高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理导学案

1.1.2　空间向量基本定理

图中的向量，，是不共面的三个向量，请问向量与它们是什么关系？由此可以得出什么结论？

1．共面向量定理

如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb．

思考1：平面向量基本定理中对于向量a与b有什么条件，在空间中能成立吗？

[提示]　平面向量基本定理中要求向量a与b不共线，在空间中仍然成立．

2．空间向量基本定理

如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc．

特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．

3．相关概念

(1)线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．

(2)基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．

(3)基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．

(4)分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．

思考2：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？

[提示]　空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．

思考3：基向量和基底一样吗？0能否作为基向量？

[提示]　基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量，因为0与其他任意两个非零向量共面，所以0不能作为基向量．

4．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．  (　　)

(2)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面． 

  (　　)

(3)若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．                            (　　)

[答案]　(1)√　(2)√　(3)×

[提示]　(1)√　{a，b，c}为空间一个基底，则a，b，c不共面，－a、b、2c也不共面，故{－a，b,2c}也构成空间一个基底．

(2)√　由共面定理知(2)正确．

(3)×　由c＝λa＋μb知a，b，c共面，不能构成基底．

2．(教材P16练习A①改编)对于空间的任意三个向量a，b,2a－3b，它们一定是(　　)

A．共面向量　　　　　　 B．共线向量

C．不共面向量   D．既不共线也不共面的向量

A　[根据共面向量定理知a，b,2a－3b一定共面．]

3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是(　　)

A．，，   B．，，

C．，，   D．，，

C　[由题意知，，不共面，可以作为空间向量的一个基底．]

【例1】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．

[证明]　设＝a，＝b，＝c．

∵＝2，＝，

∴＝，＝，

∴＝＝b，＝(－)

＝(＋－)

＝a＋b－c．

∴＝－＝a－b－c＝．

又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，

∴＝．

∴E，F，B三点共线．

判断向量共线就是利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量的运算法则，结合图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即向量a与b共线，共线向量定理还可用于证明两直线平行或证明三点共线.

1．如图所示，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？

[解]　与共线，证明：∵M，N分别是AC、BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．

∴＝＋＋＝＋＋，

又＝＋＋＋＝－＋－－，

∴＋＋＝－＋－－，

∴＝＋2＋＝2(＋＋)＝2，

∴∥，即与共线．

【例2】　已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内．

[解]　(1)易知＋＋＝3，

∴－＝(－)＋(－)，

∴＝＋＝－－，

∴向量，，共面．

(2)由(1)知向量，，共面，三个向量的基线又有公共点M，∴M，A，B，C共面，即点M在平面ABC内．

判断三个(或三个以上)向量共面的方法

(1)应用空间向量共面定理，即其中一个向量能用另两个向量线性表示，通常应结合图形，选择其中某两个向量作为基向量，其他向量都用这两个基向量线性表示．

(2)选择目标向量以外的一组基底，通过待定系数法，建立这三个向量的一个线性关系式．

2．如图所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别是△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，分别延长PE，PF，PG，PH，交对边于M，N，Q，R，并顺次连接MN，NQ，QR，RM．应用向量共面定理证明：E，F，G，H四点共面．

[证明]　∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，

∴M，N，Q，R为所在边的中点，

顺次连接M，N，Q，R，所得四边形为平行四边形，且有＝，＝，＝，＝．

∵四边形MNQR为平行四边形，

∴＝－＝－＝

＝(＋)

＝(－)＋(－)

＝＋

＝＋，

∴由共面向量定理得，

，共面，

所以E，F，G，H四点共面．

[探究问题]

1．构成空间向量的基底唯一吗？是否共面？

[提示]　不唯一，不共面．

2．空间向量的基底选定后，空间任一向量怎样用基底表示？

[提示]　基底选定后，可以结合图形，利用三角形法则和平行四边形法则，寻求向量和基向量的关系，利用向量的线性运算将向量用基底表示出来．

3．用基底表示向量应注意哪些问题？

[提示]　(1)明确目标，向量表示过程中可能出现新的向量，要逐步拆分，都用基向量表示；(2)结合图形的几何性质，利用向量的线性运算；(3)只要基底选定，空间任一向量用基底表达的形式是唯一的．

【例3】　(1)若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．

(2)如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．

[思路探究]　(1)判断a＋b，b＋c，c＋a是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．

(2)借助图形寻找待求向量与a，b，c的关系，利用向量运算进行分析，直至向量用a，b，c表示出来．

[解]　(1)假设a＋b，b＋c，c＋a共面．

则存在实数λ、μ使得a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，

∴a＋b＝λb＋μa＋(λ＋μ)c．

∵{a，b，c}为基底，∴a，b，c不共面．

∴此方程组无解，∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．

∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．

(2)＝＋＝＋

＝＋(＋)＝＋＋(－)

＝b＋a＋(c－b)

＝b＋a＋c－b

＝a＋b＋c．

＝＋＋

＝＋＋

＝a＋b＋(－)

＝a＋b＋(c－b)

＝a＋b＋c．

1．(变条件)若把本例3(2)中的＝a改为＝a，其他条件不变，则结果又是什么？

[解]　＝＋

＝＋

＝＋(－)

＝b＋(a－b)

＝a＋b．

＝＋

＝＋

＝－

＝－(－)

＝a－(c－b)

＝a＋b－c．

2．(变换条件、改变问法)如图所示，本例3(2)中增加条件“P在线段AA′上，且AP＝2PA′”，试用基底{a，b，c}表示向量．

[解]　＝＋＋

＝－－

＝(＋)－－

＝[＋(－)]－－

＝(a＋c－b)－c－a

＝a－b－c．

用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．

提醒：基底中不能有零向量，因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量．

1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的．

2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．

1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)

A．，，共线 B．，共线

C．，共线   D．O，A，B，C四点共面

D　[由，，不能构成基底知，，三向量共面，所以O，A，B，C四点共面．]

2．给出下列命题：

①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可作为空间的基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面；④已知向量组{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是(　　)

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

D　[根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，否则就不能构成空间的一个基底，显然②正确．③中由、、共面且过相同点B，故A，B，M，N共面．

下面证明①④正确．

①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使d＝λa＋μb，

∵d与c共线，c≠0，

∴存在实数k，使d＝kc，

∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，

∴c与a，b共面与条件矛盾．

∴d与a，b不共面．

同理可证④也是正确的．]

3．从空间一点P引出三条射线PA，PB，PC，在PA，PB，PC上分别取＝a，＝b，＝c，点G在PQ上，且PG＝2GQ，H为RS的中点，则＝________．(用a，b，c表示)

－a＋b＋c　[＝－＝(b＋c)－a．]

4．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则2x＋4y＋2z＝________．

2　[如图，由已知＝＝(＋)

＝

＝＋ [(－)＋(－)]＝＋＋，

∴x＝y＝z＝，∴2x＋4y＋2z＝2．]

5．如图所示，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1，设＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)；(2)．

[解]　在平行六面体

ABCD­A1B1C1D1中，

连接AC，AD1．

(1)＝(＋)

＝(＋＋)

＝(a＋b＋c)．

(2)＝(＋)

＝a＋b＋c．