初中数学华东师大版（2024）九年级上册21.1 二次根式精品学案设计

这是一份初中数学华东师大版（2024）九年级上册21.1 二次根式精品学案设计，文件包含专题212二次根式的乘除八大题型举一反三华东师大版原卷版docx、专题212二次根式的乘除八大题型举一反三华东师大版解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共23页， 欢迎下载使用。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc17922" 【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 PAGEREF _Tc17922 \h 1
\l "_Tc12513" 【题型2 二次根式乘除法混合运算】 PAGEREF _Tc12513 \h 3
\l "_Tc17041" 【题型3 最简二次根式的辨别】 PAGEREF _Tc17041 \h 6
\l "_Tc1355" 【题型4 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc1355 \h 8
\l "_Tc18856" 【题型5 由最简二次根式的概念求值】 PAGEREF _Tc18856 \h 9
\l "_Tc15136" 【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】 PAGEREF _Tc15136 \h 10
\l "_Tc15998" 【题型7 由积的算术平方根的性质进行化简】 PAGEREF _Tc15998 \h 12
\l "_Tc12996" 【题型8 二次根式的乘除运算的实际应用】 PAGEREF _Tc12996 \h 14
知识点1：二次根式的乘除
①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（23-24·四川绵阳·一模）若等式(x-1)(x+2)=x-1⋅x+2成立，则字母x应满足条件（ ）
A．x≥0B．x≥-2C．-2≤x≤1D．x≥1
【变式1-1】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）若xx-4=xx-4在实数范围内成立，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≥4C．0≤x<4D．x>4
【变式1-2】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）当x≤2时，下列等式一定成立的是（ ）
A．x-22=x-2B．x-32=x-3
C．x-2x-3=2-x⋅3-xD．3-x2-x=x-3x-2
【变式1-3】（23-24九年级下·山东日照·期中）要使等式x-3⋅x+1=0成立的x的值为 ．
【题型2 二次根式乘除法混合运算】
【例2】（23-24九年级下·全国·专题练习）计算：
(1)23334×-945；
(2)13×112÷-318．
(3)6aa2b5÷-2a3b×ba．
【变式2-1】（23-24九年级下·辽宁大连·期中）计算：
(1)4+74-7；
(2)12×6÷3．
【变式2-2】（23-24九年级下·安徽铜陵·期中）化简：2316a÷-23ab×164b(a>0，b>0)
【变式2-3】（23-24九年级下·福建福州·阶段练习）计算：
(1)3220×-1348÷223；
(2)3a2b⋅b2a÷213b．
知识点2： 最简二次根式
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型3 最简二次根式的辨别】
【例3】（23-24九年级下·河南驻马店·阶段练习）在二次根式13，48，x2+y2，0.5，3x2中，最简二次根式的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式3-1】（23-24九年级下·河南新乡·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．13B．12C．0.25D．5
【变式3-2】（23-24九年级下·山西吕梁·期中）请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是 ．
【变式3-3】（23-24九年级上·上海青浦·期中）在a2-b2、x3、y5、8中最简二次根式是 ．
【题型4 化为最简二次根式】
【例4】（23-24九年级上·河南鹤壁·期中）将632化为最简二次根式，其结果是（ ）
A．632B．1262C．9142D．3142
【变式4-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）将 1.5化为最简二次根式为 ．
【变式4-2】（23-24九年级下·河南新乡·阶段练习）若y>0，则二次根式 -81x3y3化为最简二次根式为 ．
【变式4-3】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期末）当a<0,b<0时，ab化为最简二次根式的结果是（ ）
A．1babB．-1babC．-1b-abD．bab
【题型5 由最简二次根式的概念求值】
【例5】（2019·山东聊城·一模）已知二次根式23-a与8化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（ ）
A．23B．21C．15D．5
【变式5-1】（23-24九年级上·河南南阳·期末）若m+2是最简二次根式，则m的值可以是 ．（写出一个即可）
【变式5-2】（23-24九年级下·山东烟台·期中）若a-12a+5与3b+a是被开方数相同的最简二次根式，ab= .
【变式5-3】（23-24九年级下·河南南阳·阶段练习）若2m+n-2和33m-2n+2都是最简二次根式，则mn= ．
【题型6 将根号外的因式（数）移到根号内】
【例6】（23-24九年级下·山东聊城·期中）把a-b-1a-baA．b-aB．a-bC．-b-aD．-a-b
【变式6-1】（23-24九年级·全国·假期作业）把4234根号外的因式移进根号内，结果等于（ ）
A．-11B．11C．-44D．44
【变式6-2】（23-24九年级下·山东烟台·期中）将-a-a 中的a移到根号内，结果是（ ）
A．-a-a3B．-a3C．-a3D．a3
【变式6-3】（23-24九年级下·江苏·课后作业）把下列根号外的因式移到根号内.
(1)a1a;
(2)xyx-y·x2-2xy+y2xy(x>y>0);
(3)ab1a-1b(0【题型7 由积的算术平方根的性质进行化简】
【例7】（23-24九年级上·全国·课后作业）计算(-7)2×16×2的结果是( )
A．732B．-732C．282D．-282
【变式7-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）化简二次根式(-5)2×3的值为( )
A．-53B．53C．±53D．75
【变式7-2】（23-24九年级下·宁夏固原·阶段练习）观察并分析下列数据，寻找规律：3，-6，3，-23，15，-32，…，那么第10个数据是 ．
【变式7-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）先化简，再求值：a+b+c2a+b+c2-aa+b+c2-ba+b+c2-c，其中a=2，b=2，c=3．
【题型8 二次根式的乘除运算的实际应用】
【例8】（23-24九年级下·广西百色·期中）【综合与实践】
摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：T=2πlg，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)，g=9.8m / s2，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：3≈1.73，5≈2.24)
【思考填空】
（1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”)
【实践与计算】
（2）若一个摆钟的摆线长为0.49m，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声；
（3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长．
【变式8-1】（23-24·云南昆明·三模）无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不枯竭，无穷无尽，数学家称其是一种特殊的数．若某矩形的长为6，宽为3，则这个矩形面积的值大约在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【变式8-2】（23-24九年级下·广西南宁·期中）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=2hg（不考虑风速的影响，g≈10N/kg）
(1)求从45m高空抛物到落地的时间；
(2)已知高空拋物动能（单位：J）=10（单位：Nkg）×物体质量（单位:kg）×高度（单位：m），某质量为0.2kg的玩具在高空被抛出后经过4s后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
【变式8-3】（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）秦九韶（1208年-1268年），南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积s=p(p-a)(p-b)(p-c)．
(1)在三角形ABC中，BC=7,AC=8,AB=9，用上面的公式计算三角形ABC的面积；
(2)一个三角形的三边长分别为a、b、c,s=p=15,a=10，求bc的值．