初中数学华东师大版（2024）九年级上册一元二次方程学案

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册一元二次方程学案，共29页。学案主要包含了华东师大版，变式 1-1，变式 1-2，变式 1-3，变式 2-1，变式 2-2，变式 2-3，变式 3-1等内容，欢迎下载使用。
专题 22.1
一元二次方程（举一反三讲义）
【华东师大版】
【题型 1 识别一元二次方程】
【题型 2 根据一元二次方程的定义求值】
【题型 3 根据一元二次方程的一般形式求系数】
【题型 4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】 【题型 5 根据一元二次方程的解代入求值】
【题型 6 根据一元二次方程的解降次求值】 【题型 7 由实际问题抽象出一元二次方程】
【题型 8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】
知识点 1 一元二次方程的定义
1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次) 的方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程必须同时满足三个条件：是整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次 数是 2.
例如： ，x2 +1 ，x2 + y - 3 = 0 ，x3 - 3x + 8 = 0 ，(x -1)(x - 2) = x2 -1 均不是一元二 次方程.
知识点 2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式是ax2 + bx + c = 0( a ≠ 0 )，其中ax2 是二次项，a 是二次项系数; bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.
2.（1）a ≠ 0 是一元二次方程一般形式的重要条件，但是 b ，c 可以为 0；（2）任何一个一元 二次方程都可以化成一般形式；（3）一元二次方程的各项都包含它前面的符号.
3.一元二次方程的特殊形式.
（1)当 b=0 时，得ax2 + c = 0( a ≠ 0 )；
（2)当 c=0 时，得ax2 + bx = 0 ( a ≠ 0 )；
（3)当 b=0 且 c=0 时,得ax2 = 0 (a ≠ 0 ).
知识点 3 一元二次方程的解（根）
1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根.
2.一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根. 若x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + bx + c = 0( a ≠ 0 )的两个实数根，则下列两个等式成立，并可
利用这两个等式求解未知参数：ax12 + bx1 + c = 0 ( a ≠ 0 ) ，ax22 + bx2 + c = 0 ( a ≠ 0 ). 【题型 1 识别一元二次方程】
【例 1】（24-25 九年级上·山东潍坊·期末）
1 ．下列四个方程① x2 - 9 = 0 ； ② (2x +1)(2x -1) = 0 ； ③ x2 = 0 ； 中， 不是一元二次方程的是( )
A ．① B ．② C ．③ D ．④ 【变式 1-1】（24-25 九年级上·四川南充·阶段练习）
2 ．下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是( )
A ． B ．ax2 + bx + c = 0
C ．x2 + x - 2 = 0 D ．3x - 2xy + 5y2 = 0 【变式 1-2】（24-25 八年级下·广西梧州·期中）
3 ．下列各式中，不是一元二次方程的是( )
A ．2x2 + 1 = 0 B ．x - 2y - 3 = 0 C ．2x2 = 0 D ．y2 - 3y + 4 = 0
【变式 1-3】（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
4 ．下列方程是一元二次方程的有( )
①3x2 - x = 0 ；② ax2 + bx + c = 0 ；③ ④2x2 -1 = (x -1)(x - 2) ；⑤ (5x - 2)(3x - 7) = 15x2
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
【题型 2 根据一元二次方程的定义求值】 【例 2】（24-25 九年级上·江苏无锡·期中）
5 ．已知关于 x 的方程(m +1)x4m -2 + 27mx + 5 = 0 是一元二次方程，则m = ．
【变式 2-1】（24-25 八年级下·江苏盐城·期中）
6 ．若方程ax2 - x + 5 = 0 是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围为( )
A ．a ≠ 0 B ．a > 3 C ．a = 0 D ．a ≥ 0
【变式 2-2】（24-25 八年级下·山东东营·阶段练习）
7 ．若方程(a +1)x3a2 -1 = 0 是关于x 的一元二次方程，则a = ． 【变式 2-3】（24-25 八年级下·江苏南通·阶段练习）
8 ．若关于 x 的一元二次方程(m - 1)x2 - 2x + m2 - 1 = 0 有一个解是 0，则 m =
【题型 3 根据一元二次方程的一般形式求系数】 【例 3】（24-25 九年级上·河南商丘·期中）
9．方程(3x +1)(x -1) = 5 整理成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数与一次项系数 的比值是 ．
【变式 3-1】（24-25 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）
10 ．关于x 的一元二次方程3x2 - 5x + 2 = 0的二次项系数，一次项系数和常数项分别为( )
A ．3, -5, -2 B ．3, -5x, 2 C ．3, 5x, -2 D ．3, -5, 2
【变式 3-2】（24-25 九年级上·贵州贵阳·期中）
11 ．方程x2 + 4x - 1 = x + 5化为一般形式后，一次项系数和常数项分别为( )
A ．1 和 3 B ．1 和-6 C ．3 和-6 D ．3 和 4
【变式 3-3】（24-25 九年级上·湖南郴州·阶段练习）
12 ．写出一个二次项系数为 1 ，一次项系数为-3 ，常数项为 -4 的一元二次方程 是 ．（用一般形式表示）
【题型 4 根据一元二次方程各系数的值求字母的值】 【例 4】（24-25 八年级下·山东烟台·期中）
13 ．关于 x 的一元二次方程mx2 + mx = 3x +12 中不含 x 的一次项，则此方程的解为 ． 【变式 4-1】（24-25 八年级下·北京西城·阶段练习）
14 ．关于 x 的一元二次方程(m -1)x2 + 5x + m2 -1 = 0 的常数项为 0，则 m 的值为( )
A ．1 B ．-1 C ．2 D ． ±1
【变式 4-2】（24-25 九年级上·河南洛阳·期中）
15 ．若关于x 的一元二次方程3x2 + x - 2 = ax(x - 2) 化成一般形式后，其二次项系数为 1，常
数项为-2 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【变式 4-3】（24-25 九年级上·四川广元·期中）
16．若关于的一元二次方程2x2 - (m +1)x = x (x +1) 化成一般形式后二次项的系数为1 ，一次 项的系数为-1，则 m 的值为 ．
【题型 5 根据一元二次方程的解代入求值】 【例 5】（24-25 八年级下·吉林·阶段练习）
17 ．若x = 4 是关于x 的方程ax2 - bx - 8 = 0 的解，则2025 - 8a + 2b 的值为 ． 【变式 5-1】（24-25 八年级下·安徽六安·阶段练习）
18 ．已知 a 是方程x2 + 3x - 1 = 0 的一个根，则(a + 4)(a -1) 的值为( )
A ．1 B ．3 C ．-3 D ．-5
【变式 5-2】（24-25 九年级上·湖南长沙·期中）
19 ．若 m 是方程x2 - 3x -1 = 0的一个根，则-2m2 + 6m + 19 的值为 ． 【变式 5-3】（24-25 九年级上·河南新乡·阶段练习）
20 ．已知m 是方程x2 + x -1 = 0 的一个根，则代数式(m + 1)2 + (m + 1)(m - 1) 的值为 ．
【题型 6 根据一元二次方程的解降次求值】 【例 6】（2025·重庆·一模）
21 ．已知 m 为方程x2 + x - 3 = 0的一个根，则代数式m3 + 2m2 - 2m + 6 的值为 ． 【变式 6-1】（24-25 九年级上·广东湛江·阶段练习）
22 ．如果a 是一元二次方程x2 = 3x - 2 的根，则代数式a2 - 3a + 2024 的值为( )
A ．2021 B ．2022 C ．2023 D ．2024
【变式 6-2】（24-25 八年级下·重庆·期末）
23 ．若 a 是方程x2 + x - 4 = 0 的一个根，则a3 + 2a2 - 3a + 7 的值为 【变式 6-3】（24-25 八年级上·上海徐汇·阶段练习）
24 ．已知 a 是关于 x 的一元二次方程x2 - x -11 = 0 的一个根，则 的值等 于 ．
【题型 7 由实际问题抽象出一元二次方程】 【例 7】（24-25 八年级下·浙江杭州·期中）
25 ．某公司今年一月的营业额为200 万元，按计划第一季度的总营业额要达到950 万元，求
该公司二、三两个月营业额的月平均增长率．设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率 为x ，则根据题意可列方程为( )
A ． B ．200 (1＋x )2 = 950
C ． D ．950 (1+ x )2 = 200
【变式 7-1】（24-25 八年级下·上海崇明·期中）
26．联欢会上，每位同学向其他同学赠送 1 件礼物，结果共有互赠礼物 870 件，求参加联欢 会的同学人数，设参加联欢会的同学有 x 人，那么可列出方程 ．
【变式 7-2】（24-25 九年级上·贵州贵阳·期中）
27 ．如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为 60m，宽为 40m 的矩形空地上，修建一 个矩形花圃，并将花圃四周余下的空地建成同样宽的通道．若通道所占面积是整个矩形空地
面积的 ，则此时通道的宽为 ．
【变式 7-3】（24-25 八年级下·重庆北碚·期中）
28 ．哪吒的乾坤圈工坊以每个 30 灵石的进价购入一批迷你风火轮，并以每个 50 灵石售出， 每日可售出 80 个．据调查发现，每个迷你风火轮的售价每降低 2 灵石，每日可多售出 10 个， 若哪吒希望单日盈利达 4000 灵石，则需将售价降低多少灵石？若设降价x 灵石，则列出方
程为( )
C ．(50 - x - 30)(80 +10x) = 4000 D ．(50 - 2x - 30)(80 +10x) = 4000
【题型 8 根据一元二次方程的解求另一方程的解】 【例 8】（24-25 九年级上·福建泉州·期中）
29 ．若关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (ac ≠ 0) 有一根为x =2024 ，则关于y 的一元二 次方程cy2 + by + a = 0 (ac ≠ 0) 必有一根为( )
A ．2024 B ．-2024 C ． D ．
【变式 8-1】（24-25 八年级下·浙江绍兴·阶段练习）
30 ．若关于 x 的方程(x + h)2 + k = 0 （h ，k 均为常数）的解是 x1 = -3 ，x2 = 2 ，则关于 x 的 方程(x + h - 3)2 + k = 0 的解是 ．
【变式 8-2】（24-25 九年级上·辽宁营口·期中）
31 ．若关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + 2 = 0 (a ≠ 0) 有一根为x =2022 ，则一元二次方程 a (x +1)2 + bx + b = -2 必有根为( ).
A ．2023 B ．2020 C ．2021 D ．2022
【变式 8-3】（24-25 八年级下·山东烟台·期中）
32 ．若关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + 2 = 0(a ≠0) 有一根为x =2025 ，则一元二次方程 a (x -1)2 + bx + 2 = b 必有一根为( )
A ．2024 B ．2025 C ．2026 D ．2027
1 ．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是 2；二次项系数不为 0；是整式方程；含有 一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：① x2 - 9 = 0是一元二次方程；
② (2x +1)(2x -1) = 0 ，即 4x2 - 1 = 0是一元二次方程；
③ x2 = 0 是一元二次方程；
是无理方程，不是一元二次方程， 故选：D．
2 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注 意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是 2 的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：A ．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意；
B ．a = 0 时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
C ．是一元二次方程，故该选项符合题意；
D ．含有 2 个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C．
3 ．B
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A ．2x2 + 1 = 0是一元二次方程，故选项不符合题意；
B ．x - 2y - 3 = 0 是二元一次方程，故选项符合题意；
C ．2x2 = 0 是一元二次方程，故选项不符合题意；
D ．y2 - 3y + 4 = 0 是一元二次方程，故选项不符合题意． 故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方 程叫做一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
4 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注 意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方
程．根据一元二次方程的定义即可解答．
【详解】解：①3x2 - x = 0 是一元二次方程；
② ax2 + bx + c = 0，当a =0, b ≠ 0 时是一元一次方程，不是一元二次方程；
是分式方程，不是一元二次方程；
④2x2 -1 = (x -1)(x - 2)，整理得：x2 + 3x - 3 = 0 是一元二次方程；
⑤ (5x - 2)(3x - 7) = 15x2 ，整理得：-41x +14 = 0 是一元一次方程，不是一元二次方程； 则共有 2 个，
故选：B．
5 ．1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出m +1 ≠ 0 且 4m - 2 = 2 ，再求出答案即可．
【详解】解：∵关于 x 的方程(m +1)x4m -2 + 27mx + 5 = 0 是一元二次方程，
: m +1 ≠ 0 且4m - 2 = 2 ， 解得：m = 1，
故答案为：1．
6 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键 是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2 的整式方程， 叫做一元二次方程，熟记一般形式为ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)．
【详解】解：方程 ax2 - x + 5 = 0 是关于x 的一元二次方程，
: a ≠ 0 ，
故选：A ．
7 ．1
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得3a2 -1 = 2 且a +1≠ 0 ，解之即可求解， 掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵方程(a +1)x3a2 -1 = 0 是关于x 的一元二次方程， : 3a2 -1 = 2 且a +1≠ 0 ，
: a = 1，
故答案为：1．
8 ．-1
【分析】本题考查了一元二次方程的解和解一元二次方程，正确求出 m 的值是关键，注意 二次项系数不为 0；
把x =0 代入原方程可得关于 m 的方程，解方程即可得解，注意m -1 ≠ 0 .
【详解】解：:关于 x 的一元二次方程(m - 1)x2 - 2x + m2 - 1 = 0 有一个解是 0，
: m2 -1 = 0 且m -1 ≠ 0 ， 解得：m = -1；
故答案为：-1 .
9 ．
【分析】根据一元二次方程的一般形式为ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其中 a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 及其相关概念，熟练掌握定义是 解题的关键．
【详解】解：由 (3x +1)(x -1) = 5 ， 得3x2 - 2x - 6 = 0 ，
:二次项系数为 3 ，一次项系数为-2 ，
二次项系数与一次项系数的比值是- ．
故答案为： ．
10 ．D
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，理解并掌握一元二次方程的概念及一元二次方程 的一般式是关键．
根据一元二次方程的概念及一般式“ ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ”判定即可．
【详解】解：关于x 的一元二次方程3x2 - 5x + 2 = 0的二次项系数，一次项系数和常数项分
别为3, -5, 2 ， 故选：D ．
11 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，根据ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，x2 + 4x - 1 = x + 5移项整理得， x2 + 3x - 6 = 0 ，
:一次项系数和常数项分别为 3 和-6 ．
故选：C ．
12 ．x2 - 3x - 4 = 0
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般式：
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，其中二次项系数为a ，一次项系数为b ，常数项为c ，进行作答即可． 【详解】解：由题意，可得方程为：x2 - 3x - 4 = 0 ；
故答案为：x2 - 3x - 4 = 0 ．
13 ．x1 = 2, x2 = -2
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解一元二次方程，理解一元二次方程的基本定义是 解题关键．根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数，解方程即可．
【详解】解：:一元二次方程mx2 + mx = 3x +12 中不含 x 的一次项， 即mx2 + (m - 3)x =12 不含 x 的一次项，
: m - 3 = 0 ， : m = 3 ，
:原方程为3x2 = 12 ， 解得：x1 = 2, x2 = -2 ，
故答案为：x1 = 2, x2 = -2 ．
14 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是正确计算常数项为 0 的值，利用一 元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：由题意得 ，
解得m = -1， 故选：B．
15 ．5
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得
(3 - a )x2 + (1+ 2a )x - 2 = 0 ，然后根据题意可得3 - a = 1 ，从而可得：a = 2 ，再把 a 的值代入 1+ 2a 中，进行计算即可解答．
【详解】解：3x2 + x - 2 = ax(x - 2) ，
3x2 + x - 2 = ax2 - 2ax ，
3x2 - ax2 + x + 2ax - 2 = 0 ，
(3 - a )x2 + (1+ 2a )x - 2 = 0 ， 由题意得：3 - a = 1 ，
解得：a = 2 ，
:该方程中的一次项系数= 1+ 2a = 1+ 2 × 2 = 5 ， 故答案为：5．
16 ．-1
【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，先把方程化成一般式，再根据题意解答即可求 解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．
【详解】解：2x2 - (m +1)x = x (x +1)，
2x2 - (m +1)x - x (x +1) = 0 ， 2x2 - (m +1)x - x2 - x = 0 ， x2 - (m + 2)x = 0 ，
:化成一般形式后二次项的系数为1 ，一次项的系数为-1，
:- (m + 2) = -1， : m = -1，
故答案为：-1．
17 ．2021
【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是正确理解方程的解即为能使方程两边 相等的未知数的值．
先把x = 4 代入ax2 - bx - 8 = 0 得4a - b = 2 ，通过等式变形2025 - 8a + 2b = 2025 - 2 (4a - b)， 再整体代入即可求解．
【详解】解：∵ x = 4 是关于x 的方程ax2 - bx - 8 = 0 的解， :16a - 4b - 8 = 0 ，整理得：4a - b = 2 ，
:2025 - 8a + 2b = 2025 - 2 (4a - b) = 2025 - 2 × 2 = 2021， 故答案为：2021．
18 ．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据 a 是方 程x2 + 3x - 1 = 0 的一个根，可得出a2 + 3a = 1，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵a 是方程x2 + 3x - 1 = 0 的一个根， : a2 + 3a = 1
: (a + 4)(a -1) = a2 + 4a - a - 4 = a2 + 3a - 4 = 1- 4 = -3 故选：C．
19 ．17
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义 是解题的关键．
根据一元二次方程根的定义可得m2 - 3m -1 = 0，即 m2 - 3m = 1，整体代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ m 是方程x2 - 3x -1 = 0的一个根，
: m2 - 3m -1 = 0，即 m2 - 3m = 1， :-2m2 + 6m + 19
= -2(m2 - 3m)+19
= -2 +19 = 17 ．
故答案为：17 ．
20 ．2
【分析】本题考查代数式求值， 涉及一元二次方程的根、完全平方和公式、平方差公式等知 识，先由一元二次方程根的定义得到m2 + m = 1，再由整式混合运算化简代数式得到
2 (m2 + m)，将m2 + m = 1代入求值即可得到答案，熟练掌握整式化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：Q m 是方程x2 + x -1 = 0 的一个根，
: m2 + m - 1 = 0 ，则 m2 + m = 1 ， : (m + 1)2 + (m + 1)(m - 1)
= m2 + 2m + 1+ m2 - 1
= 2m2 + 2m
= 2 (m2 + m)
= 2 ，
故答案为：2 ．
21 ．9
【分析】本题考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是运用整体代入思想进行解 题．先将 m 代入方程得m2 + m = 3，再将 m2 + m = 3代入m2 (m + 2) - 2(m - 3) 变形后的式子 进行化简求值即可．
【详解】解：根据题意得：m2 + m = 3 ， Q m3 + 2m2 - 2m + 6
= m3 + m2 + m2 - 2m + 6
= m (m2 + m)+ m2 - 2m + 6
= 3m + m2 - 2m + 6
= m2 + m + 6
= 3 + 6
= 9 ．
故答案为：9．
22 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入法求代数式的值，准确熟练地进行计算是 解题的关键．根据一元二次方程的解的意义可得a2 = 3a - 2 ，从而可得a2 - 3a = -2 ，然后代 入式子中进行计算，即可解答．
【详解】解：∵a 是一元二次方程x2 = 3x - 2 的根，
: a2 = 3a - 2 ， : a2 - 3a = -2 ，
: a2 - 3a + 2024 = -2 + 2024 = 2022 ， 故选：B．
23 ．11
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据一元二次方程的解的定义把x = a
代入方程得到a2 + a - 4 = 0 ，然后根据等式的性质易得 a2 + a = 4 ，代入原式即可解答． 【详解】解：∵a 是方程x2 + x - 4 = 0 的一个根，
: a2 + a - 4 = 0 ， : a2 + a = 4 ，
: a3 + 2a2 - 3a + 7
= a(a2 + a)+ a2 - 3a +7 = 4a + a2 - 3a +7
= a2 + a + 7
= 4 + 7
= 11，
故答案为：11．
24 ．
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边 相等的未知数的值得到a2 - a - 11 = 0 ，进而得到a2 - a = 11，a2 - 11= a ，再把所求式子转化
为 据此整体代入求解即可．
【详解】解：∵a 是关于 x 的一元二次方程x2 - x -11 = 0 的一个根，
: a2 - a - 11 = 0 ，
: a2 - a = 11，a2 - 11 = a ，

故答案为： ．
25 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设该公司二、三两个月营业额的月平均增长 率为x ，则二月份公司的营业额为200(1+ x)万元，三月份公司的营业额为200(1+ x )2 万元， 根据第一季度的总营业额包括一月、二月、三月的营业额总和，可列方程
【详解】解：设该公司二、三两个月营业额的月平均增长率为 x ， 则二月份公司的营业额为200(1+ x)万元，
三月份公司的营业额为200(1+ x )2 万元，
Q 第一季度的总营业额要达到950 万元， :200 + 200(1+ x )+ 200(1+ x )2 = 950 ， 即
故选：A．
26 ．x (x -1) = 870
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有 x 人，则每人 送出(x -1) 件礼物，根据共送礼物 870 件可列出方程．
【详解】解：设参加联欢会的同学有 x 人，则每人送出(x -1) 件礼物， 由题意得，x (x -1) = 870 ．
故答案为：x (x -1) = 870 ．
27 ．5m
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，
先设通道的宽为xm ，再根据花圃面积所占整个矩形空地面积的 列出方程，求出解即 可.
【详解】解：设通道的宽为xm ，根据题意，得
解得x1 = 5, x2 = 45 （舍去），
所以通道的宽为5m .
故答案为：5m .
28 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设降价x 灵石，则每个迷你风火轮的利
润为(50 - -x30) 元，销售量为(çè 80 + × 10÷个，再根据总利润为 4000 灵石列出方程即可．
【详解】解：由题意得，(50 - x - 30)(çè 80 + × 10 = 4000 ， 故选：B．
29 ．C
【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题 型．
因为x = 2024 满足方程ax2 + bx + c = 0，所以 20242 a + 2024b + c = 0 ，两边同时除以 20242 即 可确定所求方程的一个根．
【详解】解：把 x = 2024 代入一元二次方程ax2 + bx + c = 0，得 20242 a + 2024b + c = 0 ， 两边除以20242 ，得
: 是一元二次方程cy2 + by + a = 0 (ac ≠ 0) 的一根， 故选：C．
30 ．x = 0 或x = 5
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，把方程(x + h - 3)2 + k = 0 中的x - 3 看做一个整体， 根据方程(x + h)2 + k = 0 的解的情况建立方程求解即可．
【详解】解：∵关于 x 的方程(x + h)2 + k = 0 （h ，k 均为常数）的解是 x1 = -3 ，x2 = 2 ， :关于 x 的方程(x + h - 3)2 + k = 0 的解满足x - 3= -3 或x - 3 = 2 ，
解得x = 0 或x = 5 ，
故答案为：x = 0 或x = 5 ．
31 ．C
【分析】把 a (x +1)2 + bx + b = -2 整理为a (x +1)2 + b(x +1) + 2 = 0 ，即可进行解答． 【详解】解：把 a (x +1)2 + bx + b = -2 整理为a (x +1)2 + b(x +1) + 2 = 0 ，
令x +1 = A ，
则aA2 + bA + 2 = 0 ，
∵关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + 2 = 0 (a ≠ 0) 有一根为x = 2022 ， : A = 2022 ，
: x +1 = 2022 ，解得：x = 2021， 故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边 相等的未知数的值是一元二次方程的解．
32 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一 元二次方程的解．由于关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + 2 = 0（a ≠ 0）有一根为x =2025 ，则 把方程a (x -1)2 + b(x -1) + 2 = 0 看作关于(x -1) 的一元二次方程时有x -1 = 2025 ，解得
x = 2026 ，于是可判断一元二次方程a (x -1)2 + b(x -1) + 2 = 0 必有一根为x = 2026 ．
【详解】解：∵ a (x -1)2 + bx + 2 = b ， : a (x -1)2 + b(x -1) + 2 = 0 ；
∵ x = 2025 是ax2 + bx + 2 = 0(a ≠ 0) 的一个根，
: x -1 = 2025 也是a (x -1)2 + b(x -1) + 2 = 0 的一个根， 即x = 2025 +1 = 2026 ，
故选：C．