华师大版九年级上册21.1 二次根式导学案

教学目标

1.理解二次根式的概念.

2.掌握二次根式有意义的条件.

3.掌握二次根式的性质.

4.运用二次根式的性质进行化简计算.

教学重难点

重点：掌握二次根式有意义的条件；掌握二次根式的性质.

难点：运用二次根式的性质进行化简计算.

教学过程

复习巩固

1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.

a的平方根是.

2.算术平方根：正数的正的平方根叫做它的算术平方根.

如果 x2＝a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根，

用（a≥0）表示.

3.平方根有哪些性质？

　　正数有两个平方根且互为相反数；

0有一个平方根就是0；

负数没有平方根.

导入新课

【问题1】什么数有算术平方根？

活动1（学生交流，教师点评）

我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.

【问题2】

活动2（学生交流，教师点评）

填空：

（1）4的平方根是        　　；0的平方根是          .

（2）5的平方根是              ；5的算术平方根是            .

【答案】（1）±2　0

（2）±　

【问题3】活动3（学生交流，教师点评）

思考  用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？

(1)面积为3 m2的正方形的边长为　　　　m；

面积为S m2的正方形的边长为　　　　m.

(2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，

则它的宽为_____m.

【答案】（1）　   (2)

学生：上面问题中，得到的结果分别是，，.      

教师提出：这些式子分别表示什么意义？

学生：它们分别表示3，S，65的算术平方根.  

教师继续提出：这些式子有什么共同特征？

学生：①根指数都为2; ②被开方数都为非负数.

教师总结并引出课题：21.1　二次根式

探究新知

探究点一　二次根式

阅读教材P2～P3的内容，完成下面的练习.

【归纳】

一般地，我们把形如的式子叫做二次根式.

“”叫做二次根号，a叫做被开方数.

【注意】中的既可以是数，也可以是式子，但a必须是一个非负数.

【问题4】

活动4（师生互动）

例1　下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？

(1)；(2) 6；(3)；(4)（m≤0）；

(5)（x,y异号）；(6) ；(7).

【分析】看一个式子是否含二次根号，看被开方数是不是非负数，如果是非负数，式子是二次根式，否则不是二次根式.

【解】(1)(4)(6)均是二次根式，其中a2+1属于“非负数+正数”的形式，一定大于零.

(2)是整数，(3)-120，(5)xy0 ，(7)根指数是3，所以(2)(3)(5)(7)均不是二次根式.

探究点二　二次根式有、无意义的条件

【问题5】

活动5（师生互动）

例2　如图所示的正方形的面积为a，则正方形的边长是           .

【答案】

【归纳】

二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，(a≥0）.

二次根式无意义的条件：被开方数为负数， (a<0).

活动6（学生交流，教师点评）

【问题6】（师生互动）

例3　当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义?

【解】由x-2≥0，得 x≥2.

当x≥2时， 在实数范围内有意义.

【即学即练】 (学生独学)

当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1);(2).

【解】（1）由题意，得x-1＞0，解得x＞1.

所以当x＞1时， 在实数范围内有意义.

（2）由题意，得3+x≥0，解得x≥-3.

由x-1≠0，解得x≠1.

所以当x≥-3 且x≠1时，在实数范围内有意义.

探究点三　二次根式的性质

【问题7】

活动7（师生互动）

的性质：

a≥0，即二次根式的被开方数非负；

≥0，即二次根式的值非负.

的性质：＝|a|＝

例4　计算： (1)；(2).

【分析】(引发学生思考)一个非负数的算术平方根的平方等于什么？当二次根式的被开方数是一个完全平方数，开方时有什么规则？

【解】（1） ＝1.5.（2）.

【方法总结】

(学生总结，老师点评)一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数.当二次根式的被开方数是一个完全平方数时，＝|a|＝

在第（2）小题中先运用积的乘方的性质，再计算.

【互动】(小组交流)

【即学即练】 (学生独学)

1.计算：(1)；　(2)；　(3) ；　(4).

【解】(1) ＝18.　(2) ＝.　(3)＝6.　(4) ＝7.

2.直接写出结果.

（1）  （2）

（3）（4）＝　　　　.

【答案】（1）0　（2）2　（3）4　（4）

2.计算：.

【拓展】(小组交流)

例5　若，

求a -b+c的值.

【解】由题意可知a-2＝0,b-3＝0,c-4＝0,

解得a＝2,b＝3,c＝4.

所以a-b+c＝2-3+4＝3.

【方法总结】

多个非负数的和为零，则每个非负数均为零.

课堂练习

1.下列式子中，不属于二次根式的是（    ）

A.　　　　　　　　　　B.

C.　　　　　　　　　 D.

2.式子有意义的条件是（    ）

  　A.x＞2   　  B.x≥2    　C.x＜2        D.x≤2

3.当x＝　　　　时，二次根式 取最小值，其最小值为　　　　.

4.如果＝2a1，那么（    ）

A.a＜　　　　　         B.a≤

C.a＞　　　　　         D.a≥

5.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

6.(1)若二次根式有意义，求m的取值范围.

(2)无论x取任何实数，代数式 都有意义，求m的取值范围.

7.先阅读，再回答问题：

当x为何值时， 有意义？

解：由题意，得x(x-1)≥0.

所以x ≥ 0且x-1≥0或x≤0且x-1≤0,

解得x≥1 或x≤0，

即当x≥1 或x≤0时， 有意义.

问题：当x为何值时，有意义？

8.已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根.

参考答案

1.C  2.A  3.-1　0

4.D　【解析】由二次根式的非负性可得2a1≥0，解得a≥.

5.【解】(1)∵ a-1≥0，∴ a≥1.

(2)∵ 2a+3≥0，∴ a≥.

(3)∵ -a≥0，∴ a≤0.

(4)∵ 5-a>0，∴ a<5.

6.【解】(1)由题意，得m-2≥0且m2-m-2≠0，

解得m≥2且m≠-1，m≠2，

∴ m＞2.

(2)由题意，得x2+6x+m≥0，

即(x+3)2+m-9≥0.

∵ (x+3)2≥0,

∴ m-9≥0,即m≥9.

7.【解】由题意,得，

则

解得x≥2或x＜，

即当x≥2或x＜时，有意义.

8.【解】由题意,得3x-y-1＝0且2x+y-4＝0.

解得x＝1，y＝2.

∴ x+4y＝1+4×2＝9，

∴ x+4y的平方根为±3.

课堂小结

(学生总结，老师点评)

二次根式

布置作业

教材第3页练习第1~3题，第4页习题21.1第1~3题.

板书设计

课题　第21章　二次根式

1　二次根式

【问题4】　　　　　　　　　　　　　　　　例1

二次根式：

形如(a≥0)的式子叫做二次根式.

二次根式的被开方数必须是非负数.　　　　

【问题5】　　　　　　　　　　　　　　　　例3

二次根式有意义的条件

【问题7】　　　　　　　　　　　　　　　　例4

二次根式的性质                                       

【拓展】　　　　　　　　　　　　　　　　  例5