高中人教A版 (2019)8.3 简单几何体的表面积与体积巩固练习

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

一、选择题

1．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是(    )．

A．130 B．140 C．150 D．160

【答案】D

【解析】

 设直四棱柱中，对角线，

 因为平面,平面，所以，

 在中，，可得,

 同理可得，

 因为四边形为菱形，可得互相垂直平分，

 所以，即菱形的边长为，

 因此，这个棱柱的侧面积为，

 故选D.

2．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 （ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为， 的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1=，故八面体体积V=2V1=，故选B．

3．长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，对角线长为，则这个长方体的体积为（ ）

A．6 B．12 C．24 D．48

【答案】D

【解析】∵长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1：2：3，

∴设三条棱长分别为k，2k，3k

则长方体的对角线长为=k=2

∴k=2

长方体的长宽高为6，4，2

∴这个长方体的体积为6×4×2=48

故答案为48应选D

4．三棱柱中，，，，，侧棱长为，则其侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图，由已知条件可知，侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形.

在中，，，

∴，∴.

∵，，

∴点到直线的距离为.

∴.

∴.

故选C

5．（多选题）下列结论中，正确的是（       ）

B.在棱柱中，；

C .在正棱锥中，；

D.棱锥的体积是棱柱体积的三分之一。

【答案】BC

【解析】直棱柱的侧面积是底面周长乘以侧棱长，选项A错；根据棱锥的体积公式可知选项B正确；选项C正确；等底等高的棱锥体积是棱柱体积的三分之一，选项D错。故选BC。

6.（多选题）如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是（    ）

A．直三棱柱侧面积是 B．直三棱柱体积是

C．三棱锥的体积为定值 D．的最小值为

【答案】ACD

【解析】在直三棱柱中，，，

底面和是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+，故A正确；

直三棱柱的体积为，故B不正确；

由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱上的一个动点， 三棱锥的高为定值，

××2＝，××＝，故C正确；

设BE＝x，则B1E＝2﹣x，在和中，∴＝．由其几何意义，

即平面内动点（x，1）与两定点（0，0），（2，0）距离和的最小值，由对称可知，当为的中点时，其最小值为，故D正确．

故选：ACD．

三、填空题

7．【2019年江苏省高考数学试卷】如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.

【答案】10.

【解析】因为长方体的体积为120，

所以，

因为为的中点，

所以，

由长方体的性质知底面，

所以是三棱锥的底面上的高，

所以三棱锥的体积.

8．如图所示，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，记平面分三棱台两部分的体积为（三棱柱），两部分，那么______.

【答案】3：4

【解析】设三棱台的高为，上底面的面积是，则下底面的面积是，

，.

故答案为：..

9．正六棱柱的高为，最长的对角线为，则它的侧面积为______．

【答案】

【解析】设正六棱柱的底面边长为，

则底面上最长对角线长为，

所以由，解得，

所以侧面积为.

故答案为

10．【五省优创名校2019届高三联考（全国I卷)数学（文)试题】

已知正三棱柱ABC—A1B1C1的高为6，AB＝4，点D为棱BB1的中点，则四棱锥C—A1ABD的表面积是________，三棱柱的体积为           。

【答案】   

【解析】正三棱柱的高为6，，

四棱锥的表面为等腰三角形，

，到距离为，

，

梯形的面积为，，

，

所以，四棱锥的表面积为

，

三棱柱的体积为

四、解答题

11．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．

【答案】，

【解析】如图，，在中，．

，E为BC的中点，

侧棱长都相等，

，

12．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？

【答案】

【解析】由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.因为A1B1＝AB＝6 m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝··PO1＝×62×2＝24(m3)；

正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积

V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，

所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3).

故仓库的容积是312 m3.