初中数学乘法公式课时训练

这是一份初中数学乘法公式课时训练，文件包含专题13乘法公式十大题型举一反三北师大版2024原卷版docx、专题13乘法公式十大题型举一反三北师大版2024解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。

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\l "_Tc180" 【题型1 利用乘法公式进行简便运算】 PAGEREF _Tc180 \h 2
\l "_Tc19409" 【题型2 利用乘法公式求代数式的值】 PAGEREF _Tc19409 \h 2
\l "_Tc25106" 【题型3 由完全平分式求字母的值】 PAGEREF _Tc25106 \h 2
\l "_Tc25012" 【题型4 平方差公式的几何背景】 PAGEREF _Tc25012 \h 3
\l "_Tc24586" 【题型5 完全平方公式的几何背景】 PAGEREF _Tc24586 \h 4
\l "_Tc24579" 【题型6 乘法公式的应用】 PAGEREF _Tc24579 \h 6
\l "_Tc22301" 【题型7 乘法公式的证明】 PAGEREF _Tc22301 \h 7
\l "_Tc5360" 【题型8 由乘法公式求最值】 PAGEREF _Tc5360 \h 9
\l "_Tc6527" 【题型9 乘法公式的规律探究】 PAGEREF _Tc6527 \h 9
\l "_Tc7022" 【题型10 乘法公式中的新定义问题】 PAGEREF _Tc7022 \h 10
知识点：乘法公式
1．平方差公式
（1）平方差公式
语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．
（2）平方差公式的特点
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．
②右边是相同项的平方减去相反项的平方．
③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．
2．完全平方公式
（1）完全平方公式
，
语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．
（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．
【题型1 利用乘法公式进行简便运算】
【例1】（23-24七年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算：502−49×51= ．
【变式1-1】（23-24七年级·宁夏银川·阶段练习）计算：
(1)99×101；
(2)20012−1．
【变式1-2】（23-24七年级·上海徐汇·阶段练习）计算：201920192−2020×2018= .
【变式1-3】（23-24七年级·湖南怀化·期末）计算：1012÷1−1221−1321−142…1−1202221−120232= ．
【题型2 利用乘法公式求代数式的值】
【例2】（23-24七年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．
【变式2-1】（23-24七年级·山东聊城·期末）若x+2y=8，x2+4y2=36，则xy= ．
【变式2-2】（23-24七年级·江苏盐城·期中）如果a2−2a=1，那么代数式a(a−2)+(a−1)2的值为（ ）
A．−1B．1C．3D．2
【变式2-3】（23-24七年级·重庆北碚·期末）已知a，b满足a2+1b2+4=8ab，则ab+1b= ．
【题型3 由完全平分式求字母的值】
【例3】（23-24七年级·全国·课后作业）若多项式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是 ．
【变式3-1】（23-24七年级·山东青岛·期末）若x2−kx+36是一个完全平方式，则k= ．
【变式3-2】（23-24七年级·陕西宝鸡·期末）已知x2+2k+1x+16是一个完全平方式，则k的值为（ ）
A．2B．3或−5C．1D．±2
【变式3-3】（23-24七年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式x2+x4+ 是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）
【题型4 平方差公式的几何背景】
【例4】（23-24七年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．
(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；
(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？
【变式4-1】（23-24七年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a，CD=b．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为（ ）
A．4a2−4b2B．4abC．a2−b2D．ab
【变式4-2】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】
（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；
【知识应用】
（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=a+2ma−2m，Q=a+ma−m，比较P、Q大小；
【知识迁移】
（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．

【变式4-3】（23-24七年级·河南濮阳·阶段练习）如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式）
（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；
（4）结合（3）的公式，计算：①(x−2)(x+2)x2+4；
②1+121+1221+1241+128+1215．
【拓展】
直接写出2+122+124+128+1⋯232+1+1结果的个位数字．
【题型5 完全平方公式的几何背景】
【例5】（23-24七年级·江苏扬州·阶段练习）我们知道，通过几何图形的面积可以表示一些代数慎等式．
例如：如图1 得到a+b2=a2+2ab+b2，基于此，请回答下列问题．
(1)【直接应用】
若x+y=3，x2+y2=5，则xy= ______．
(2)【类比应用】
若x3−x=1，则x2+3−x2=______．
(3)【知识迁移】
两块完全一样的直角三角板∠AOB=∠COD=90° 如图2放置，其中A，O，D在一条直线上，连接AC，BD．若AD=16，△AOC和△BOD的面积和S△AOC+S△BOD=68，求四边形ABCD的面积．
【变式5-1】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．24B．29C．41D．45
【变式5-2】（23-24七年级·浙江杭州·期中）在数学活动课上，一位同学用四张完全一样的长方形纸片（长为a，宽为b，a>b）搭成如图一个大正方形，面积为132，中间空缺的小正方形的面积为28．下列结论中，不正确的有（ ）
A．a−b2=28；B．ab=26
C．a2+b2=80D．a2−b2=64
【变式5-3】（23-24七年级·安徽合肥·期中）某些等式可以根据几何图形的面积关系进行解释，例如，等式2a+ba+b=2a2+3ab+b2就可以用图（1）的面积关系来解释：图（1）的面积为2a+ba+b，各部分的面积之和为2a2+3ab+b2，故2a+ba+b=2a2+3ab+b2．

(1)根据图（2）的面积关系可以解释的一个等式为________；
(2)已知等式x+px+q=x2+p+qx+pq，请你画出一个相应的几何图形；
(3)请你设计一个几何图形，并解释：a+ba−b=a2−b2．
【题型6 乘法公式的应用】
【例6】（23-24七年级·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ．
【变式6-1】（23-24七年级·湖南邵阳·期中）如图，某校一块边长为2am的正方形空地是七年级四个班的清洁区，其中分给七年级（1）班的清洁区是一块边长为a−2bm的正方形．(0