高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课时练习

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8.3　简单几何体的表面积与体积8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.如图，已知直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为1，则四棱锥C-AA'B'B的体积是（　　）A.13 B.12 C.23 D.34【答案】C【解析】因为VC -A'B'C'=13V柱=13，所以VC -AA'B'B=1-13=23.2.若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（　　）A.3 B.2 C.23 D.32【答案】A【解析】如图，正方体的A'，C'，D，B的四个顶点可构成一个正四面体，设正方体棱长为a，则正四面体棱长为2a.∴正方体表面积S1=6a2，正四面体表面积为S2=4×34×（2a）2=23a2，∴S1S2=6a223a2=3.3.如图，直三棱柱ABC-A'B'C'的体积为V，点P，Q分别在侧棱AA'和CC'上，AP=C'Q，则四棱锥B-APQC的体积为（　　）A.V2B.V3C.V4D.V5【答案】B4.正三棱锥的底面边长为a，高为66a，则此棱锥的侧面积等于（　　）A.34a2 B.32a2 C.334a2 D.332a2【答案】A【解析】侧棱长为66a2+33a2=22a，斜高为22a2-a22=a2，故S侧=3×12×a×a2=34a2.5.四棱台的上、下底面分别是边长为x和y的正方形，各侧棱长都相等，高为z，且侧面积等于两底面的面积之和，则下列关系式中正确的是（　　）A.1x=1y+1zB.1y=1x+1zC.1z=1x+1yD.1z=1x+y【答案】C【解析】由条件知，各侧面是全等的等腰梯形，设其高为h'，则根据条件得4·x+y2·ℎ'=x2+y2,z2+y-x22=ℎ'2,消去h'得4z2（x+y）2+（y-x）2（y+x）2=（x2+y2）2.∴4z2（x+y）2=4x2y2，∴z（x+y）=xy，∴1z=1x+1y.6.已知棱长为1，各面均为等边三角形的四面体，则它的表面积是　　　　　，体积是　　　　　. 【答案】3　212【解析】S表=4×34×12=3，V体=13×34×12×12-332=212.7.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC'B'F将三棱柱分成体积为V1（棱台AEF-A'C'B'的体积）、V2的两部分，则V1∶V2=　　　　　. 【答案】7∶5【解析】设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V=V1+V2=Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF=14S.所以V1=13ℎS+14S+S·S4=712Sh，V2=V-V1=512Sh.所以V1∶V2=7∶5.8.已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高.解：如图，在三棱台ABC-A'B'C'中，O'，O分别为上、下底面的中心，D，D'分别为BC，B'C'的中点，则DD'是等腰梯形BCC'B'的高，所以S侧=3×12×（20+30）·DD'=75DD'.又A'B'=20 cm，AB=30 cm，所以上、下底面的面积之和为S上+S下=34×（202+302）=3253（cm2）.由S侧=S上+S下，得75DD'=3253，所以DD'=1333 cm.又O'D'=36×20=1033（cm），OD=36×30=53（cm），所以棱台的高为O'O=DD'2-(OD-O'D')2=13332-53-10332=43（cm）.9.如图，正三棱锥P-ABC的底面边长为a，高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1，B1，C1分别在三条棱上，A0，B0，C0分别在底面△ABC上，求此三棱柱的侧面积的最大值.解：设三棱锥的底面中心为O，连接PO（图略），则PO为三棱锥的高，设A1，B1，C1所在的平面与PO交于O1点，则A1B1AB=PO1PO，令A1B1=x，而PO=h，则PO1=ℎax，于是OO1=h-PO1=h-ℎax=h1−xa.所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h1−xa=3ℎa（a-x）x=3ℎaa24− x−a22.当x=a2时，S有最大值为34ah，此时O1为PO的中点.