北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式集体备课课件ppt

这是一份北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式集体备课课件ppt，共51页。PPT课件主要包含了a2-b2，平方差公式，平方差，利用平方差公式计算，a+b，用图形验证平方差公式，a-b，a+ba-b，平方差公式的灵活运用，a2+2ab+b2等内容，欢迎下载使用。
【新知探究】1.平方差公式:(a+b)(a-b)=　 　。即两数和与这两数差的积,等于它们的　 　。 2.结构特点(1)公式的左边是两个二项式的积,并且这两个二项式中一项相同,另一项互为相反数(式);(2)公式右边是左边括号内相同项的平方减去相反项的平方。(3)公式中的a和b可以代表数,也可以是代数式。
【例1】 判断下列式子能否运用平方差公式进行计算,能用的进行计算,不能用的说出原因:(1)(a+b)(a-c);(2)(a+b)(-b-a);(3)(-a+b)(a-b);
解:(1)不能,因为没有互为相反数的项,所以不能运用平方差公式进行计算。(2)不能,因为没有相同的项,所以不能运用平方差公式进行计算。(3)不能,因为没有相同的项,所以不能运用平方差公式进行计算。
(4)(-a+b)(a+b);(5)(a+b)(b-a);(6)(-2a+b)(-2a-b)。
解:(4)能,(-a+b)(a+b)=b2-a2。(5)能,(a+b)(b-a)=b2-a2。(6)能,(-2a+b)(-2a-b)=4a2-b2。
应用平方差公式的注意事项(1)识别:识别相同的项,互为相反数的项;(2)变形:将算式变形为(a+b)(a-b)的形式;(3)运算:代入公式计算,并将结果化为最简形式。
【新知巩固】1.下列各式中,能用平方差公式计算的是( )A.(a+2b)(2a-b)B.(a-3)(-a+3)C.(x-3)(x-3)D.(2x+y)(2x-y)2.如果计算(x+my)(x+ny)时能使用平方差公式,那么m,n应满足( )A.m,n同号B.m,n异号C.m+n=0D.mn=1
3.等式(-a-1)(　　)=a2-1中,括号内应填入( )A.a+1B.-1-aC.1-aD.a-1
【例2-1】 计算:(1)(x3-y)(x3+y);(2)(-xm+yn)(-xm-yn);
解:(1)(x3-y)(x3+y)=(x3)2-y2=x6-y2。
(2)(-xm+yn)(-xm-yn)=(-xm)2-(yn)2=x2m-y2n。
(3)(m+n)(m-n)(m2+n2);(4)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y)。
解:(3)(m+n)(m-n)(m2+n2)=(m2-n2)(m2+n2)=(m2)2-(n2)2=m4-n4。
(4)(3x-y)(9x2+y2)(3x+y)=(3x-y)(3x+y)(9x2+y2)=[(3x)2-y2](9x2+y2)=(9x2-y2)(9x2+y2)=(9x2)2-(y2)2=81x4-y4。
【例2-2】 先化简再求值:(2m+3)(2m-3)-(m-1)(m+5),其中m=-1。
解:(2m+3)(2m-3)-(m-1)(m+5)=4m2-9-(m2+5m-m-5)=4m2-9-m2-4m+5=3m2-4m-4。当m=-1时,原式=3×(-1)2-4×(-1)-4=3+4-4=3。
【新知巩固】1.下列计算正确的是( )A.(x2+3)(x2-3)=x2-9B.(x+3)(x-2)=x2-6C.(3x+2)(3x-2)=3x2-4D.(-x+y)(-x-y)=x2-y22.(2024成都期末)已知实数a,b满足a-b=-3,a+b=2,则代数式a2-b2的值为　 　。 
3.(2024西安期中)某社区组织老年人参加太极拳比赛,由于比赛场地的原因,要把每边x人的方队一边增加2人,另一边减少2人,实际参加比赛的人比原来　 　人。 4.运用平方差公式计算:(1)(2a+2b)(2a-2b);
解:(1)(2a+2b)(2a-2b)=(2a)2-(2b)2=4a2-4b2。
解:(2)(-2a-3b)(2a-3b)=(-3b-2a)(-3b+2a)=(-3b)2-(2a)2=9b2-4a2。
(4)(1-a)(a+1)(a2+1)(a4+1)。
解:(4)(1-a)(a+1)(a2+1)(a4+1)=(1-a2)(1+a2)(a4+1)=(1-a4)(1+a4)=1-a8。
5.(2024唐山期末)已知代数式:b(a-4b)-(a+2b)(a-2b)。(1)化简这个代数式;(2)若(a-b)2=0,求原代数式的值。
解:(1)b(a-4b)-(a+2b)(a-2b)=ab-4b2-(a2-4b2)=ab-4b2-a2+4b2=ab-a2。
(2)因为(a-b)2=0,所以a=b。所以原式=a2-a2=0。
第2课时　平方差公式的应用
【例1】 在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b),如图(1)所示,把余下部分沿虚线剪开拼成一个长方形,如图(2)所示。(1)图(2)中阴影部分的长是　 　,宽是　 　,这个长方形的面积为　 　; (2)图(1)中阴影部分的面积是　 　; (3)比较(1),(2)的结果,可验证的公式是　 　。 
(a+b)(a-b)=a2-b2
【新知巩固】1.如图(1)所示,边长为a的大正方形中有一个边长为2的小正方形,若将图(1)中的阴影部分沿虚线剪开,拼成一个长方形如图(2)所示,上述操作能验证的等式是( )A.a(a+4)=a2+4aB.(a+4)(a-4)=a2-16C.(a+2)(a-2)=a2-4D.(a+2)2=a2+4a+4
2.如图(1)所示,将边长为a的大正方形剪去四个边长均为b的小正方形,将阴影部分拼成了一个长方形,如图(2)所示,则这个长方形的面积为( )A.a2-4b2B.(a+b)(a-b)C.(a+2b)(a-b)D.(a+b)(a-2b)
3.小明把L形的纸片进行如图所示的剪拼,改造成了一个长方形纸片,结合上述图形验证平方差公式。请进行具体说理。
解:由题图,知长方形纸片的面积为S长方形=(a+b)(a-b),L形纸片的面积为SL形=a2-b2。因为S长方形=SL形,所以(a+b)(a-b)=a2-b2。
4.如图(1)所示,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图(2)所示的等腰梯形。(1)设图(1)中阴影部分面积为S1,图(2)中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2;(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式。
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2。
【例2-1】 用平方差公式计算:(1)198×202;
解:(1)198×202=(200-2)×(200+2)=2002-22=40 000-4=39 996。
(2)1012-1;(3)(a+1)(a-1)(2a2+2)。
解:(2)1012-1=(101-1)(101+1)=100×102=10 200。(3)(a+1)(a-1)(2a2+2)=(a2-1)(2a2+2)=2(a2-1)(a2+1)=2(a4-1)=2a4-2。
【例2-2】 先化简,后求值:(2x-y)(2x+y)-(3x+2y)(3x-2y),其中x=-1,y=2。
解:(2x-y)(2x+y)-(3x+2y)(3x-2y)=4x2-y2-(9x2-4y2)=4x2-y2-9x2+4y2=-5x2+3y2。当x=-1,y=2时,原式=-5×(-1)2+3×22=7。
【新知巩固】1.将204×196变形更易于简便计算的是( )A.(203+1)(195+1)B.(202+2)(200-4)C.(200+4)(200-4)D.(210-6)(200-4)2.计算:399×401+1=　 　。 
3.用平方差公式简便计算。(1)195×205;(2)9×11×101。
解:(1)195×205=(200-5)×(200+5)=2002-52=40 000-25=39 975.(2)9×11×101=(10-1)(10+1)(100+1)=(100-1)(100+1)=1002-1=9 999。
5.小明遇到下面一个问题:计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)。经过观察,小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构,进而应用平方差公式解决问题,具体解法如下:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)=(28-1)(28+1)=216-1。
请你根据小明解决问题的方法,试着解决下面的问题:计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)。
第3课时　完全平方公式的认识
【新知探究】1.完全平方公式:(a+b)2=　 　,(a-b)2=　 　。即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加上(或减去)它们的积的2倍。 2.结构特点(1)左边是两数和(差)的平方;(2)右边是这两数的平方和加上(减去)这两数积的两倍。即“首平方,尾平方,首尾2倍放中央,符号看前方”。
解:(1)(3x+1)2=(3x)2+2×3x+12=9x2+6x+1。(2)(2x-5)2=(2x)2-2×2x×5+52=4x2-20x+25。(3)(-x+4)2=(-x)2+2×(-x)×4+42=x2-8x+16。
【新知巩固】1.下列计算正确的是( )A.(2a+1)2=4a2+1B.(-2a-1)2=-4a2-4a-1C.(2a-1)2=4a2-1D.(-2a+1)2=4a2-4a+12.若(x+3)2=x2-mx+9,则m的值为　 　。 3.若a2+2a-2=0,则(a+1)2的值为　 　。 
(3)(-0.2a-7b)2=0.04a2+2.8ab+49b2。
【例2】 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式,根据如图所示的图形得到的数学公式为　 　。 
(a-b)2=a2-2ab+b2
用图形验证完全平方公式
【新知巩固】1.通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式,用这种方法可得到整式乘法中的一些运算法则或公式,利用如图所示的图形可得的乘法公式为　 　。 
(a+b)2=a2+2ab+b2
2.用正方形面积来说明公式:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。
解:如图所示。(a+b+c)2=S1+S2+S3+…+S9=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。
第4课时　完全平方公式的应用
【例1-1】 简便计算:(1)1032;(2)1982;(3)2002-400×199+1992。
完全平方公式的直接应用
解:(1)1032=(100+3)2=1002+2×100×3+32=10 000+600+9=10 609。(2)1982=(200-2)2=2002-2×200×2+22=40 000-800+4=39 204。(3)2002-400×199+1992=2002-2×200×199+1992=(200-199)2=1。
【新知巩固】1.(2024唐山一模)计算:952+10×95+52=　 　。 2.计算:(1)1 0052;(2)79.82。
解:(1)1 0052=(1 000+5)2=1 0002+2×1 000×5+52=1 000 000+10 000+25=1 010 025。(2)79.82=(80-0.2)2=802-2×80×0.2+0.22=6 400-32+0.04=6 368.04。
3.计算:(1)(2x-3y)2-(y-3x)(3x-y);(2)(3-2x+y)(3+2x-y)。
解:(1)(2x-3y)2-(y-3x)(3x-y)=(2x-3y)2+(y-3x)2=4x2-12xy+9y2+y2-6xy+9x2=13x2-18xy+10y2。
(2)(3-2x+y)(3+2x-y)=[3-(2x-y)][3+(2x-y)]=9-(2x-y)2=9-4x2+4xy-y2。
【例2】 如图(1)所示的是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形,然后按图(2)的方式拼成一个正方形。(1)图(2)中阴影部分的正方形的边长等于　　　　　　　　; 
完全平方公式的变形应用
(2)请用两种不同的方法列代数式表示图(2) 中阴影部分的面积。方法①:　　　　　　　　, 方法②:　　　　　　　　; (3)观察图(2),试写出(m+n)2,(m-n)2,mn这三个代数式之间的等量关系　　　　　　　　　　　　　。 (4)根据(3)题中的等量关系,解决如下问题:若a+b=5,ab=2,求(a-b)2及a2+b2的值。
解:(2)(m-n)2　(m+n)2-4mn(3)(m-n)2=(m+n)2-4mn(4)因为(a-b)2=(a+b)2-4ab,又a+b=5,ab=2,所以(a-b)2=52-4×2=17。a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×2=21。
完全平方公式的变形(1)(a+b)2-2ab=a2+b2;(a-b)2+2ab=a2+b2;(3)(a+b)2-(a-b)2=4ab。
4.(1)课本再现:图(1),图(2)应用“等积法”验证了乘法公式,是“数形结合”的典型实例。图(1)验证的是　　 　　,图(2)验证的是　　　　　　　　; 
解:(1)(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)(a-b)=a2-b2
(2)应用公式计算:①已知x+y=6,xy=-2,求x2+y2的值;②求9×1.22-16×1.42的值。
解:(2)①因为x+y=6,xy=-2,所以x2+y2=(x+y)2-2xy=62-2×(-2)=36+4=40。②9×1.22-16×1.42=32×1.22-42×1.42=3.62-5.62=(3.6+5.6)×(3.6-5.6)=-18.4。
【例3】 (2024瑞安期中)某校七(1)班同学参加了学校“科技点亮未来”的创新比赛,用KT板制作了宣传版画,它是由一个三角形、两个梯形组成,相关尺寸如图所示。(1)用含a,b的代数式表示宣传版画的总面积(结果需化简);
完全平方公式的实际应用
【新知巩固】1.一个底面是正方形的长方体,高为6 cm,底面正方形的边长为a cm,如果它的高不变,底面正方形的边长增加5 cm,则这个长方体的体积增加了　 　。 2.设圆的半径为r cm,把半径增加3 cm,得到一个大圆,把半径减少2 cm,得到一个小圆,则大圆的面积比小圆的面积大　 　。3.如图所示,将长方形ABCD的各边向外作正方形,若四个正方形的周长之和为32,面积之和为12,则长方形ABCD的面积为　 　。 
(60a+150)cm3
5π(2r+1)cm2