人教B版 (2019)选择性必修 第一册第一章　空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算1.1.2 空间向量基本定理第2课时学案

第2课时空间向量的数量积

自主学习·必备知识

教材研习

教材原句

要点一空间向量的夹角与垂直

1.向量的夹角

平面内，给定两个非零向量，① 任意在平面内选定一点，作，，则大小在内的称为与的夹角，记作② .

2.向量的垂直

如果，则称向量与垂直，记作；为了方便起见，仍约定零向量与任意向量都③ 垂直 .

要点二空间向量的数量积

1.数量积的定义

平面内，两个非零向量与的数量积（也称为内积）定义为 .

2.数量积的几何意义

两个向量数量积的几何意义与④ 投影有关，如图所示，过的始点和终点分别向所在的直线作⑤ 垂线，即可得到向量在向量 .上的投影，与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的⑥ 乘积 .特别地，与单位向量的数量积等于在上的投影的数量.规定零向量与任意向量的数量积为⑦     0     .

3.向量在直线（或平面）上的投影

一般地，给定空间向量和空间中的直线（或平面），过的始点和终点分别作直线（或平面）的垂线，假设垂足为，则向量称为在直线（或平面）_上的投影.

4.数量积的性质

空间向量的数量积具有以下性质：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）（交换律）；

（6）（分配律）.

自主思考

1.若两个向量的夹角为0或，则这两个向量分别是什么关系？

答案：提示若两个向量的夹角为 0，则这两个向量方向相同；若两个向量的夹角为，则这两个向量的方向相反.

2.若，为非零向量，且，则向量与的夹角的大小是什么？

答案：提示 .

3.两个向量的数量积是一个实数还是一个向量？若是一个实数，其符号是由什么确定的？

答案：提示两个向量的数量积是-一个实数，其符号由决定，即当是锐角时，；当是钝角时，；当是直角时， .

4.已知，则向量在向量方向上的投影的数量是多少？

答案：提示向量在向量方向上的投影的数量为 .

5.若在上的投影的数量为1，且，则与的夹角是多少？

答案：提示 .

名师点睛

数量积运算的关注点

（1）数量积运算不满足消去律.若为实数，则；但对于向量不正确，即 .由下图可以看出.

（2）数量积运算不满足结合律.数量积运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即不一定等于 .这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量，而与不一定共线.

（3）空间向量没有除法运算.对于三个不为零的实数，若，则或；但对于向量、，若，却没有或 .

互动探究·关键能力

探究点一空间向量的夹角

自测自评

1.如图所示，已知四面体的每条棱长都等于，点分别是棱、、的中点，求下列向量夹角的大小.

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6） .

答案：（1） .

（2）因为且方向相同，所以 .

（3）因为且方向相反，所以 .

（4）因为是等边三角形，所以 .

（5）因为与首尾相接，所以 .

（6）因为，所以 .

2.如图，在正方体中，分别求向量与向量、、、、的夹角.

答案：连接，如图，

则在正方体中，，，，

所以；

；

；

；

.

解题感悟

找向量的夹角的关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角的大小，注意向量的夹角的范围是 .

探究点二数量积的计算

精讲精练

例（1）已知向量是两两垂直的单位向量，且，，则 (     )

A.15B.3C.-3D.5

（2）已知棱长为的正方体中，为上底面的中心，求与的值.

答案：（1）

解析：（1）由题意可知 .

答案：（2）如图所示，连接交于点，连接，

在上的投影为，，

， .

取的中点，连接，

易知，在上的投影为，

又，， .

变式若本例（2）的条件不变，求的值.

答案：因为，，

所以 .

解题感悟

求数量积的两种情况及方法

（1）已知向量的模和夹角：利用并结合运算律进行计算.

（2）在几何体中求空间向量的数量积：先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式，再利用向量的数量积运算律展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.

迁移应用

1.（多选）设为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的是(      )

A. B.

C. D.

答案： ;

解析：由数量积的性质和运算律可知A、D正确；因为运算后是实数，没有这种运算，所以B不正确；所以C不正确.

2.三棱锥中，，，，则等于(     )

A.0B.2C. D.

答案：

解析：因为，，

所以， .

探究点三数量积性质的应用

精讲精练

类型1 求向量的模

例1如图，把边长为1的正方形沿对角线折成直二面角，若点满足，则 (     )

A.3B. C.4D.

答案：

解析：取的中点，连接，如下图所示：

则，，因为，平面，所以平面，所以，所以 .

又由题意可知平面，平面，所以，所以为直角三角形，

所以 .

又，所以，所以 .

类型2 求向量的夹角

例2（2021山东滨州高二期中）已知空间向量，，且与垂直，则与的夹角为(      )

A. B. C. D.

答案：

解析：与垂直，，，

.， .

类型3 解决垂直问题

例3设是互相垂直的单位向量，已知，，若，则实数的值为(     )

A.-6B.6C.3D.-3

答案：

解析：由，得，所以，

所以，所以 .

解题感悟

利用数量积的性质可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.

（1）；

（2）；

（3） .

迁移应用

1.已知，，则 (     )

A. B.

C. D.以上都不对

答案：

解析：，，，，

.

2.在空间四边形中，，，求证： .

答案：证明如图所示，

因为，所以 .

评价检测·素养提升

课堂检测

1.（多选）对于向量和实数，下列命题中是真命题的是(      )

A.若，则或

B.若，则或

C.若，则

D.若，则是锐角

答案： ;

2.已知，则．

答案：

3.已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 .

答案：

素养演练

数学运算——利用数量积求向量的夹角

1.如图，在直三棱柱中，，，，求向量的夹角的余弦值.

解析：审：在直三棱柱中，求向量的夹角的余弦值.

联：由已知得，所以用向量，和表示向量和，然后用数量积求的夹角的余弦值.

答案：解： ① ，，

且

② =0，

.

又，

③ ，

故的夹角的余弦值为 .

解析：思：求两个空间向量夹角的方法类同于平面内两个向量夹角的求法，利用公式 .