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高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理导学案及答案
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这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理导学案及答案，共18页。学案主要包含了共面向量定理，空间向量基本定理，空间向量基本定理的应用等内容，欢迎下载使用。
导语
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》，它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程．
联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，给出一组三维的基底，是否可以生成空间中的所有向量．通过今天的学习，我们一起去寻找答案．
一、共面向量定理
问题1 共线向量基本定理的内容是什么？它适用于空间向量吗？
提示 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，它适用于空间向量．
知识梳理
1．共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使b＝λa.
2．共面向量定理：
(1)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).
注意点：(1)eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，则A，B，C，D四点不一定共线．
(2)若P，A，B，C四点共面，对于空间中的任意一点O，有eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝1，反之亦成立．
例1 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE.求证：向量eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))共面．
证明 因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD，
所以eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
同理eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(DE,\s\up6(→))))
＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
又eq \(CD,\s\up6(→))与eq \(DE,\s\up6(→))不共线，根据共面向量定理可知eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))共面．
反思感悟 证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．
跟踪训练1 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，判断eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面．
解 eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量共面．
因为eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，
所以3eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
化简，得(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＝0，
即eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，即eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
故eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
二、空间向量基本定理
问题2 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝eq \(OP,\s\up6(→))，p 能否用i，j，k表示呢？
提示 如图，设eq \(OQ,\s\up6(→))为eq \(OP,\s\up6(→))在i，j所确定的平面上的投影向量，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→)).
又向量eq \(QP,\s\up6(→))，k共线，因此存在唯一的实数z，使得eq \(QP,\s\up6(→))＝zk，从而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋zk.
在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq \(OQ,\s\up6(→))＝xi＋yj.
从而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋zk＝xi＋yj＋zk.
问题3 你能证明唯一性吗？
提示 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
两边同除以(x′－x)，得i＝eq \f(y－y′,x′－x)j＋eq \f(z－z′,x′－x)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
知识梳理
空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
①若xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0.
②表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
③如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，a，b，c组成的集合{a，b，c}称为空间向量的一组基底．此时a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
例2 (1)已知{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且eq \(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一组基底．
解 假设eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))共面．
则存在实数λ，μ使得eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1，))此方程组无解，
∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共面，
∴{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一组基底．
(2)如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OC,\s\up6(→))＝b，eq \(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC，PB的中点．
试用基底{a，b，c}表示：eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→)).
解 连接BO(图略)，则eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(c－b－a)＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)eq \(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)(eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq \f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a.
反思感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的数乘运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
跟踪训练2 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(ND,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1D,\s\up6(—→)).设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，试用a，b，c表示eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(MD1,\s\up6(→)).
解 连接AN(图略)，则eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→)).
由ABCD是平行四边形，得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b，
则eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)．
又eq \(A1D,\s\up6(—→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))＝b－c，
故eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(ND,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(A1D,\s\up6(—→))
＝b－eq \f(1,3)(b－c)．
故eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)＋b－eq \f(1,3)(b－c)
＝eq \f(1,3)(－a＋b＋c)．
连接AD1(图略)，则eq \(MD1,\s\up6(—→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AD1,\s\up6(—→)).
eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)，eq \(AD1,\s\up6(—→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝b＋c，
故eq \(MD1,\s\up6(—→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AD1,\s\up6(—→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)＋b＋c
＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b＋c.
三、空间向量基本定理的应用
例3 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°.
(1)求eq \(AD1,\s\up6(—→))·eq \(A1B,\s\up6(—→))；
(2)求eq \(AC1,\s\up6(—→))的模．
解 如图，令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
∴{a，b，c}为一组基底．
(1)∵eq \(AD1,\s\up6(—→))＝b＋c，
eq \(A1B,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a－c，
∴eq \(AD1,\s\up6(—→))·eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(b＋c)·(a－c)
＝a·b＋a·c－b·c－c2
＝1×1×cs 60°＋1×1×cs 60°－1×1×cs 60°－1
＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2).
(2)∵eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))，
∴eq \(AC1,\s\up6(—→))2＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA1,\s\up6(—→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))
＝1＋1＋1＋2(cs 60°＋cs 60°＋cs 60°)＝6，
∴|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6).
反思感悟 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧
根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，可证平行、垂直．可求两向量的数量积、夹角、长度．
跟踪训练3 (1)对空间内任意一点O，都有OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 OA，OB，OC两两互相垂直，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|2>0，
所以〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉为锐角，
同理∠ABC，∠BCA均为锐角．
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq \r(3)，AD＝2eq \r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(PM,\s\up6(→))所成的角为________．
答案 90°
解析 令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \(A1D1,\s\up6(——→))－eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c，
故eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－\f(1,2)b－c))
＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a·b－a·c＋eq \f(1,4)b·a－eq \f(1,4)b2－eq \f(1,2)b·c＝eq \f(1,2)×4－eq \f(1,4)×8＝0，
即eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(PM,\s\up6(→))，则eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(PM,\s\up6(→))所成的角为90°.
1.知识清单：
(1)共线向量基本定理、共面向量定理．
(2)空间向量基本定理．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错．
1．若{a，b，c}是空间的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基底的向量为( )
A．a B．b C．c D．2a
答案 C
解析 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝eq \f(1,2)·[(a＋b)＋(a－b)]＝eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝eq \f(1,2)[(a＋b)－(a－b)]＝eq \f(1,2)m－eq \f(1,2)n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.
2．已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq \(AB,\s\up6(→))，故eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
3.如图，已知三棱锥O－ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq \(MN,\s\up6(→))，则eq \(MN,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)(b＋c－a) B.eq \f(1,2)(a＋b－c)
C.eq \f(1,2)(a－b＋c) D.eq \f(1,2)(c－a－b)
答案 D
解析 由题意知eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．因为eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(c－b－a)．
4.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．
则：(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))＝____；(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝___________.
答案 (1)16 (2)0
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(—→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·(eq \(EA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1D1,\s\up6(——→)))
＝b·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－a＋b))＝|b|2＝42＝16.
(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(eq \(BA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1F,\s\up6(—→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)
＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏q，q⇒p.
2．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，则与a，b不能构成空间基底的是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(OA,\s\up6(→))或eq \(OB,\s\up6(→))
答案 C
解析 ∵eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，∴eq \(OC,\s\up6(→))与a，b共面，
∴a，b，eq \(OC,\s\up6(→))不能构成空间基底．
3．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
答案 B
解析 由6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，
得eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝2(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＋3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))，∴eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))共面，
又它们有公共点P，∴P，A，B，C四点共面．
4.如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，则eq \(BE,\s\up6(→))等于( )
A．a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)cB．－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a－b＋eq \f(1,2)cD．－eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,2)c
答案 B
解析 连接AE(图略)，
∵E是CD的中点，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(b＋c)．
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝a，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)(b＋c)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
5．{e1，e2，e3}是空间的一组基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( )
A.eq \f(5,2)，－1，－eq \f(1,2) B.eq \f(5,2)，1，eq \f(1,2)
C．－eq \f(5,2)，1，－eq \f(1,2) D.eq \f(5,2)，1，－eq \f(1,2)
答案 A
解析 xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，
由空间向量基本定理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝1，,x＋y－z＝2，,x－y＋z＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,2)，,y＝－1，,z＝－\f(1,2).))
6．(多选)关于空间向量，以下说法正确的是( )
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点O，有eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
C．设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底
D．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角
答案 ABC
解析 根据平面向量基本定理可知，空间的三个向量中，若有两个向量共线，那么这三个向量一定共面，故A正确；
由于eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝1，所以根据共面向量定理可知，P，A，B，C四点共面，故B正确；
因为{a，b，c}是空间中的一组基底，所以a，b，c不共面，所以a＋b，b＋c，c＋a也不共面，因此{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底，故C正确；
a·b<0，则〈a，b〉可以是钝角，也可以是180°，故D错误．
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB1,\s\up6(—→))，eq \(AD1,\s\up6(—→))作为基向量，则eq \(AC1,\s\up6(—→))＝________________.
答案 eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(—→))＋eq \(AB1,\s\up6(—→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
解析 ∵2eq \(AC1,\s\up6(—→))＝2eq \(AA1,\s\up6(—→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))
＝(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \(AD1,\s\up6(—→))＋eq \(AB1,\s\up6(—→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(—→))＋eq \(AB1,\s\up6(—→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
8．已知空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq \(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
答案 3a＋3b－5c
解析 如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG.
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(GF,\s\up6(→))－eq \(GE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(5a＋6b－8c)＋eq \f(1,2)(a－2c)
＝3a＋3b－5c.
9．已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)证明：BD∥平面EFGH.
证明 如图，连接EG，BG.
(1)eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)) )＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))
＝eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))，
由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面．
(2)方法一 ∵eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，
∴EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
方法二 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(EA,\s\up6(→))＋2eq \(AH,\s\up6(→))
＝2eq \(EH,\s\up6(→))＝2(eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→)))＝2eq \(EG,\s\up6(→))＋2eq \(GH,\s\up6(→))，
又eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))不共线，∴eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))共面．
又BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
(1)求eq \(BN,\s\up6(→))的长；
(2)求cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉的值．
解 令eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2且a·b＝a·c＝b·c＝0.
(1)eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)c－b，
∴|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)c－b))2)
＝eq \r(a2＋\f(1,4)c2＋b2＋a·c－2a·b－b·c)
＝eq \r(1＋\f(1,4)×4＋1)＝eq \r(3).
(2)eq \(BA1,\s\up6(—→))＝eq \(CA1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝a＋c－b，
eq \(CB1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))＝b＋c，
所以|eq \(BA1,\s\up6(—→))|＝eq \r(a＋c－b2)
＝eq \r(a2＋c2＋b2＋2a·c－2a·b－2b·c)＝eq \r(6).
|eq \(CB1,\s\up6(—→))|＝eq \r(5)，
eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))＝(a＋c－b)·(b＋c)
＝a·b＋a·c＋b·c＋c2－b2－b·c
＝4－1＝3.
所以cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(BA1,\s\up6(—→))·\(CB1,\s\up6(—→)),|\(BA1,\s\up6(—→))||\(CB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(3,\r(6)×\r(5))＝eq \f(\r(30),10).
11．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则x的值为( )
A．1 B．0 C．3 D.eq \f(1,3)
答案 D
解析 ∵eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四点共面，∴x＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，∴x＝eq \f(1,3).故选D.
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G点是△BA1D的重心，且eq \(AG,\s\up6(→))＝xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))＋zeq \(CC1,\s\up6(—→))，则x＋y＋z的值为( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
答案 B
解析 2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA1,\s\up6(—→))，
eq \(OA1,\s\up6(—→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OG,\s\up6(→))
＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OA1,\s\up6(—→))
＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(—→))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CC1,\s\up6(—→))，
因为eq \(AG,\s\up6(→))＝xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))＋zeq \(CC1,\s\up6(—→))，
所以x＋y＋z＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1.
13．(多选)若向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))的始点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则不能使向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))成为空间一组基底的关系的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))
C.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(MA,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))
答案 ABD
解析 对于A，由结论eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面；对于B，D，易知eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面，故只有C中eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))不共面，只要eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面，就不能作为一组基底，故选ABD.
14．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
答案 0
解析 ∵A，B，C三点共线，
∴存在唯一实数k使eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝k(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
∴(k－1)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－keq \(OC,\s\up6(→))＝0.
又λeq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝0，
则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，∴λ＋m＋n＝0.
15．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 A
解析 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，eq \(AG1,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
∵eq \(OG,\s\up6(→))＝3eq \(GG1,\s\up6(—→))，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OG1,\s\up6(—→))＝eq \f(3,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG1,\s\up6(—→)))
＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→)).
∴x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,4)，z＝eq \f(1,4).
16.如图，已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
证明 如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝AOC＝θ，
又设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
∵eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))＋OC))
＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)，eq \(BC,\s\up6(→))＝c－b.
∴eq \(OG,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)
＝eq \f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝eq \f(1,4)(|a|2·cs θ－|a|2·cs θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴eq \(OG,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，即OG⊥BC.
导语
“道生一，一生二，二生三，三生万物”这句话出自老子《道德经》，它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程．
联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，给出一组三维的基底，是否可以生成空间中的所有向量．通过今天的学习，我们一起去寻找答案．
一、共面向量定理
问题1 共线向量基本定理的内容是什么？它适用于空间向量吗？
提示 如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，它适用于空间向量．
知识梳理
1．共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使b＝λa.
2．共面向量定理：
(1)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
(3)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→)).
注意点：(1)eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))共线，则A，B，C，D四点不一定共线．
(2)若P，A，B，C四点共面，对于空间中的任意一点O，有eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则x＋y＋z＝1，反之亦成立．
例1 如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE.求证：向量eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))共面．
证明 因为M在BD上，且BM＝eq \f(1,3)BD，
所以eq \(MB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)).
同理eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(DA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AB,\s\up6(→))))＋eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(DE,\s\up6(→))))
＝eq \f(2,3)eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(DE,\s\up6(→)).
又eq \(CD,\s\up6(→))与eq \(DE,\s\up6(→))不共线，根据共面向量定理可知eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))共面．
反思感悟 证明空间向量共面或四点共面的方法
(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面．
(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面．
(3)用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行．
跟踪训练1 已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，判断eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量是否共面．
解 eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))三个向量共面．
因为eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，
所以3eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，
化简，得(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＋(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＋(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＝0，
即eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))＝0，即eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))，
故eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面．
二、空间向量基本定理
问题2 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝eq \(OP,\s\up6(→))，p 能否用i，j，k表示呢？
提示 如图，设eq \(OQ,\s\up6(→))为eq \(OP,\s\up6(→))在i，j所确定的平面上的投影向量，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→)).
又向量eq \(QP,\s\up6(→))，k共线，因此存在唯一的实数z，使得eq \(QP,\s\up6(→))＝zk，从而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋zk.
在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq \(OQ,\s\up6(→))＝xi＋yj.
从而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋zk＝xi＋yj＋zk.
问题3 你能证明唯一性吗？
提示 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
两边同除以(x′－x)，得i＝eq \f(y－y′,x′－x)j＋eq \f(z－z′,x′－x)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
知识梳理
空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
①若xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0.
②表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
③如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，a，b，c组成的集合{a，b，c}称为空间向量的一组基底．此时a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
例2 (1)已知{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且eq \(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一组基底．
解 假设eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))共面．
则存在实数λ，μ使得eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1，))此方程组无解，
∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共面，
∴{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一组基底．
(2)如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OC,\s\up6(→))＝b，eq \(OP,\s\up6(→))＝c，E，F分别是PC，PB的中点．
试用基底{a，b，c}表示：eq \(BF,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→)).
解 连接BO(图略)，则eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(c－b－a)＝－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)eq \(CP,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)(eq \(CO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→)))＝－a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PE,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OP,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(PO,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝－a＋c＋eq \f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a.
反思感悟 用基底表示向量的步骤
(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底．
(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的数乘运算进行变形、化简，最后求出结果．
(3)下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．
跟踪训练2 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(ND,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(A1D,\s\up6(—→)).设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，试用a，b，c表示eq \(MN,\s\up6(→))，eq \(MD1,\s\up6(→)).
解 连接AN(图略)，则eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→)).
由ABCD是平行四边形，得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋b，
则eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)．
又eq \(A1D,\s\up6(—→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))＝b－c，
故eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DN,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(ND,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(A1D,\s\up6(—→))
＝b－eq \f(1,3)(b－c)．
故eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)＋b－eq \f(1,3)(b－c)
＝eq \f(1,3)(－a＋b＋c)．
连接AD1(图略)，则eq \(MD1,\s\up6(—→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AD1,\s\up6(—→)).
eq \(MA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)，eq \(AD1,\s\up6(—→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))＝b＋c，
故eq \(MD1,\s\up6(—→))＝eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AD1,\s\up6(—→))＝－eq \f(1,3)(a＋b)＋b＋c
＝－eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b＋c.
三、空间向量基本定理的应用
例3 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°.
(1)求eq \(AD1,\s\up6(—→))·eq \(A1B,\s\up6(—→))；
(2)求eq \(AC1,\s\up6(—→))的模．
解 如图，令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
∴{a，b，c}为一组基底．
(1)∵eq \(AD1,\s\up6(—→))＝b＋c，
eq \(A1B,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))＝a－c，
∴eq \(AD1,\s\up6(—→))·eq \(A1B,\s\up6(—→))＝(b＋c)·(a－c)
＝a·b＋a·c－b·c－c2
＝1×1×cs 60°＋1×1×cs 60°－1×1×cs 60°－1
＝eq \f(1,2)－1＝－eq \f(1,2).
(2)∵eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))，
∴eq \(AC1,\s\up6(—→))2＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)))2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AA1,\s\up6(—→))2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AA1,\s\up6(—→))
＝1＋1＋1＋2(cs 60°＋cs 60°＋cs 60°)＝6，
∴|eq \(AC1,\s\up6(—→))|＝eq \r(6).
反思感悟 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧
根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，可证平行、垂直．可求两向量的数量积、夹角、长度．
跟踪训练3 (1)对空间内任意一点O，都有OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 OA，OB，OC两两互相垂直，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))·(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OA,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|2>0，
所以〈eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))〉为锐角，
同理∠ABC，∠BCA均为锐角．
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝eq \r(3)，AD＝2eq \r(2)，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(PM,\s\up6(→))所成的角为________．
答案 90°
解析 令eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \(A1D1,\s\up6(——→))－eq \(D1P,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))－eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AA1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c，
故eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)b))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a－\f(1,2)b－c))
＝eq \f(1,2)a2－eq \f(1,2)a·b－a·c＋eq \f(1,4)b·a－eq \f(1,4)b2－eq \f(1,2)b·c＝eq \f(1,2)×4－eq \f(1,4)×8＝0，
即eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(PM,\s\up6(→))，则eq \(AM,\s\up6(→))与eq \(PM,\s\up6(→))所成的角为90°.
1.知识清单：
(1)共线向量基本定理、共面向量定理．
(2)空间向量基本定理．
2．方法归纳：数形结合、转化与化归．
3．常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错．
1．若{a，b，c}是空间的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基底的向量为( )
A．a B．b C．c D．2a
答案 C
解析 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝eq \f(1,2)·[(a＋b)＋(a－b)]＝eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝eq \f(1,2)[(a＋b)－(a－b)]＝eq \f(1,2)m－eq \f(1,2)n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.
2．已知向量a，b，且eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
答案 A
解析 因为eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq \(AB,\s\up6(→))，故eq \(AD,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，又eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))有公共点A，
所以A，B，D三点共线．
3.如图，已知三棱锥O－ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示eq \(MN,\s\up6(→))，则eq \(MN,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)(b＋c－a) B.eq \f(1,2)(a＋b－c)
C.eq \f(1,2)(a－b＋c) D.eq \f(1,2)(c－a－b)
答案 D
解析 由题意知eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→)))．因为eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，所以eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(c－b－a)．
4.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．
则：(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(→))＝____；(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(→))＝___________.
答案 (1)16 (2)0
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(ED1,\s\up6(—→))＝eq \(BC,\s\up6(→))·(eq \(EA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1D1,\s\up6(——→)))
＝b·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)c－a＋b))＝|b|2＝42＝16.
(2)eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AB1,\s\up6(—→))＝(eq \(BA1,\s\up6(—→))＋eq \(A1F,\s\up6(—→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)
＝|c|2－|a|2
＝22－22＝0.
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏q，q⇒p.
2．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，则与a，b不能构成空间基底的是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(OA,\s\up6(→))或eq \(OB,\s\up6(→))
答案 C
解析 ∵eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，∴eq \(OC,\s\up6(→))与a，b共面，
∴a，b，eq \(OC,\s\up6(→))不能构成空间基底．
3．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，则( )
A．O，A，B，C四点共面
B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面
D．O，P，A，B，C五点共面
答案 B
解析 由6eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋2eq \(OB,\s\up6(→))＋3eq \(OC,\s\up6(→))，
得eq \(OP,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝2(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＋3(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))，
即eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))＋3eq \(PC,\s\up6(→))，∴eq \(AP,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))共面，
又它们有公共点P，∴P，A，B，C四点共面．
4.如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，则eq \(BE,\s\up6(→))等于( )
A．a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)cB．－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
C.eq \f(1,2)a－b＋eq \f(1,2)cD．－eq \f(1,2)a＋b＋eq \f(1,2)c
答案 B
解析 连接AE(图略)，
∵E是CD的中点，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
∴eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(b＋c)．
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝a，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,2)(b＋c)＝－a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
5．{e1，e2，e3}是空间的一组基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( )
A.eq \f(5,2)，－1，－eq \f(1,2) B.eq \f(5,2)，1，eq \f(1,2)
C．－eq \f(5,2)，1，－eq \f(1,2) D.eq \f(5,2)，1，－eq \f(1,2)
答案 A
解析 xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，
由空间向量基本定理，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝1，,x＋y－z＝2，,x－y＋z＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(5,2)，,y＝－1，,z＝－\f(1,2).))
6．(多选)关于空间向量，以下说法正确的是( )
A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B．若对空间中任意一点O，有eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))，则P，A，B，C四点共面
C．设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底
D．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角
答案 ABC
解析 根据平面向量基本定理可知，空间的三个向量中，若有两个向量共线，那么这三个向量一定共面，故A正确；
由于eq \f(1,6)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,2)＝1，所以根据共面向量定理可知，P，A，B，C四点共面，故B正确；
因为{a，b，c}是空间中的一组基底，所以a，b，c不共面，所以a＋b，b＋c，c＋a也不共面，因此{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底，故C正确；
a·b<0，则〈a，b〉可以是钝角，也可以是180°，故D错误．
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB1,\s\up6(—→))，eq \(AD1,\s\up6(—→))作为基向量，则eq \(AC1,\s\up6(—→))＝________________.
答案 eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(—→))＋eq \(AB1,\s\up6(—→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
解析 ∵2eq \(AC1,\s\up6(—→))＝2eq \(AA1,\s\up6(—→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))
＝(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋(eq \(AA1,\s\up6(—→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \(AD1,\s\up6(—→))＋eq \(AB1,\s\up6(—→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AC1,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(—→))＋eq \(AB1,\s\up6(—→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
8．已知空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq \(CD,\s\up6(→))＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq \(EF,\s\up6(→))＝________.
答案 3a＋3b－5c
解析 如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG.
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(GF,\s\up6(→))－eq \(GE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(5a＋6b－8c)＋eq \f(1,2)(a－2c)
＝3a＋3b－5c.
9．已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)证明：E，F，G，H四点共面；
(2)证明：BD∥平面EFGH.
证明 如图，连接EG，BG.
(1)eq \(EG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)) )＝eq \(EB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))
＝eq \(EF,\s\up6(→))＋eq \(EH,\s\up6(→))，
由向量共面的充要条件知，E，F，G，H四点共面．
(2)方法一 ∵eq \(EH,\s\up6(→))＝eq \(AH,\s\up6(→))－eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up6(→))，
∴EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
∴BD∥平面EFGH.
方法二 ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝2eq \(EA,\s\up6(→))＋2eq \(AH,\s\up6(→))
＝2eq \(EH,\s\up6(→))＝2(eq \(EG,\s\up6(→))＋eq \(GH,\s\up6(→)))＝2eq \(EG,\s\up6(→))＋2eq \(GH,\s\up6(→))，
又eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))不共线，∴eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(EG,\s\up6(→))，eq \(GH,\s\up6(→))共面．
又BD⊄平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
10.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点N为AA1的中点．
(1)求eq \(BN,\s\up6(→))的长；
(2)求cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉的值．
解 令eq \(CA,\s\up6(→))＝a，eq \(CB,\s\up6(→))＝b，eq \(CC1,\s\up6(—→))＝c，
则|a|＝|b|＝1，|c|＝2且a·b＝a·c＝b·c＝0.
(1)eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(CN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)c－b，
∴|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,2)c－b))2)
＝eq \r(a2＋\f(1,4)c2＋b2＋a·c－2a·b－b·c)
＝eq \r(1＋\f(1,4)×4＋1)＝eq \r(3).
(2)eq \(BA1,\s\up6(—→))＝eq \(CA1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝a＋c－b，
eq \(CB1,\s\up6(—→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(CC1,\s\up6(—→))＝b＋c，
所以|eq \(BA1,\s\up6(—→))|＝eq \r(a＋c－b2)
＝eq \r(a2＋c2＋b2＋2a·c－2a·b－2b·c)＝eq \r(6).
|eq \(CB1,\s\up6(—→))|＝eq \r(5)，
eq \(BA1,\s\up6(—→))·eq \(CB1,\s\up6(—→))＝(a＋c－b)·(b＋c)
＝a·b＋a·c＋b·c＋c2－b2－b·c
＝4－1＝3.
所以cs〈eq \(BA1,\s\up6(—→))，eq \(CB1,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\(BA1,\s\up6(—→))·\(CB1,\s\up6(—→)),|\(BA1,\s\up6(—→))||\(CB1,\s\up6(—→))|)＝eq \f(3,\r(6)×\r(5))＝eq \f(\r(30),10).
11．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，则x的值为( )
A．1 B．0 C．3 D.eq \f(1,3)
答案 D
解析 ∵eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))，且M，A，B，C四点共面，∴x＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1，∴x＝eq \f(1,3).故选D.
12．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G点是△BA1D的重心，且eq \(AG,\s\up6(→))＝xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))＋zeq \(CC1,\s\up6(—→))，则x＋y＋z的值为( )
A．3 B．1 C．－1 D．－3
答案 B
解析 2eq \(AO,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))，
eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA1,\s\up6(—→))，
eq \(OA1,\s\up6(—→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→))，
所以eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \(OG,\s\up6(→))
＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OA1,\s\up6(—→))
＝eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(—→)))
＝eq \f(2,3)eq \(AO,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AA1,\s\up6(—→))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CC1,\s\up6(—→))，
因为eq \(AG,\s\up6(→))＝xeq \(AD,\s\up6(→))＋yeq \(AB,\s\up6(→))＋zeq \(CC1,\s\up6(—→))，
所以x＋y＋z＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝1.
13．(多选)若向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))的始点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则不能使向量eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))成为空间一组基底的关系的是( )
A.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))
B.eq \(MA,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(MC,\s\up6(→))
C.eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))
D.eq \(MA,\s\up6(→))＝2eq \(MB,\s\up6(→))－eq \(MC,\s\up6(→))
答案 ABD
解析 对于A，由结论eq \(OM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面；对于B，D，易知eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面，故只有C中eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))不共面，只要eq \(MA,\s\up6(→))，eq \(MB,\s\up6(→))，eq \(MC,\s\up6(→))共面，就不能作为一组基底，故选ABD.
14．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
答案 0
解析 ∵A，B，C三点共线，
∴存在唯一实数k使eq \(AB,\s\up6(→))＝keq \(AC,\s\up6(→))，
即eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝k(eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，
∴(k－1)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－keq \(OC,\s\up6(→))＝0.
又λeq \(OA,\s\up6(→))＋meq \(OB,\s\up6(→))＋neq \(OC,\s\up6(→))＝0，
则λ＝k－1，m＝1，n＝－k，∴λ＋m＋n＝0.
15．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 A
解析 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，eq \(AG1,\s\up6(—→))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
∵eq \(OG,\s\up6(→))＝3eq \(GG1,\s\up6(—→))，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OG1,\s\up6(—→))＝eq \f(3,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG1,\s\up6(—→)))
＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→)).
∴x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,4)，z＝eq \f(1,4).
16.如图，已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC.
证明 如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝AOC＝θ，
又设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，
则|a|＝|b|＝|c|.
∵eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))＋OC))
＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)，eq \(BC,\s\up6(→))＝c－b.
∴eq \(OG,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(a＋b＋c)·(c－b)
＝eq \f(1,4)(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c)
＝eq \f(1,4)(|a|2·cs θ－|a|2·cs θ－|a|2＋|a|2)＝0.
∴eq \(OG,\s\up6(→))⊥eq \(BC,\s\up6(→))，即OG⊥BC.
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