = 1，再根据 (x1 - 2)(x2 - 2) = -3 得到x1x2 - 2(x1 + x2 ) + 4 = -3 ，即 1 - 2m + 4 = -3，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ x1 ，x2 是关于 x 的方程x2 - mx + 1 = 0 的两个实数根， : x1 + x2 = m，x1x2 = 1，
∵ (x1 - 2)(x2 - 2) = -3 ，
: x1x2 - 2x1 - 2x2 + 4 = -3 ， : x1x2 - 2(x1 + x2 ) + 4 = -3 ， : 1 - 2m + 4 = -3，
: m = 4 ，
故答案为：4．
15 ．1
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的根的判别式等知识， 属于常考题型，熟练掌握一元二次方程的基本知识是解题关键．根据一元二次方程的根与系 数的关系可得2(2m - 4) = m2 - 5 ，解方程即可求出 m 的值，再代入原方程检验即得答案．
【详解】解：设方程x2 + (4 - 2m)x + m2 - 5 = 0 的两个根分别为 x1 ，x2 ， 则x1 + x2 = 2m - 4 ，x1 . x2 = m2 - 5 ，
根据题意得：2 (2m - 4) = m2 - 5 ，即 m2 - 4m + 3 = 0 ， 解得m = 1或m = 3 ；
当m = 1时，原方程为x2 + 2x - 4 = 0 ， Δ > 0 ；
当m = 3 时，原方程为x2 - 2x + 4 = 0 ， Δ < 0 ，舍去．
: m = 1．
故答案为：1．
16 ．3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的 关系得到 x1 + x2 = 2m ， x1x2 = m2 - 4 ，进而根据已知条件式推出
则可得方程 . = m2 - 4 ，解方程后根据 x1 > x2 验证结果即可．
【详解】解：∵ x1 ，x2 是关于 x 的方程x2 - 2mx + m2 = 4 的两个根， : x1 + x2 = 2m ，x1x2 = m2 - 4
: x1 = 2m - x2 ，
∵ x1 = 2x2 + 3，
: 2m - x2 = 2x2 + 3 ，
: 8m2 + 6m - 12m - 9 = 9m2 - 36 ，
: m2 + 6m - 27 = 0 ，
解得m = -9 或m = 3 ， ∵ x1 > x2，
: m > -3 ， : m = 3 ，
故答案为：3．
17 ．m ≥ -5
【分析】根据一元二次方程根的分布，根的判别式以及根与系数的关系列出不等式组，并解 答求得m 的取值范围．本题主要考查了一元二次方程根的分布，根的判别式和根与系数的 关系等知识点，解此题的关键是得到
【详解】解：Q 关于x 的方程4x2 - 5x - (m + 5) = 0 的解中，仅有一个正数解，
解得m ≥ -5 ．
故答案为：m ≥ -5 ．
18 ．3 < m < 5 ## 5 > m > 3
【分析】本题考查了根的判别式和根与系数的关系， 熟练掌握这些知识是解题的关键．据根 的情况可得 Δ = (-4)2 - 4× 1 × (m -1) > 0 ，根据根与系数的关系可得2(m -1) > 4 ，即可求出 m
的取值范围．
【详解】解：根据题意， Δ = (-4)2 - 4× 1 × (m -1) > 0 ， 解得m < 5 ，
∵关于x 的一元二次方程x2 - 4x + m -1 = 0有两个不相等的实数根x1 , x2 ，
: x1 + x2 = 4, x1x2 = m -1， 又∵2x1x2 > x1 + x2 ，
:2(m -1) > 4
解得m > 3 ，
:实数 m 的取值范围是：3 < m < 5 ．
故答案为：3 < m < 5 ．
19 ．
【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意， 利用一元二次方程的知识解答．根据关于 x 的方程ax2 + (a + 2)x +1 = 0 有两个不相等的实数 根 x1 ，x2 ，可以得到 a 的取值范围，再根据x1 < 1 < x2 得出(x1 -1)(x2 -1) < 0 ，利用根与系数 的关系得出 ， ，再利用分类讨论的方法求出 a 的取值范围，本题得 以解决．
【详解】解：∵关于 x 的方程ax2 + (a + 2)x +1 = 0 有两个不相等的实数根 x1 ，x2 ，
ìïa ≠ 0
: íïl(a + 2)2 - 4a > 0 ， 解得a ≠ 0 ，
∵ x1 ，x2 是方程ax2 + (a + 2)x +1 = 0 的两个实数根，
∵ x1 < 1 < x2 ，
: x1 -1< 0 ，x2 - 1 > 0 ， : (x1 -1)(x2 -1) < 0 ，
: x1x2 - (x1 + x2 ) +1< 0 ，
整理得： < -2 ，
当a < 0 时，解不等式 得
当a > 0 时，解不等式 < -2得： :此时无解；
综上分析可知
故答案为
20 ． m ≥ 3 + 2
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式， 由方程有两个不相等的实数根结合根 的判别式即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；根据根与系数 的关系即可得出x1 + x2 = 2m + 2 ，x1 . x2 = m2 - 4m + 4 ，结合 m 的取值范围即可得出
x1 + x2 = 2m + 2 > 0 ，再由x1x2 -1 = x1 + x2
, 即可得出m2 - 4m + 4 -1 = 2m + 2 ，解之即可得出
m 的值．
【详解】Q 方程x2 - (2m + 2)x + m2 - 4m + 4 = 0 有两个实数根 x1 ，x2 ， : Δ = [-(2m + 2)]2 - 4(m2 - 4m + 4) = 24m -12 ≥ 0 ，
解得：
Q 原方程的两个实数根为 x1 、x2 ，
:x1 + x2 = 2m + 2 ，x1 . x2 = m2 - 4m + 4 ，
:x1 + x2 = 2m + 2 > 0 ，
,
Qx1x2 -1 = x1 + x2
:x1x2 -1 = x1 + x2 ，
整理得，m2 - 6m +1 = 0 ，
∵ Δ = (-6)2 - 4× 1 × 1 = 32 > ，
∵ m ≥ ,
:解得：
故答案为
【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数以换元思想的应用，令 结合xy ≠ 1， 则 z 是2z2 - 2025z + 3 = 0 的根，那么，x 和 z 为方程2x2 - 2025x + 3 = 0 的两根，利用根与系 数的关系即可求得．
解：令 ∵ xy ≠ 1，
则2z2 - 2025z + 3 = 0 ，
那么，x 和 z 为方程2x2 - 2025x + 3 = 0 的两根，
则
故答案为： ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将方程组转化成一元二次方程求解 成为解题的关键。
先根据根与系数的关系将方程组转化为一元二次方程求解即可。
【详解】解：由题意
: x ，y 可以看作是方程z2 - 8z +15 = 0的两个实数根. 又∵方程z2 - 8z +15 = 0的两个实数根为z =3 或z = 5 ， :方程组 的解是 或
故答案为 或
23 ．-
【分析】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义 得到 m ，n 是方程2x2 - 3x - 1 = 0的两实数根是解题的关键．根据已知判断出 m ，n 是方程 2x2 - 3x - 1 = 0的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
【详解】解：∵实数m ，n(m ≠ n) 满足等式2m2 - 3m - 1 = 0 ，2n2 - 3n -1 = 0 ，
:m ，n 是方程2x2 - 3x - 1 = 0的两实数根，
故答案为：
24 ．A
【分析】把 x2 , y2 看作以上方程的两个不同的根，可得x4 - (s2 + t2 )x2 - s2t2 -1 = 0 ，根据一 元二次方程根与系数的关系求解即可
【详解】解：Q (x2 - s2 )(x2 - t2 ) = 1 ，(y2 - s2 )(y2 - t2 ) = 1，
: x2 , y2 看作以上方程的两个不同的根，
即x2 , y2 是方程x4 - (s2 + t2 )x2 - s2t2 -1 = 0 的两根， 故x2y2 = -s2t2 -1，即 x2y2 - s2t2 = -1
故选 A
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系，整体代入是 解题的关键．
25 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程根的判别式、三角形的三 边关系，解本题的关键在熟练掌握根据一元二次方程根与系数的关系，判断出方程有两个不 等的负实根．
根据三角形三边关系得到(a + b)2 > c2 ，然后利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别 式求解即可．
【详解】解：在方程 中， 可得：
∵a 、b 、c 是△ABC 的三条边的长，
: a > 0，b > 0，c > 0 ．a + b > c ，即 (a + b)2 > c2 ， : (a + b)2 - c2 > 0 ，
: Δ > 0 ，
:方程有两个不相等的实数根，
又∵两根的和是 两根的积是 :方程有两个不等的负实根．
故选：B．
26 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 x1 ，x2 是一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根时， ， . 也考查了一元二次方程根的判别 式．先计算根的判别式的值得到 Δ = 4k2 + 4 ，则 Δ > 0 ，则根据根的判别式的意义得到方程 有两个不相等的实数根，再根据根与系数的关系得到方程的两根之积为-1，则可得到方程
的两根异号，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：QΔ = (-2k)2 - 4× 1 × (-1) = 4k2 + 4 > 0 ， :方程有两个不相等的实数根，
设方程的两根分别为 x1 ，x2 ，
Qx1x2 = -1< 0 ，
:方程的两根异号． 故选：B．
27 ．C
【分析】方程整理为一般形式，表示出根的判别式，判断解的情况，并利用根与系数关系判 断即可．
【详解】解：∵ (x +1)(x - 2) +1 = 0 ， 整理，得：x2 - x -1 = 0 ，
∵ Δ = (-1)2 - 4× (-1) = 5 > 0 ，
:方程有两个不相等的实数根，设为 x1 ，x2 ， ∵ x1x2 = -1< 0 ，x1 + x2 = 1 > 0 ，
:方程有一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根的绝对值．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关 系：若 x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根，则 式 子 Δ = b2 - 4ac 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 根的判别式， Δ > 0 Û 方程有两个不等 的实数根； Δ = 0 Û 方程有两个相等的实数根； Δ < 0 Û 方程无实数根．掌握一元二次方程 根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
28 ．D
【分析】先根据根的判别式判断根的情况，再根据 判断根的符号情况，根据
判定根的绝对值大小关系．
【详解】∵ a > 0 ，b > 0 ，c < 0 ， : ac < 0 ，ab > 0
: Δ = b2 - 4ac > 0 ，
:方程有两个不相等的实数根，
:两根异号，
:负根的绝对值大，
综上，一元二次方程ax2 + bx + c = 0有一正根一负根且负根绝对值大， 故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题的关键．
29 ．B
【分析】根据根的判别式，根的定义，计算判断即可． 【详解】∵ M : ax2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根， : Δ = b2 - 4ac＞0 ，
∵ N : cx2 + bx + a = 0 的判别式为 Δ = b2 - 4ca = b2 - 4ac＞0 ，
:方程 N 也有两个不相等的实数根， 故①正确；
∵ M : ax2 + bx + c = 0 两根符号相同，
: Δ = b2 - 4ac≥0,＞0 ，
:方程 N的两根符号也相同， 故②正确；
∵m 是方程 M : ax2 + bx + c = 0 的一个根， : am2 + bm + c = 0 ，
: 是方程 N的一个根；
故③正确；
设方程 M 和方程 N 相同的根为x0 ，
根据题意，得ax02 + bx0 + c = 0, cx02 + bx0 + a = 0 ， : (a - c)x02 = a - c ，
∵ ac ≠ 0 ，a ≠ c ， : x02 = 1，
解得x0 = ±1，
故这个根是x = ±1 ， 故④错误；
故选 B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，公共根，方程根的定义即使方程左右两边 相等的未知数的值，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
30 ．x1 = -2，x2 = 3 ## x1 = 3，x2 = -2
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系以及函数的平移解题；
【详解】解∵关于x 的一元二次方程a(x + h)2 + k = 0 的两根分别为-3 、2
:函数y = a(x + h)2 + k 与x 轴的交点为(-3, 0) ，(2, 0)
Q 函数y = a(x -1+ h)2 + k 是由函数y = a(x + h)2 + k 向右平移一个单位长度得到； :函数y = a(x -1+ h)2 + k 与x 轴的交点为(-2, 0) ，(3, 0)
:关于x 方程a(x -1+ h)2 + k = 0 的根为：x1 = -2 ，x2 = 3 故答案为：x1 = -2 ，x2 = 3
【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的平移； 熟练掌握二次函数 与一元二次方程的关系是解题的关键．
31 ．x1 = 2027 ，x2 = -1
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，由一元二次方程根与 系数的关系可得 将方程ax2 + bx - c = 0 两边同时除以a
可得： 整理可得x2 - 2026x - 2027 = 0，求解即可．
【详解】解：∵ x1 = 2025 ，x2 = 1 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的两个根， = x1 . x2 = 2025 ，
将方程 两边同时除以a 可得 : x2 - 2026x - 2027 = 0 ，
解得：x1 = 2027 ，x2 = -1，
:方程 的解为x1 = 2027 ，x2 = -1， 故答案为：x1 = 2027 ，x2 = -1．
32 ．D
【分析】设方程 x2+px+q ＝0 的两根为 x1 、x2，方程 y2+qy+p ＝0 的两根为y1、y2 ．根据方程 解的情况，结合根与系数的关系可得出 x1•x2 ＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断 A 与C；②由 方程有两个实数根结合根的判别式得出p2 -4q≥0，q2 -4p≥0，利用不等式的性质以及完全平 方公式得出（p -2）2+（q -2）2≥8，即可判断 B 与 D．
【详解】解：设方程 x2+px+q ＝0 的两根为 x1 、x2，方程 y2+qy+p ＝0 的两根为y1、y2．
:关于x 的一元二次方程x2+px+q ＝0 有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y2+qy+p =0 也有两个同号非零整数根，
:x1•x2 ＝q＞0，y1•y2＝p＞0，
故选项 A 与C 说法均错误，不符合题意；
:关于x 的一元二次方程x2+px+q ＝0 有两个同号非零整数根，关于y 的一元二次方程y2+qy+p =0 也有两个同号非零整数根，
:p2 -4q≥0 ，q2 -4p≥0，
:（p -2）2+（q -2）2＝p2 -4q+4+q2 -4p+4≥8（p 、q 不能同时为 2，否则两个方程均无实 数根），
故选项 B 说法错误，不符合题意；选项 D 说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，逐一分析四个选项说法的正误是解题 的关键．
33 ．4
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定 义，构成三角形的条件，当腰长为 7 时， x = 7 是方程 x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 的一个根，
当底边长为 7 时，则方程x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 有两个相等的实数根，据此分别求出两 种情况下 m 的值，再求出方程对应的根，最后根据构成三角形的条件求解即可．
【详解】解：当腰长为 7 时，则x =7 是方程x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 的一个根， : 72 - 2 × 7 ( m + 1) + m2 + 5 = 0 ，
解得m = 4 或m = 10 ，
当m = 4 时，由根与系数的关系可得方程的另一根为2( m + 1) - 7 = 2 × (4 + 1) - 7 = 3 ， :此时该等腰三角形的三边长分别为 7 ，7 ，3，
: 3 + 7 > 7 ，
:此时能构成三角形，符合题意；
当m = 10 时，由根与系数的关系可得方程的另一根为2( m + 1) - 7 = 2 × (10 + 1) - 7 = 15 ， :此时该等腰三角形的三边长分别为 7 ，7 ，15，
: 7 + 7 < 15 ，
:此时不能构成三角形，不符合题意；
当底边长为 7 时，则方程x2 - 2( m +1)x + m2 + 5 = 0 有两个相等的实数根， : Δ = -2( m + 1)2 - 4(m2 + 5) = 0 ，
解得m = 2 ，
:由根与系数的关系可得方程的根为 : 3 + 3 < 7 ，
:此时不能构成三角形，不符合题意；
综上所述，m = 4 ；
故答案为：4．
34 ． 、/5
【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质， 掌握菱形对角线与菱形的面积、边 长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键．
设菱形的两条对角线长分别为 a 、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等 式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长．
【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为 a 、b，
由题意得 :菱形面积为 4，
解得：ab = 8 ，

= ·、 ，
故答案为： /5 ．
35 ．2
【分析】先根据菱形的性质得到 AB = AD ，则根据根的判别式的意义得到△
, 根据根与系数的关系得到 AB + AD = m ，然后解方程得到 m 的值， 从而得到菱形ABCD 的周长．
本题考查了根与系数的关系和平行四边形和菱形的性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质 定理．
【详解】解：Q 四边形ABCD 是菱形，
:AB = AD ，
QAB ，AD 的长是关于x 的方程的两个实数根，
解得m1 = m2 = 1 ，
即菱形的周长为 故答案为：2 ．
36 ．13 或 10
lk - n - 6 解得k= 12
【分析】本题考查的是解一元二次方程，完全平方公式等知识点，掌握根的判别式是解题的 关键．
根据直角三角形的直角边是整数，得到方程的根是整数，因此根的判别式为平方数，然后对 一元二次方程根的判别式进行讨论求出值，可得到直角三角形斜边的长．
【详解】解：设直角三角形两直角边长为x1，x2 ，则 x1 +x2 = k + 2, x1.x2 = 4k ， ∵方程的根为整数，
: Δ = (k + 2)2 -16k 为完全平方数， 设 Δ = (k + 2)2 -16k = n2
整理得(k + n - 6)(k - n - 6) = 32 ， ①当(k + n - 6)(k - n - 6) = 32 × 1 时， Qk+ n - 6>k- n - 6
: í
ìk + n - 6 = 32
l k - n - 6 = 1
解得k = （舍去）；
②当(k + n - 6)(k - n - 6) = 16 × 2 时， Qk+ n - 6 >k- n - 6
: í
ìk + n - 6 = 16
l k - n - 6 = 2 解得k = 15 ，
:直角三角形的斜边长为 ②当(k + n - 6)(k - n - 6) = 8 × 4 时，
Qk+ n - 6 >k- n - 6
: í
= 8
= 4
ìk + n - 6
,
:直角三角形的斜边长为
x12 + x22 = = = 10 ；
综上，该直角三角形的斜边长为 13 或 10.
故答案为：13 或 10.
37 ．(1)此方程总有两个实数根，见解析 (2)0
(3)0
【分析】本题考查了根的判别式、方程的解得定义、根与系数的关系： 若x1，x2 是一元二次
方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两根时 ．
（1）由根的判别式 即可知；
（2）根据韦达定理知 由方程的两个实数根都是整数可 得答案；
（3）根据方程的解得定义得 mx12 - (2m +1)x1 + 2 = 0 、mx22 - (2m +1)x2 + 2 = 0 ，继而知
mx15 - (2m +1)x14 + 2x13 = 0 ，mx25 - (2m +1)x24 + 2x23 = 0 ，两式相加可得．
【详解】（1）解：此方程总有两个实数根． 理由：Q Δ = - (2m +1)2 - 4m . 2 = (2m -1)2 ，
:不论m 为何值，(2m -1)2 ≥ 0 ，
:此方程总有两个实数根．
（2）解：设方程的两个根为 x1 , x2 ，
Q 此方程的两个实数根都是整数，
:m 的值为 ±1，
:符合条件的整数m 的值的和为 0．
（3）解：Qx1, x2 是方程mx2 - (2m +1)x + 2 = 0 的两个实数根， :mx - (2m +1)x1 + 2 = 0 ，mx - (2m +1)x2 + 2 = 0 ，
:mx - (2m +1)x + 2x = 0 ，mx - (2m +1)x + 2x = 0 ，
以上两式相加，可得m (x + x)- (2m +1)(x + x)+ 2(x + x) = 0 ，
即m (x + x )- (2m +1)(x + x )+ 2(x + x ) = 0 ．
38 ．
(3)4
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、一元二次 方程的解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据 Δ ≥ 0 ，解不等式即可得出答案；
（2）求出 k 的值为 6，解方程求出 x1 = 2，x2 = 3 ，代入方程求出 m 的值即可；
（3）由一元二次方程根与系数的关系得出x1 + x2 = 5 ，x1x2 = k ，再结合x1 = 4x2 求出x1, x2 的
值，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意得： Δ = b2 - 4ac = (-5)2 - 4k ≥ 0 ，
解得k ≤ ;
（2）解：∵ k 是符合条件的最大整数， : k 的值为 6，
:方程x2 - 5x + k = 0 变形为x2 - 5x + 6 = 0 ， 解得x1 = 2，x2 = 3 ，
∵一元二次方程(m -1)x2 + x + m - 3 = 0 与方程x2 - 5x + k = 0 有一个相同的根， :当x = 2 时，4 (m -1) + 2 + m - 3 = 0 ，
解得：m = 1， ∵ m -1 ≠ 0 ，
: m ≠ 1；
当x = 3 时，9 (m -1) + 3 + m - 3 = 0 ，
解得： : m 的值为
（3）解：∵ x1 ，x2 是方程x2 - 5x + k = 0 的两个实数根，
: x1 + x2 = 5 ，x1x2 = k ，
: x1 = 4x2 ，
: 4x2 + x2 = 5 ，
解得：x2 = 1，
: x1 = 4 ，
: k = x1x2 = 1 × 4 = 4 ．
39 ．(1) ±1 ，0
(2) ±1
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系；
（1）根据方程有两个实数根，既有 Δ ≥ 0 ，求出 k 的取值范围，得到整数解即可；
（2）根据方程的根与系数的关系得到a + b = 2 ，a2 = 2a - k2 + 2，然后代入求出整数 k 的值． 【详解】（1）解：:一元二次方程x2 - 2x + k2 - 2 = 0有两个实数根，
: Δ = 4 - 4k2 + 8 ≥ 0 ， 解得：- ≤ k ≤ , :整数k 的为±1 ，0 ；
（2）解：: a 、b 是一元二次方程x2 - 2x + k2 - 2 = 0的两个实数根， : a + b = 2 ，a2 = 2a - k2 + 2 ，
: a2 + 2b - 5 = 2a - k2 + 2 + 2b - 5 = 4 - k2 + 2 - 5 = 0 ， 解得k = ±1 ，
:整数k 的值为±1．
40 ．(1)不是
(3)m 的值为-1或 - 2 或- - 2 ．
【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新 定义是解题的关键．
（1）根据“韦达定理”计算即可判断；
（2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到n + 3 = 3n ，据此计算即可求解；
（3）利用要根的判别式求得 m ≤ ,再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到 2m + 1 = m2 + 2m ，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设方程 x2 - 5x + 6 = 0 的两个实数根为 x1 ，x2 ，
: 5 ≠ 6 ，
: x1 + x2 ≠ x1 . x2 ，
:方程x2 - 5x + 6 = 0 不是“和积方程”， 故答案为：不是；
（2）解：:关于 x 的方程x2 - (n + 3)x + 3n = 0 是“和积方程” ， x1 + x2 = n + 3 ，x1 . x2 = 3n ， : n + 3 = 3n ，
当n + 3 = 3n 时，解得
当n + 3= -3n 时，解得
（3）解：:方程x2 + (2m +1)x + m2 + 2m = 0 有两个实数根， : Δ = (2m + 1)2 - 4(m2 + 2m) ≥ 0 ，
: m ≤ ,
:方程x2 + (2m +1)x + m2 + 2m = 0 是“和积方程”，
: 2m + 1 = m2 + 2m ， 当2m + 1 = m2 + 2m 时， 整理得m2 = 1，
解得m = 1（舍去）或 m = -1； 当2m + 1 = -m2 - 2m 时，
整理得m2 + 4m +1 = 0 ，
解得m = - 2或m = - - 2 ；
:m 的值为-1或 - 2 或- - 2 ．