人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积一课一练

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积一课一练，共6页。试卷主要包含了故选C等内容，欢迎下载使用。
基础强化
1.一个长方体的三个面的面积分别为 eq \r(2) ， eq \r(3) ， eq \r(6) ，则这个长方体的体积为( )
A．6 B． eq \r(6)
C．3 D．2 eq \r(3)
2．如果正方体ABCD ­A′B′C′D′的棱长为a，那么四面体A′­ABD的体积是( )
A． eq \f(a3,2) B． eq \f(a3,3)
C． eq \f(a3,4) D． eq \f(a3,6)
3．若正四棱台的上、下底面边长分别为1，2，高为2，则该正四棱台的体积为( )
A． eq \f(10,3) B． eq \f(7,3)
C． eq \f(14,3) D．14
4．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的底面积是4，则它的体积是( )
A．4 B．8 C． eq \f(112,27) D．4或 eq \f(112,27)
5．如图是一个下半部分为正方体、上半部分为正三棱柱的盒子(中间连通).若其表面积为(448＋32 eq \r(3) )cm2，则其体积为( )
A．(512＋128 eq \r(3) )cm3 B．(216＋128 eq \r(3) )cm3
C．(512＋64 eq \r(3) )cm3 D．(216＋64 eq \r(3) )cm3
6．(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2 eq \r(3) ，则下列叙述正确的是( )
A．正三棱锥高为3
B．正三棱锥的斜高为 eq \f(\r(39),2)
C．正三棱锥的体积为 eq \f(27\r(3),4)
D．正三棱锥的侧面积为 eq \f(9\r(39),4)
7．已知长方体全部棱长的和为36，表面积为52，则其对角线的长为________．
8．设正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为________．
9．已知某个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，求它的表面积．
10.
已知某几何体的直观图如图所示，其中底面为长为8，宽为6的长方形，顶点在底面投影为底面中心，高为4.
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
能力提升
11.边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了( )
A．36 B．72
C．108 D．240
12．如图是一个棱长为2的正方体被过棱A1B1、A1D1的中点M、N，顶点A和过点N，顶点D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的体积为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
13．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为( )
A．3 eq \r(3) B．4 eq \r(3) C．8 D．12
14．(多选)已知平行六面体ABCD ­A1B1C1D1的体积为24，任取其中四个不共面的顶点构成四面体，则该四面体的体积可能取值为( )
A．4 B．6
C．8 D．16
[答题区]
15.已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2 eq \r(11) ，用一个平行于棱锥底面且距离底面长度为3的平面去截棱锥，所得棱台的体积为________．
16.
如图所示，正方体ABCD ­A1B1C1D1的棱长为a，过顶点B、D、A1截下一个三棱锥．
(1)求剩余部分的体积．
(2)求三棱锥A­A1BD的高．
(3)4个面都是直角三角形的四面体，被称为鳖臑．你能写出以该正方体的4个顶点为顶点的鳖臑吗？写出一个即可，不需证明．
参考答案
1．解析：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则xy＝ eq \r(2) ，yz＝ eq \r(3) ，xz＝ eq \r(6) ，∴(xyz)2＝6，∴V＝xyz＝ eq \r(6) .故选B.
答案：B
2．解析：VA′­ABD＝ eq \f(1,3) ·S△ABD·AA′＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×a×a×a＝ eq \f(a3,6) .故选D.
答案：D
3．解析：V台＝ eq \f(1,3) (S＋S′＋ eq \r(SS′) )h＝ eq \f(1,3) (1＋4＋ eq \r(1×4) )×2＝ eq \f(14,3) .故选C.
答案：C
4．解析：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则a2＝4且2a2＋h2＝9，解得a＝2，h＝1，所以正四棱柱的体积为V＝a2h＝4.故选A.
答案：A
5．解析：设正方体的棱长为a cm，则5a2＋2a2＋ eq \f(\r(3),4) a2×2＝448＋32 eq \r(3) ，解得a＝8.该几何体的体积为a3＋ eq \f(\r(3),4) a2·a＝512＋128 eq \r(3) (cm3).故选A.
答案：A
6．解析：
设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高，又PF＝ eq \r(12－\f(9,4)) ＝ eq \f(\r(39),2) ，EF＝ eq \f(3,2) × eq \f(\r(3),3) ＝ eq \f(\r(3),2) ，故PE＝ eq \r(\f(39,4)－\f(3,4)) ＝3，故AB正确．而正三棱锥的体积为 eq \f(1,3) ×3× eq \f(\r(3),4) ×9＝ eq \f(9\r(3),4) ，侧面积为3× eq \f(1,2) ×3× eq \f(\r(39),2) ＝ eq \f(9\r(39),4) ，故C错误，D正确．故选ABD.
答案：ABD
7．解析：设长，宽，高分别为x，y，z，则2(xy＋xz＋yz)＝52，4(x＋y＋z)＝36，可得体对角线的长为 eq \r(x2＋y2＋z2) ＝ eq \r(（x＋y＋z）2－2（xy＋xz＋yz）) ＝ eq \r(92－52) ＝ eq \r(29) .
答案： eq \r(29)
8．解析：由正六棱柱可得底面为正六边形，则底面积S＝ eq \f(1,2) ×12×sin 60°×6＝ eq \f(3\r(3),2) ，即正六棱柱的体积V＝Sh＝ eq \f(3\r(3),2) ×5＝ eq \f(15\r(3),2) .
答案： eq \f(15\r(3),2)
9．解析：由题意可知该三棱柱为正三棱柱，
∵正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，
∴有如下两种情况：
①6是底面周长，4是三棱柱的高，
此时正三角形边长为2，
此底面积S1＝ eq \f(1,2) ×2×2sin 60°＝ eq \f(1,2) ×2×2× eq \f(\r(3),2) ＝ eq \r(3) ，
表面积S2＝24＋2 eq \r(3) ；
②4是底面周长，6是三棱柱的高，
此时正三角形边长为 eq \f(4,3) ，
此时底面积S3＝ eq \f(1,2) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3))) eq \s\up12(2) sin 60°＝ eq \f(4\r(3),9) ，
表面积S4＝24＋ eq \f(8\r(3),9) .
所以该三棱柱的表面积是24＋2 eq \r(3) 或24＋ eq \f(8\r(3),9) .
10．解析：(1)几何体的体积为
V＝ eq \f(1,3) ·S矩形·h＝ eq \f(1,3) ×6×8×4＝64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为
h1＝ eq \r(42＋32) ＝5.
左、右侧面的底边上的高为
h2＝ eq \r(42＋42) ＝4 eq \r(2) .
故几何体的侧面面积为
S＝2×( eq \f(1,2) ×8×5＋ eq \f(1,2) ×6×4 eq \r(2) )＝40＋24 eq \r(2) .
11．解析：由已知，边长为3的正方体分成27个全等的小正方体，则小正方体的边长为1，边长为3的正方体表面积为6×3×3＝54，每个小正方体的表面积为6×1×1＝6，27个小正方体的表面积之和为6×27＝162，162－54＝108，所以表面积之和比原来增加了108，故选C.
答案：C
12．解析：如图将正方体还原可得如下图形：
则VA­A1MN＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×1×1×2＝ eq \f(1,3) ，VD­ND1C1＝ eq \f(1,3) × eq \f(1,2) ×1×2×2＝ eq \f(2,3) ，VABCD­A1B1C1D1＝23＝8，所以该几何体的体积V＝8－ eq \f(1,3) － eq \f(2,3) ＝7.故选C.
答案：C
13．解析：由题意知，该几何体是一个由8个全等的正三角形围成的多面体，正三角形的边长为 eq \r(\f(22,2)) ＝ eq \r(2) ，正三角形边上的一条高为 eq \r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(6),2) ，所以一个正三角形的面积为 eq \f(1,2) × eq \r(2) × eq \f(\r(6),2) ＝ eq \f(\r(3),2) ，所以多面体的表面积为8× eq \f(\r(3),2) ＝4 eq \r(3) .故选B.
答案：B
14．解析：设平行六面体的体积为V＝24，如左图，当取顶点A1，A，B，D时，则该四面体体积V1＝ eq \f(1,6) V＝ eq \f(1,6) ×24＝4；如右图，当取顶点A，B1，C，D1时，则该四面体体积V2＝V－4V1＝24－4×4＝8.故选AC.
答案：AC
15．解析：
如图，由题意可得EF＝3，AF＝2 eq \r(2) ，OF＝ eq \r(OA2－AF2) ＝6.因为△OA1E∽△OAF，所以 eq \f(A1E,AF) ＝ eq \f(OE,OF) ，解得A1E＝ eq \r(2) ，则A1B1＝2，S正方形A1B1C1D1＝4，S正方形ABCD＝16，所以V棱台＝ eq \f(1,3) (S正方形ABCD＋S正方形ABCD·S正方形A1B1C1D1＋S正方形A1B1C1D1)·EF＝28.
答案：28
16．解析：(1)设正方体的棱长为a，
则V＝a3－ eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a2)) ×a＝ eq \f(5,6) a3.
(2)VA­A1BD＝VA1­ABD＝ eq \f(1,3) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a2)) ×a＝ eq \f(1,6) a3，
易知△A1BD为等边三角形，且边长为 eq \r(2) a，其面积为S＝ eq \f(1,2) × eq \r(2) a× eq \r(2) a×sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) a2，
∴ eq \f(1,6) a3＝ eq \f(1,3) × eq \f(\r(3),2) a2h，解得h＝ eq \f(\r(3),3) a.
即三棱锥A­A1BD的高为 eq \f(\r(3),3) a.
(3)由鳖臑定义可知，三棱锥D1­DBC是一个鳖臑．
题号
1
2
3
4
5
6
11
12
13
14
答案