北师大版（2024）七年级下册（2024）乘法公式教课内容课件ppt

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理解平方差公式的推导过程，掌握公式的结构特征，能运用平方差公式进行简单的整式乘法计算和有理数的简便运算。
经历从具体数值计算到抽象公式推导的过程，体会从特殊到一般的归纳方法，培养观察、分析、归纳和应用的能力。
在公式探究和应用中感受数学的简洁美与实用性，激发学习代数的兴趣，增强学好数学的自信心。
多项式乘以多项式的运算法则法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
（1）快速计算下列两组运算，对比哪组计算更简便？
第二组（多项式乘法）：
第二组式子有什么共同特征？为什么计算更简便？
（2）你能从第二组数的运算中归纳规律吗？
（3）等式左边两个数的形式有什么特点？右边的结果与左边的数有什么关系？
两数_____的___
左边是两数和与两数差和积，右边的结果是这两个数的平方差。
（1）(x+2) (x–2)
（2）(1+3a) (1–3a)
（3）(x+5y) (1–5y)
（4）(2y+z) (2y–z)
= x2 – 2x + 2x – 22
= 1 – 3a + 3a – (3a)2
= 1 – (3a)2
= x2 – 5xy + 5xy – (5y)2
= x2 – (5y)2
= (2y)2 – 2yz + 2yz – z2
= (2y)2 – z2
（1）用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积：
两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。
（2）观察以上算式及其运算结果，你有什么发现?
（3）你能再举一些类似的例子吗?与同伴进行交流。
(a + b)(a - b) = a2 - b2
（1）(3m + 1)(3m - 1); （2）(x2 + y)(x2 - y).
（1）原式= 9m2 - 3m + 3m – 1 =9m2 – 1
（2）原式= x4 - x2y + yx2 - y2 = x4 - y2
（4）你能用字母表示你发现的规律吗?
平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中p=a，q=－b的特殊情形。
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差
指出下面式子中对应平方差公式中的a、b 是什么？
(a + b) (a - b) = a2-b2
(相同项)2－(相反项)2
判断下列式子能否用平方差公式计算，为什么？
② (2x+3)(3x-2)；
① (x＋2)(x－2)；
③(a － 4)(－ a － 4).
(x+2)(x－2) 表示x与2的和乘以x与2的差，符合平方差公式结构特征
表示 与 的和
表示 与 的差
(a － 4)(－ a － 4) 表示-4与a的和乘以-4与a的差，符合平方差公式结构特征
如何计算(a – b)(– a – b) ?你是怎样做的?
注意:对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用。
(a – b) (– a – b)= (a – b) [–(a + b )] =– (a – b) (a + b ) = – (a2 – b2)= b2 – a2
（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) ；
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) ；
（3） (– m + n ) (– m – n) 。
解：（1）( 5 + 6x ) ( 5 – 6x ) = 52–(6x)2 = 25 – 36x2 ；
（2） ( x – 2y ) ( x + 2y ) = x2– (2y)2 =x2– 4y2；
（3） (– m + n ) (– m – n) = (– m)2 – n2 =m2– n2 。
运用公式关键：先确定相同项“a”和相反项“b”。前后同号“a”，前后异号为“b”
例 2 利用平方差公式计算
（2）(ab + 8)(ab – 8) 。
（2）(ab + 8)(ab – 8) = (ab)2 – 82 =a2b2 – 64 。
【分析】 本计算形式稍复杂些，首先要判断每一个算式中与公式中的字母a，b相对应的分别是什么，再直接应用平方差公式计算。
【分析】先按照多项式乘多项式运算法则和平方差公式展开，再合并同类项即可．
（1）( a + 2)( a – 2) ；（2）(3a + 2b)(3a – 2b)。
解:（1） ( a + 2)( a – 2)
（2） (3a + 2b)(3a – 2b)
= (3a)2 – (2b)2
= 9a2 – 4b2
（3）(– x –1)(1– x) ； （4）(– 4k + 3)(– 4k – 3)。
解:（3）原式= (– x –1)(– x +1)
= (– x)2 –12
（4） (– 4k + 3)(– 4k – 3)
= (– 4k)2 – 32
1．（2025•黑龙江）下列运算正确的是（　　）A．a4•a3＝a6 B．2a+3b＝6abC．（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9 D．（﹣a+b）（a+b）＝a2﹣b2
解：a4•a3＝a7，则A不符合题意， 2a与3b不是同类项，无法合并，则B不符合题意，（﹣2a2b3）3＝﹣8a6b9，则C符合题意，（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，则D不符合题意，
3．（2025•湖南）先化简，再求值：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x），其中x＝6．
解：（x+2）（x﹣2）+x（1﹣x）＝x2﹣4+x﹣x2＝x﹣4，当x＝6时，原式＝6﹣4＝2．
(2)公式结构： 左为“和乘差”（一项相同、一项相反）， 右为“平方差”（相同项平方减相反项平方）
(3)应用场景： 整式乘法运算、有理数简便计算.
（1）有些式子通过适当变形可以用公式（2）公式中的a和b可以是数,也可以是整式 （3）最后结果必须化简
(1)推导公式的方法：从特殊到一般的归纳法;(2)应用公式的步骤： 找相同项和相反项 →套用公式 →化简计算.
（1）(x+7y)(x-7y)；
（3）(mn-3n)(mn+3n) ；
（2）(0.2x-0.3)(0.2x+0.3)；
（4） (-2x+3y)(-2x-3y) ；
（6） (5m-n)(-5m-n) 。
解：（1）原式= x2-49y2；
（2）原式= 0.04x2-0.09；
（3）原式=（mn）²-（3n）² =m2n2-9n2；
（4）原式=（-2x）²-（3y）² = 4x2-9y2；
（6）原式=（-n）²-（5m）² = n2-25m2。
6.利用平方差公式计算：
（1）1 007×993 ；
（2）108×112。
解：（1）1007×993 =(1000+7)(1000-7) =10002-72 =1 000 000-49 =999 951；
（2）108×112 =(110-2)(110+2) =1102-22 =12 100-4 =12 096。