初中数学华师大版九年级上册21.1 二次根式学案

这是一份初中数学华师大版九年级上册21.1 二次根式学案，共8页。学案主要包含了知识链接，新知预习等内容，欢迎下载使用。

第21章 二次根式
21.1 二次根式
学习目标：1.理解二次根式的概念（重点）；
2. 掌握二次根式有意义的条件（重点）；
3.掌握二次根式的两个性质：（重点）；
4.会利用二次根式的非负性解决相关问题（难点）.
自主学习
一、知识链接
1.什么叫做平方根？


2.什么叫做算术平方根？什么数有算术平方根？



二、新知预习
1. 用带根号的式子填空:
(1)如图①是一张郑州“二七纪念塔”的照片，形状为正方形.若其面积为2dm2,则它的边长为 dm；若其面积为S dm2，则它的边长为__ __ dm．

图‚
图



(2) 如图②的海报为长方形，若宽是长的2倍，面积为6m2，则它的长为__ __m．
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有h 的式子表示 t ，那么t=__ __．

合作探究
一、探究过程
探究点1：二次根式的意义及有意义的条件
问题1： 分别表示什么？


问题2： 这些式子有什么共同特征？



【要点归纳】把形如 (a≥0)的式子叫做二次根式. “”称为_______.
【典例精析】

例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？




【方法总结】判断式子是否为二次根式时，抓住二次根式的两个必备特征：
①外貌特征：含有“”；②内在特征：被开方数a≥0.
例2 (教材P2例题变式题)当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？



【方法总结】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.
若二次根式为分式的分母或二次根式为的被开方数为分式时，应同时考虑分母不为零.
【针对训练】
1.下列各式:一定是二次根式的个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
2.(1)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是___ ____;
(2)若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____ _____.
探究点2：的性质
【典例精析】
例3 计算：

【要点归纳】.
【针对训练】
计算：




探究点3：的性质
议一议:下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？
1.计算： ; ; ; .
观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当 .
2.计算： ; ; ; .
观察其结果与根号内幂的底数的关系，归纳得到：当 .
3.计算： ;当 .
【要点归纳】将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
a2=a=a≥0a<0，即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
探究点4：二次根式的双重非负性
问题1：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？


问题2：二次根式的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？



【要点归纳】二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.
对于任意一个二次根式，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a______0；
（2）表示一个数或式的算术平方根，可知__ __0.
【典例精析】
例4 若，求a-b+c的值.





【方法总结】多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.初中阶段学过的非负数主要有绝对值、
偶次幂及二次根式.
例5 已知y=,求3x+2y的算术平方根.





【方法总结】若，则根据被开方数大于等于0，可得a=0.
【针对训练】
已知|3x-y-1|和 互为相反数，求x+4y的平方根．





二、课堂小结

二次根式的概念
一般地，我们把形如的式子叫作___________. “”称为二次根号，根指数为_____,可省略.
二次根式有意义的条件

被开方数（式）为_________,即有意义 a≥0.
二次根式的性质1
一个非负数的算术平方根的平方等于它________，即
二次根式的性质2
一个数的平方的算术平方根等于它的_____,即
二次根式的非负性
双重非负性：
当堂检测
1.下列式子中，不属于二次根式的是（ ）

2.式子有意义的条件是 （ ）
A. x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3. 化简：
B. （1）＝_______ ; （2）＝_______;
C. （3）_____; （4）_______.
4.当x=____时，二次根式取最小值，其最小值为____．
5.实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是________.

6.利用a ＝（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)；(6)0 .




拓展提升
7. 若二次根式有意义，求m的取值范围．



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参考答案
自主学习
一、知识链接
1. 解：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.
2. 解：若一个非负数的平方等于a，即x²=a(a≥0)，则这个数x叫做a的算术平方根.非负数才有算术平方根.
二、新知预习
1. (1) （2） （3）
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题1： 解：分别表示2，S,3,的算数平方根.
问题2： 解：①根指数都为2,；②被开方数为非负数.
【要点归纳】 二次根式
【典例精析】
例1 解：（1）（4）（6）是二次根式，（2）（3）（5）（7）不是二次根式.
例2 解：（1）x＞1. （2）x≥-3且x≠1.
【针对训练】
1. B 2.(1) x≥1 (2) _x≥0且x≠2
探究点2：的性质
【典例精析】
例3 解：（1）原式=. （2）原式=.
【针对训练】解：（1）原式=5 . （2）原式=8.
探究点3：的性质
议一议: 1. 4 0.2 20 a
2. 4 0.2 20 -a
3. 0 a
【要点归纳】a -a
探究点4：二次根式的双重非负性
问题1：解：x均可取任意实数 .
问题2：解：a≥0，被开方的数大于等于0
【要点归纳】≥ ≥
【典例精析】
例4 解：由题意得a-2=0,b-3=0,c-4=0，∴a=2，b=3，c=4.则a-b+c=3.
例5 解： ∵x-3≥0，3-x≥0，∴x=3，y=8.∴3x+2y=25,∴3x+2y的算术平方根为5.
【针对训练】
解：∵|3x-y-1|+=0，∴解得∴x+4y=9，∴x+4y的平方根为±3．
二、课堂小结
二次根式 2 非负数 本身 绝对值
当堂检测
1. C 2. A
3. （1）3 （2）4 （3）7 （4）81
4. 0 5. 1
6.解：(1) 9=（）2；(2)5=（）2；(3)2.5=（）2；
(4)0.25=（）2；(5)=（）2；(6)0=（）2 .
7.解 :由题意，得即解得∴m＞2.