人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积第2课时测试题

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积第2课时测试题，共5页。
基础强化
1.若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的( )
A．8倍 B．4倍
C．2 eq \r(2) 倍 D．2倍
2．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的体积为( )
A． eq \f(16π,3) B． eq \f(4π,3)
C． eq \f(32π,3) D．4π
3．如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( )
A． eq \f(5,9) B． eq \f(9,5) C．2倍 D．3倍
4．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．2∶1 D．2∶3
5．一正四棱柱的底面边长为2，高为4，则该正四棱柱的外接球的表面积为( )
A．6π B．12π
C．8 eq \r(6) π D．24π
6．(多选)正四棱锥P­ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P­ABCD的体积为( )
A． eq \f(3\r(2),2) B． eq \f(\r(2),2)
C．2 eq \r(2) D． eq \r(2)
7．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________．
8．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为6 cm，深为1 cm的空穴，则该球的体积是________ cm3.
9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
10．若一个底面边长为 eq \f(\r(6),2) ，侧棱长为 eq \r(6) 的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．
能力提升
11.已知正三棱柱ABC­A1B1C1所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为( )
A．48π B．64π
C．84π D．144π
12．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A．π B． eq \f(3π,4) C． eq \f(π,2) D． eq \f(π,4)
13．如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为( )
A．4∶3 B．3∶1
C．3∶2 D．9∶4
14．(多选)长方体ABCD ­A1B1C1D1的长、宽、高分别为3，b，c(3>b>c)，体积为6，外接球的表面积为14π，则下列说法正确的是( )
A．长方体的长、宽、高分别为3，2，1
B．沿长方体的表面从A到C1的最短路径长度为2 eq \r(5)
C．与这个长方体表面积相等的正方体的棱长为2
D．设与这个长方体体积相等的正四面体的棱长为m，则m3＝36 eq \r(2)
[答题区]
15.在封闭的直三棱柱ABC ­A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．
16．已知一个球的外切圆台的上、下底面半径分别为r、R，求出该球的表面积．
参考答案
1．解析：若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的 eq \r(2) 倍，则球体积扩大为原来的2 eq \r(2) 倍．故选C.
答案：C
2．解析：根据题意知，此球为正方体的内切球，所以球的直径等于正方体的棱长，故r＝1，所以V＝ eq \f(4,3) πr3＝ eq \f(4π,3) .故选B.
答案：B
3．解析：设小球半径为1，则大球的表面积S大＝36π，S小＋S中＝20π， eq \f(36π,20π) ＝ eq \f(9,5) .故选B.
答案：B
4．解析：设球的半径为r，依题意圆柱的底面半径也是r，高是2r，圆柱的侧面积＝2πr·2r＝4πr2，球的表面积为4πr2，其比例为1∶1，故选A.
答案：A
5．解析：设正四棱柱的外接球半径为R，因为正四棱柱的底面边长为2，高为4，所以(2R)2＝22＋22＋42＝24，得R2＝6，所以该正四棱柱的外接球的表面积为4πR2＝24π，故选D.
答案：D
6．解析：因为正四棱锥P­ABCD的底面积为3，所以底面边长为 eq \r(3) ，因为外接球的表面积为8π，所以球的半径r＝ eq \r(2) .连接AC，BD交于点O(图略).
①当球心在线段PO上时，计算得PO＝r＋ eq \r(r2－OA2) ＝ eq \r(2) ＋ eq \r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(3\r(2),2) ，所以正四棱锥P­ABCD的体积为 eq \f(1,3) ×3× eq \f(3\r(2),2) ＝ eq \f(3\r(2),2) ；②当球心在线段PO的延长线上时，计算得PO＝r－ eq \r(r2－OA2) ＝ eq \r(2) － eq \r(（\r(2)）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(2),2) ，所以正四棱锥P­ABCD的体积为 eq \f(1,3) ×3× eq \f(\r(2),2) ＝ eq \f(\r(2),2) .
答案：AB
7．解析：设此球的半径为R，则4πR2＝ eq \f(4,3) πR3，解得R＝3.
答案：3
8．解析：设球的半径为r cm，则(r－1)2＋32＝r2，解得r＝5.所以球的体积为 eq \f(4,3) π×r3＝ eq \f(4,3) π×125＝ eq \f(500π,3) (cm3).
答案： eq \f(500π,3)
9．解析：该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
该组合体的体积V＝ eq \f(4,3) πr3＋πr2l＝ eq \f(4,3) π×13＋π×12×3＝ eq \f(13π,3) .
10．解析：
如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接BE，AD交于点O，连接BE1，
则BE＝2OE＝2DE，所以BE＝ eq \r(6) ，
在Rt△BEE1中，BE1＝ eq \r(BE2＋E1E2) ＝2 eq \r(3) ，
所以2R＝2 eq \r(3) ，则R＝ eq \r(3) ，
所以球的体积V球＝ eq \f(4,3) πR3＝4 eq \r(3) π，
球的表面积S球＝4πR2＝12π.
11．解析：
如图，D为棱BC的中点，G为正△ABC的中心，O为外接球的球心，根据直棱柱外接球的性质可知OG∥AA1，OG＝ eq \f(1,2) AA1＝3，外接球半径R＝OC，∵正△ABC的边长为6，则CG＝2 eq \r(3) ，∴R2＝OC2＝OG2＋CG2＝21，外接球的表面积S＝4πR2＝84π，故选C.
答案：C
12．解析：设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(2)) ＝ eq \f(\r(3),2) .∴圆柱的体积为V＝πr2h＝ eq \f(3,4) π×1＝ eq \f(3π,4) .故选B.
答案：B
13．解析：
作圆锥的轴截面，如图，设球半径为R，则圆锥的高h＝3R，圆锥底面半径r＝ eq \r(3) R，则l＝ eq \r(h2＋r2) ＝2 eq \r(3) R，所以 eq \f(S圆锥侧,S球) ＝ eq \f(πrl,4πR2) ＝ eq \f(π×\r(3)R·2\r(3)R,4πR2) ＝ eq \f(3,2) .故选C.
答案：C
14．解析：对于A，因为长方体ABCD ­A1B1C1D1的外接球的表面积为14π，设长方体ABCD ­A1B1C1D1的外接球的半径为R，则4πR2＝14π，所以R＝ eq \f(\r(14),2) ，所以32＋b2＋c2＝(2R)2＝14 ①，因为长方体ABCD ­A1B1C1D1的体积为6，所以3bc＝6 ②，又3>b>c，由①②解得b＝2，c＝1，故A正确；对于B，沿长方体的表面从A到C1，可将长方体的两个相邻的面展开成矩形，最短路径是这个矩形的对角线，这样的矩形共有3种，对角线长度为 eq \r(（2＋3）2＋12) ＝ eq \r(26) 或 eq \r(（1＋3）2＋22) ＝2 eq \r(5) 或 eq \r(（1＋2）2＋32) ＝3 eq \r(2) ，因为3 eq \r(2) ＝ eq \r(18)