高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理教案设计，共4页。教案主要包含了类比猜想，操作确认，形成定理，总结提升，布置作业等内容，欢迎下载使用。
课例编号
2020QJ11SXRA003
学科
数学
年级
高二
学期
上
课题
空间向量基本定理（1）
教科书
书名：普通高中教科书 数学 选择性必修 第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期：2020年 5月
教学人员
姓名
单位
授课教师
王琦
北京市第五中学
指导教师
雷晓莉
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：了解空间向量基本定理及其意义．
教学重点：空间向量基本定理．
教学难点：空间向量基本定理．
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
一、类比猜想
1.复习平面向量基本定理的内容：
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
2.类比平面向量基本定理的功能，提出问题1.
问题1 空间中的任意向量能不能通过有限个向量的线性运算来表示呢？
通过几个追问引导学生猜想空间基底中基向量的个数.
追问1 为了表示空间中的任意向量，我们至少需要几个向量？
追问2 两个不共线的向量还够用吗？
意图：说明至少需要三个向量。
追问3 任给三个向量都可以表示空间中的任意向量吗？
意图：说明当三个向量共面时无法表示与其不共面的向量，因而三个基向量必须要求不共面。
二、操作确认
1.当给定的三个向量两两垂直时，验证任意给定的空间向量是否可以表示为给定三个向量的线性组合。
（1）几何做图验证：说明分解方法
（2）GGB软件验证：验证任意存在唯一性
2.当给定的三个不共面向量不满足两两垂直时，验证任意给定的空间向量是否可以表示为给定三个向量的线性组合。
（1）几何做图验证：类比两两垂直的情况说明分解方法

（2）GGB软件验证：验证任意存在唯一性
三、形成定理
1.类比表述空间向量基本定理
问题2 你能类比平面向量基本定理的表述，写出空间向量基本定理吗？
逐句对比平面向量基本定理的表述，形成空间向量基本定理.
如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一的有序实数组 (x，y，z)，使得
p＝xa＋yb＋zc．
那么，所有空间向量组成的集合就是{ p | p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}．
2.给出基底相关概念
我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底(base)，a，b，c 都叫做基向量(base vectrs)．
问题3 空间的基底有多少个，需要满足什么条件？
意图：说明任意三个不共面的向量都能构成空间的一个基底．空间的基底有无穷多个．
总结出“{a，b，c}是空间的一个基底，当且仅当a，b，c不共面．”
3.由一般到特殊给出单位正交基底以及正交分解的定义
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 a，均可以分解为三个向量 xi，yj，zk，使 a＝xi＋yj＋zk．
像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
四、总结提升
问题4 平面向量基本定理与空间向量基本定理的联系与区别是什么？
意图：引导学生发现基底中向量个数与空间维数之间的联系，并将一维情形也纳入知识体系.
五、布置作业
教材第12页第3题和第15页第3题.