高中数学人教A版 (2019)必修 第二册基本立体图形优质导学案

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▉【知识点1 空间几何体的结构特征】
1．空间几何体的有关概念
(1)空间几何体的定义
对于空间中的物体，如果只考虑其形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间
图形就叫做空间几何体.
例如，一个牛奶包装箱可以抽象出长方体.
(2)定理的实质
多面体及其相关概念
①多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
②多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如图中面BCC'B'等.
③多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱，如图中棱AA'，棱BB'等.
④多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，如图中顶点A，B，A'等.
(3)旋转体及其相关概念
①旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭
的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
图为一个旋转体，它可以看成由平面曲线OAA'O'绕OO'所在的直线旋转而形成的.
②旋转体的轴：平面曲线旋转时所围绕的定直线叫做旋转体的轴.如图中直线OO'是该旋转体的轴.
2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
3．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体.
4．空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定.
(2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
▉【知识点2 简单组合体】
1．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义
由柱体、锥体、台体、球等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)简单组合体的构成形式
①由简单几何体拼接而成，如图(1)所示.
②由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图(2)所示.
(3)常见的几种组合体
①多面体与多面体的组合体：图(1)中几何体由一个四棱柱挖去一个三棱柱得到.
②多面体与旋转体的组合体：图(2)中几何体由一个三棱柱挖去一个圆柱得到.
③旋转体与旋转体的组合体：图(3)中几何体由一个球和一个圆柱组合而成.

2．正方体的截面形状的探究
通过尝试、归纳，有如下结论.
(1)截面可以是三角形：等边三角形、等腰三角形、锐角三角形.截面不可能是直角三角形、钝角三角形.
(2)截面可以是四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形.截面为四边形时，这个四
边形中至少有一组对边平行.
(3)截面可以是五边形，且此时五边形必有两组分别平行的边，同时有两个角相等.截面五边形不可能是
正五边形.
(4)截面可以是六边形，且此时六边形必有三组分别平行的边.截面六边形可以是正六边形.
对应截面图形如图中各图形所示

▉一．棱柱的结构特征（共10小题）
1．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、BC的中点，则过点E、F、D1的平面α与侧面BCC1B1的交线长为（ ）
A．133B．56C．52D．2
【答案】A
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为A1B1、BC的中点，
设平面α分别交棱CD、BB1于点M、N，
如下图所示：
因为平面EFD1∩平面ABCD＝FM，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面EFD1∩平面A1B1C1D1＝D1E，所以D1E∥FM，
又因为A1D1∥BC，由等角定理及图形可知∠A1D1E＝∠CFM，
则tan∠A1D1E＝tan∠CFM，即A1EA1D1=CMCF=12，故CM=12CF=12，
故DM=CD−CM=2−12=32，
因为平面AA1B1B∥平面CC1D1D，平面EFD1∩平面AA1B1B＝EN，
平面EFD1∩平面CC1D1D＝D1M，所以EN∥D1M，
又因为BB1∥DD1，由等角定理及图形可得∠DD1M＝∠B1NE，
所以tan∠DD1M＝tan∠B1NE，即DMDD1=B1EB1N=322=34，所以B1N=43B1E=43，
所以BN=BB1−B1N=2−43=23，故NF=BN2+BF2=(23)2+12=133．
因此，平面α与侧面BCC1B1的交线长为NF=133．
故选：A．
2．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC=62，BC＝CC1＝4，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为（ ）
A．45B．234C．85D．222
【答案】B
【解答】解：连接A1B，沿BC1将△CBC1翻折至与△A1BC1在同一个平面内，如图，连接A1C，
则A1C的长度即为CP+PA1的最小值，
因为A1C1⊥B1C1，又A1C1⊥CC1，CC1∩B1C1＝C1，CC1，B1C1⊂平面B1C1CB，
所以A1C1⊥平面B1C1CB，因为BC1⊂平面B1C1CB，
所以A1C1⊥BC1．
在平面图形中，因为BC＝CC1＝4，∠BCC1＝90°，
所以∠BC1C＝45°，∠A1C1C＝135°，A1C1=AC=62，
所以A1C=A1C12+C1C2−2A1C1⋅C1C⋅cs135°
=(62)2+42−2×62×4×(−22)=234．
故选：B．
3．圆柱高为4，底面积为π，在圆柱内部有一个可自由转动的正四面体，则该正四面体的最大棱长为（ ）
A．62B．32C．63D．263
【答案】D
【解答】解：由题意可知，圆柱高为4，底面积为π，则圆柱的底面半径为1，
当圆柱底面半径等于正四面体的外接球的半径时，正四面体有最大棱长a，
如图，在正四面体ABCD中，棱长为a，其外接球的半径为R＝1，
E为CD的中点，M为△BCD的中心，连接AM，则AM⊥平面BCD，
设O为正四面体ABCD外接球的球心，连接OB，
因为△BCD为正三角形，
所以BM=23BE=23×32a=33a，
在Rt△ABM中，AM=AB2−BM2=63a，
所以OM=AM−OA=63a−R，
在Rt△OBM中，由OM2+BM2＝OB2，
得(63a−R)2+(33a)2=R2，
解得R=64a=1，
则a=263．
故选：D．
4．下列叙述正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
C．边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积是2
D．直角三角形以其边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
【答案】C
【解答】解：对于A，有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体不一定是棱台，只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，选项A错误；
对于B，底面是正多边形．且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥是正棱锥，所以选项B错误；
对于C，边长为2的水平放置的正方形的斜二测画法直观图的面积是24×22=2，选项C正确；
对于D，直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥，以其斜边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是两个圆锥的组合体，选项D错误．
故选：C．
5．如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，再将容器倾斜，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB＝2，则该水平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面的面积为（ ）
A．3B．33C．4D．42
【答案】B
【解答】解：根据题意，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD，AB，AA1与平面A1BD所成的角是相等的，则水平面平行于平面A1BD，
又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截该正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，
又由该正方体棱长为2，则截面正六边形的边长为2，
如图，所以其面积S=6×34×(2)2=33．
故选：B．
6．下列命题中为真命题的是（ ）
A．圆柱的侧面展开图是一个正方形
B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱
D．球体是旋转体的一种类型
【答案】D
【解答】解：对于A，圆柱的侧面展开图是一个长方形，故A错误；
对于B，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故B错误；
对于C，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体是棱柱，故C错误；
对于D，球体是旋转体的一种类型，故D正确．
故选：D．
7．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是矩形，22AB=AD=AA1=1，点E为线段AB1的中点，点G是线段AC1上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则GE+GF的最小值为（ ）
A．34B．32C．23D．33
【答案】A
【解答】解：如图，
显然当F是G在底面ABCD的射影时，GE+GF才可能最小．
将平面AB1C1沿AC1翻折，使其与平面ACC1共面，如图所示，
由于22AB=AD=AA1=1，则B1C1=1，AB1=3，
所以tan∠B1AC1=33，
得∠B1AC1＝30°，
同理∠CAC1＝30°，而AE=12AB1=32，
显然当E，G，F三点共线且GF⊥AC时，GE+GF取得最小值，
此时(GE+GF)min=AEsin∠CAB1=32sin60°=34．
故选：A．
8．下列命题中错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
B．以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度形成的旋转体叫球
C．棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点
D．用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台
【答案】D
【解答】解：对于A，由棱柱的结构特征知，棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形，A正确；
对于B，以圆的直径所在直线为旋转轴，将圆面旋转180度，相当于以半圆的直径所在直线为旋转轴，
将半圆面旋转360度，由球的定义知，B正确；
对于C，由棱台的结构特征知，棱台的各条侧棱所在直线一定相交于一点，C正确；
对于D，当截面与棱锥底面不平行时，底面与截面之间的部分不是棱台，D错误．
故选：D．
9．下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有 ①②④ ．（序号）
①直径为0.99m的球体；
②所有棱长均为1.4m的四面体；
③地面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体；
④底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体．
【答案】①②④．
【解答】解：对于①，因为0.99＜1，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故①正确；
对于②，因为正方体的面对角线长为2m，且2＞1.4，所以能够被整体放入正方体内，故②正确；
对于③：因为正方体的体对角线长为3m，且3＜1.8，所以不能够被整体放入正方体内，故③不正确；
对于④，因为1.2＞1，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆．如图，过AC1的中点O作OE⊥AC，
设OE∩AC＝E，可知AC=2，CC1＝1，AC1=3，OA=32，
则tan∠CAC1=CC1AC=OEOA，
即12=OE32，
解得OE=64，且(64)2=38＞0.62，
即64＞0.6，
故以AC1为轴可能对称放置底面直径为1.2m的圆柱．
若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，
设圆柱的底面圆CO1与正方体的下底面的切点为M，可知AC1⊥O1M，O1M＝0.6，
tan∠CAC1=CC1AC=O1MAO1，
即12=0.6AO1，
解得AO1=0.62．
根据对称性可知圆柱的高为3−2×0.6×2≈1.732﹣1.2×1.414＝0.0352＞0.01，
所以能够被整体放入正方体内，故④正确．
故答案为：①②④．
10．如图1，一个正三棱柱形容器中盛有水，底面边长为4，侧棱AA1＝8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．现在固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜程度不同，水面的形状也不同．
（1）如图2，当底面ABC水平放置时，水面高为多少？
（2）当水面经过线段A1B1时，水面与地面的距离为多少？
（3）试分析容器围绕AB从图1的放置状态旋转至水面第一次过顶点C的过程中（不包括起始和终止位置），水面面积S的取值范围．（假设旋转过程中水面始终呈水平状态，不考虑水面的波动）
【答案】（1）6；（2）4；（3）(219，16)．
【解答】解：（1）记水面与棱AC，BC，A1C1，B1C1分别交于点D，E，E1，D1，
当侧面AA1B1B水平放置时，水是以ABED为底，高为8的直棱柱，
因为AB＝4，D、E分别为棱AC，BC的中点，
所以SABED=12×42×32−12×22×32=33，
所以水的体积为8×33=243，
当底面ABC水平放置时，设水面高为h1，
则34×42h1=243，解得h1＝6，
即当底面ABC水平放置时，水面高为6；
（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为34×42×8=323，
所以三棱锥C﹣A1B1C1的体积为13×323=3233，
空气部分的体积为323−243=83，
因为83＜3233，
所以当水面经过线段A1B1时，水面与棱CC1交于点G，
如图，
由VG−A1B1C1=13×34×42×GC1=83，
得GC1＝6，
记A1B1的中点为H，连接GH，C1H，
则C1H=A1C12−A1H2=23，
因为A1C1＝B1C1，所以C1H⊥A1B1，
又GC1⊥平面A1B1C1，A1B1，C1H⊂平面A1B1C1，
所以GC1⊥A1B1，GC1⊥C1H，
因为GC1∩C1H＝C1 GC1，C1H⊂平面GC1H，
所以A1B1⊥平面GC1H，
因为A1B1⊂平面GA1B1，所以平面GC1H⊥平面GA1B1，
所以直线GC1在平面GA1B1内的投影为GH，
所以∠C1GH 为直线GC1与水平面所成角，
又GC1⊥C1H，所以GH=GC12+C1H2=36+12=43，
所以sin∠C1GH=C1HGH=2343=12，
因为AA1∥CC1，所以水面到地面的距离为AA1sin∠C1GH=8×12=4；
（3）由上可知，水面第一次过顶点C之前，水面与棱AC，BC，A1C1，B1C相交，
如图：
记DE，D1E1的中点分别为F，F1，Q在C1F1上，且QF1＝CF，∠C1CQ＝θ，
易知，△CDE，△C1D1E1为正三角形，设CD＝m，C1D1＝n，
则CF=32m，C1F1=32n，
所以C1Q=32(n−m)=CC1tanθ=8tanθ，
整理得n2+m2−2mn=2563tan2θ，①，
又因为DD1⊂平面AA1C1C，EE1⊂平面BB1C1C，平面AA1C1C∩平面BB1C1C＝CC1，
所以DD1与EE1的交点必在CC1上，所以CDE﹣C1D1E1为棱台，
所以13(34m2+34n2+34mn)⋅CC1=83，
整理得n2+m2+mm＝12，②，
联立①②可得nm=4−2569tan2θ，n2+m2+2mn=16−2569tan2θ，
因为CF∥QF1，CF＝QF1，
所以CFF1Q为平行四边形，
所以FF1=CQ=CC12+C1Q2=64+64tan2θ，
易知DEE1D1为等腰梯形，所以FF1为等腰梯形DEE1D1的高，
所以水面面积S=12(m+n)×64+64tan2θ=4(m+n)1+tan2θ，
则S2=16(m2+n2+2mn)tan2θ=16(16−2569tan2θ)(1+tan2θ)
=1629(9−16tan2θ)(1+tan2θ)=−1629(16tan4θ+7tan2θ−9)，
当水面刚好过点C时，VC−C1D1E1=13×34n2×8=83，
解得n=23，
则C1F1＝3 tanθ=38，
由题意可知0＜tanθ＜38，则0＜tan2θ＜964，
记tan2θ＝t，f(t)=16t2+7t−9，0＜t＜964，
由二次函数性质可知，f(964)＜f(t)＜f(0)，
即−9＜f(t)＜−1971256，
所以219＜S2＜162，所以219＜S＜16，
即水面面积S的取值范围为(219，16)．
▉二．棱锥的结构特征（共10小题）
11．已知三棱锥A﹣BCD的棱长均为2，点P在△BCD内，且AP=273，则点P的轨迹的长度为（ ）
A．13πB．12πC．23πD．π
【答案】C
【解答】解：设A在底面正三角形BCD内的射影为H，
则BH=2×32×23=233，
所以AH=22−(233)2=223，又点P在△BCD内，且AP=273，
所以PH=AP2−AH2=(273)2−(223)2=23，
作出底面BCD的平面图，如下图所示：
作HG⊥CD于G，E，F为以H为圆心，23为半径的圆与三角形BCD的其中的两个交点，
又H到正三角形BCD各边的距离为HG=2×32×13=33，HE＝HF=23，
所以cs∠EHG=3323=32，所以∠EHG=π6，所以∠EHF=π3，
所以点P的轨迹为底面BCD内以H为圆心，23为半径的三段对称的弧，且每段弧所对的圆心角为π3，
所以点P的轨迹的长度为3×π3×23=2π3．
故选：C．
12．两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是（ ）
A．一个三棱锥B．一个四棱锥
C．一个三棱柱D．一个四棱柱
【答案】D
【解答】解：根据题意，两个三棱锥和一个四棱锥能否拼成某几何体，可以看该几何体是否可拆割成两个三棱锥和一个四棱锥，
依次分析选项：
对于A，三棱锥ABCD中，分别取BC，BD中点为E，F，EF中点为M，连接AM，则三棱锥A﹣BCD可拆割为三棱锥A﹣BEM，A﹣BFM和四棱锥A﹣CDFE，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个三棱锥，符合题意；
对于B，取BC、AD的中点分别为E，F，则四棱锥P﹣ABCD可拆割为三棱锥P﹣AFB，P﹣BEF和四棱锥P﹣EFDC，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个四棱锥，符合题意，符合题意；
对于C，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，取B1C1的中点为E，则三棱柱ABC﹣A1B1C1可拆割为三棱锥B1﹣A1BE，C1﹣A1BE和四棱柱B﹣ACC1A1，
故两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起可能拼成一个三棱柱，符合题意；
对于D，一个四棱柱割去一个四棱锥后的几何体不可能由两个三棱锥拼成，故D不可能．
故选：D．
13．下列说法正确的是（ ）
A．直角三角形绕它的一条边旋转得到的几何体是一个圆锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥
D．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥
【答案】D
【解答】解：对于选项A，直角三角形绕斜边所在直线旋转得到的几何体不是一个圆锥，故选项A错误；
对于选项B，把两个相同的棱台底面重合在一起，就不是棱台，故选项B错误；
对于选项C，根据棱锥的定义，如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，才是棱锥，故选项C错误；
对于选项D，当棱锥的各个侧面的顶角之和是360度时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，
由此推导出如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能为六棱锥，故选项D正确．
故选：D．
14．下列几何体中，由六个面围成的是（ ）
A．三棱台B．四棱锥C．五棱锥D．六棱柱
【答案】C
【解答】解：三棱台、四棱锥均由五个面围成，五棱锥由六个面围成，
六棱柱由八个面围成．
故选：C．
15．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，则其各个顶点的曲率均为2π−3×π3=π．若正四棱锥S﹣ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为2，则四棱锥S﹣ABCD在顶点A处的曲率为（ ）
A．π3B．πC．3π4D．5π6
【答案】D
【解答】解：如图，连接AC，BD，设AC∩BD＝O，连接SO，
∴SO⊥平面ABCD．
取BC的中点M，连接OM，SM．
由正四棱锥的结构特征知OM⊥BC，SM⊥BC，
∴∠SMO为侧面与底面所成的角，
设AB＝BC＝a，∴OM=a2，
在Rt△SOM中，tan∠SMO=SOOM=2，
∴SO=2OM=22a．
又OB=22a，∴SB=SO2+OB2=a，
∴正四棱锥S﹣ABCD的每个侧面均为正三角形，
∴顶点A处的各面角分别为π3、π3、π2，
该顶点处的曲率为2π−2×π3−π2=5π6．
故选：D．
16．如图，正四面体P﹣ABC的棱长均为2，M是棱PA的中点，N是棱AC上一动点，则MN+BN的最小值为（ ）
A．3B．7C．6D．5
【答案】B
【解答】解：将△PAC与△ABC展开至位于同一平面内且位于直线AC的两侧，连接BM，与AC交于点N，
则此时MN+BN最小．
在△ABM中，因为AM＝1，AB＝2，∠BAM＝120°，
所以BM2＝AM2+AB2﹣2×AM×AB×cs∠BAM＝7，
所以BM=7，
故MN+BN的最小值为7．
故选：B．
17．在空间四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．M，N，P，Q四点共面B．△BCD∽△MEQ
C．四边形MNPQ为梯形D．∠QME＝∠CBD
【答案】C
【解答】解：对于A选项，由条件可得，MQ∥BD，NP∥BD，
所以MQ∥NP，
所以M，N，P，Q四点共面，故A正确；
对于B选项，由等角定理，知∠QME＝∠DBC，∠MEQ＝∠BCD，
所以△BCD∽△MEQ，故B正确；
对于C选项，由三角形中位线的性质知MQ∥BD，MQ=12BD，NP∥BD，NP=12BD，
所以MQ∥NP，MQ＝NP，
所以四边形MNPQ为平行四边形，故C不正确．
对于D选项，根据等角定理，得∠QME＝∠DBC，故D正确．
故选：C．
18．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑…以八角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，若此正八棱锥的侧面等腰三角形的底角为α，则侧棱与底面外接圆半径的比为（ ）
A．csαcs3π8B．sinαsin3π8
C．cs3π8csαD．sin3π8sinα
【答案】C
【解答】解：设O为正八棱锥S﹣ABCDEFGH底面外接圆心，连接OA，OB，OE，
由题意可知∠OAB=3π8，∠SAB＝α，
∴SA•csα=12AB，又OA•cs3π8=12AB，
∴SA•csα＝OA•cs3π8，∴SAOA=cs3π8csα．
故选：C．
19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，BA⊥BC，PA=PB=PC=2，点M是棱BC上一动点，则PM+MA的取值范围是（ ）
A．[6+27，4]B．[2+2，4]
C．[10+142，4]D．[10+142，2+2]
【答案】A
【解答】解：如图所示，将平面PBC展开，使A、B、C、P四点共面．
当M与B重合时，PM+MA=2+2＜4；
当M与C重合时，PM+MA＝2+2＝4最大；
连结AP交BC于M1，由两点之间直线最短，可知当M位于M1时，PM+MA最小，最小值为AP．
△PBC中，cs∠PBC=BP2+BC2−PC22BP⋅BC=24，
所以sin∠PBC=1−cs2∠PBC=144，可得cs∠ABP=cs(π2+∠PBC)=−sin∠PBC=−144．
由余弦定理得：AP=AB2+BP2−2AB⋅BP⋅cs∠ABP=22+22−2×2×2×(−144)=6+27．
综上所述，PM+MA的取值范围是[6+27，4]．
故选：A．
（多选）20．满足下列条件的四面体存在的是（ ）
A．1条棱长为3，其余5条棱长均为1
B．1条棱长为1，其余5条棱长均为3
C．2条棱长为3，其余4条棱长均为1
D．2条棱长为1，其余4条棱长均为3
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，不妨设四面体ABCD满足AB＝BC＝CA＝BD＝CD＝1，
设BC中点为E，则AE=DE=32，
设∠AED＝θ，则AD=3sinθ2=a，
所以a∈(0，3)；
所以当有1条边为1，5条边为a时，a∈(13，+∞)，故A错误，
对于B，同理A，当有1条边为1，5条边为a时，a∈(13，+∞)，故B正确，
对于C，当有2条边为a，4条边为1时，分两种情况：
①长为a的两条棱有一公共顶点，不妨设为BD＝CD＝a，
设AD与平面ABC所成的角为θ，BC中点为E，
则a=BE2+(AE+ADcsθ)2+(ADsinθ)2=2+3csθ∈(2−3，2+3)；
②长为a的两条棱为相对棱，不妨设为BC＝AD＝a，设BC中点为E，则a=2AEsinθ2=21−a24sinθ2＜4−a2，所以0＜a＜2，综上可知，a∈(0，2+3)，C正确；
对于D，同理C，当有2条边为1，4条边为a时，a∈(12+3，+∞)，故D正确．
故选：BCD．
▉三．棱台的结构特征（共8小题）
21．下列几何体中，有且仅有8个面的是（ ）
A．六棱柱B．六棱锥C．八棱锥D．五棱柱
【答案】A
【解答】解：根据六棱柱有6个侧面、2个底面，共8个面，可知A项符合题意；
根据六棱锥有6个侧面、1个底面，共7个面，可知B项不符合题意；
根据八棱锥有8个侧面、1个底面，共9个面，可知C项不符合题意；
根据五棱柱有5个侧面、2个底面，共7个面，可知D项不符合题意．
故选：A．
22．下列命题中为真命题的是（ ）
A．圆台的侧面展开图是一个扇形
B．用任意一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体是棱柱
D．五棱锥共有6个顶点，11条棱
【答案】C
【解答】解：A选项，圆台的侧面展开图是一个扇环的一部分，故A选项错误；
B选项，用平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分为棱台，故B选项错误；
C选项，由棱柱的定义知，故C选项正确；
D选项，五棱锥共有6个顶点，10条棱，故D选项错误．
故选：C．
23．已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（ ）
A．7B．10C．11D．13
【答案】C
【解答】解：设正四棱台的高为h，
则V=13（49+81+49×81）h=1933h＝193，
所以h＝3，
所以此正四棱台的侧棱长为：32+(922−722)2=11．
故选：C．
（多选）24．下列关于几何体的描述错误的有（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】ABC
【解答】解：对于A，将底面全等的，但侧棱相交的两个斜三棱柱按底面重合拼在一起，显然该组合体不是棱柱，A错；
对于B，再加上条件“侧棱延长后交于一点”，该几何体才是棱台，B错误；
对于C，底面是长方形的直四棱柱才是长方体，C错误；
对于D，由正棱锥的概念可知，各侧面是全等的等边三角形，D对．
故选：ABC．
（多选）25．下列说法不正确的是（ ）
A．有两个面是平行且全等的三角形，其他的面都是平行四边形的多面体是三棱柱
B．有两个面相似，其他的面都是梯形的多面体是棱台
C．底面是多边形，侧面都是三角形的多面体是棱锥
D．一个棱柱至少有六个顶点
【答案】ABC
【解答】解：对于选项A：如图所示，
上图中的多面体有两个面是平行且全等的三角形，其他的面都是平行四边形，但不是棱柱，故A不正确；
对于选项B：如图所示，
上图中的多面体有两个面相似，其他的面都是梯形，但不是棱台，故B不正确；
对于选项C：如图所示，
上图中的多面体底面是多边形，侧面都是三角形，但不是棱锥，故C不正确；
对于选项D：顶点最少的棱柱为三棱柱，有六个顶点，故D正确．
故选：ABC．
26．已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为23和43，则正三棱台的体积为 73 ；若此正三棱台的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 185π ．
【答案】73；185π．
【解答】解：因为正三棱台的上下底面的边长分别为23和43，
所以上下底面的面积分别为S1=34×(23)2=33，S2=34×(43)2=123，
又正三棱台的高为h＝1，
故正三棱台的体积为V=13(S1+S2+S1S2)×h=13×1×(123+33+123×33)=73；
如图，设正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底面的中心分别为O1、O，
由正三棱台的几何性质可知，外接球球心E在直线OO1上，
正△A1B1C1的外接圆半径为O1A1=232sin60°=2，
正△ABC的外接圆半径为OA=432sin60°=4，
设OE＝d，若球心在线段OO1上，则0＜d＜1，O1E＝1﹣d，
设外接球E的半径为R，
则R2=OA2+d2=O1A12+(1−d)2，
即16+d2＝4+（1﹣d）2，
解得d=−112，不合乎题意；
故球心E在射线O1O上，则O1E＝d+1，
同理由R2=OA2+d2=O1A12+(1−d)2，
即16+d2＝4+（d+1）2，解得d=112．
所以R2=16+1214=1854，
故该正三棱台的外接球表面积为S＝4πR2＝185π．
故答案为：73；185π．
27．如图1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四棱台，现有一个揽月阁模型（如图2）、下底面边长为42，上底面边长为22，侧棱长为6，则该模型的高为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：由题意，AB=42，A1B1=22，AA1=6，
连接AC，A1C1，得AC＝8，A1C1＝4，
过A1作A1G⊥AC，过C1作C1H⊥AC，
所以A1C1＝GH＝4，AG＝HC＝2，
在直角三角形AA1G中，
A1G=(AA1)2−(AG)2=(6)2−22=2，
所以正四棱台的高h=2．
故答案为：2．
28．如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点．证明：
（1）E，F，G，H四点共面；
（2）多面体EFB1﹣GBH是三棱台．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解答】解：（1）证明：连接AC，A1C1，如图所示，
在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C1∥AC，
∵E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点，
∴EF∥A1C1，GH∥AC，∴EF∥GH，
∴E，F，G，H四点共面．
（2）证明：∵A1C1≠AC，∴EF≠GH，且EF∥GH，
∴四边形EFHG为梯形，
延长GE、HF，则GE与HF必相交，不妨设EG∩FH＝P，
∵GE⊂平面AA1B1B，∴P∈平面AA1B1B，
∵HF⊂平面BB1C1C，∴P∈平面BB1C1C，
又∵平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，∴P∈BB1，
∴GE，FH，B1B交于一点，
又平面EFB1∥平面GBH，
∴多面体EFB1﹣GBH是三棱台．
▉四．圆柱的结构特征（共7小题）
29．一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ）
A．32B．32πC．16πD．8π
【答案】D
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，故圆柱的轴截面的面积为2×4π=8π；
若2为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为2π，故圆柱的轴截面的面积为4×2π=8π．
故选：D．
30．以下说法正确的个数为（ ）
①圆柱的所有母线长都相等
②棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
③底面是正多边形的棱锥是正棱锥
④棱台的侧棱延长后必交于一点
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，由圆柱的性质知，所以母线相等，故①正确；
对于②，所有棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形，故②正确；
对于③，底面是正多边形，侧面是全等的等腰三角形是正棱锥，故③错误；
对于④，用平行于底面的平面去截棱锥可得到棱台，所以棱台的侧棱延长后必交于一点，故④正确．
故选：C．
（多选）31．下列说法不正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C．过球上任意两点有且仅有一个大圆
D．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
【答案】ACD
【解答】解：对于A，若以矩形的一条对角线为轴旋转一周，所得到的几何体不是圆柱，故A项错误；
对于B，由平行六面体的定义，可知平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B项正确；
对于C，当球面上两点是球直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故C项错误；
对于D，过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且等腰三角形的两腰长等于母线l，
设该等腰三角形顶角为θ，则截面等腰三角形的面积S=12l2sinθ，
当轴截面等腰三角形的顶角为钝角时，取θ=π2，面积S=12l2，达最大值．
因此，圆锥的轴截面不一定是所有过顶点的截面中面积最大的一个，故D项错误．
故选：ACD．
（多选）32．下列命题中为真命题的有（ ）
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
C．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱
D．球体是旋转体的一种类型
【答案】AD
【解答】解：选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确；
选项B：当截面与圆锥底面不平行时，圆锥底面和截面之间的部分不是圆台，故B错误；
选项C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体不一定是棱柱，如下图，故C错误；
选项D：球体是旋转体的一种类型，D正确．
故选：AD．
（多选）33．下列说法正确的是（ ）
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
【答案】ABD
【解答】解：对于选项A：圆柱的侧面展开图是一个矩形，故选项A正确；
对于选项B：因为母线长相等，得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故选项B正确；
对于选项C：直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故选项C不正确；
对于选项D：圆台平行于底面的截面是圆面，故选项D正确．
故选：ABD．
（多选）34．如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a升水．平放在水平的地面上，水面正好过圆锥的顶点P，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P．以下命题正确的是（ ）
A．圆锥的高等于圆柱高的12
B．圆锥的高等于圆柱高的35
C．将容器一条母线贴地，水面也恰过点P
D．将容器任意摆放，当水面静止时都过点P
【答案】BC
【解答】解：设圆柱的高为h，其内部圆锥的高为h1，圆柱的底面积为S，
因为无论如何摆放，水的体积保持不变，
所以Sh1−13Sh1=S(h−h1)，化简得h1=35h，故A错误，B正确；
水的体积为25Sh，小圆锥的体积为15Sh，
所以当容器一条母线贴地时，水的体积正好占内部空间的一半，故水面过点P，故C正确；
圆柱内部关于点P不对称，故当斜放时，水面不过点P，故D错误．
故选：BC．
35．下列关于空间几何体的说法：
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；
②棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；
③棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
④圆柱的任意两条母线互相平行．
其中正确结论的序号是 ②③④ ．
【答案】②③④．
【解答】解：对于①，各个面都是三角形的几何体还可能是八面体，故①错误；
对于②，由棱柱的结构特征知，棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，故②正确；
对于③，由棱柱的结构特征知，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故③正确；
对于④，由圆柱的结构特征知，圆柱的任意两条母线互相平行，故④正确．
故答案为：②③④．
▉五．圆锥的结构特征（共8小题）
36．已知圆锥母线长为6，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（ ）
A．3B．2C．32D．22
【答案】A
【解答】解：根据题意，设该圆锥的截面为△SMN，
由于该圆锥母线长为6，底面半径为2，
则SM=SN=6，MN＝4，
则cs∠MSN=6+6−162×6×6=−13，
所以∠MSN＞π2，
故截面三角形面积的最大值为12×6×6=3．
故选：A．
37．若圆锥的轴截面是一个顶角为2π3，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为（ ）
A．934B．23C．92D．33
【答案】C
【解答】解：由题意得，圆锥的轴截面是顶角为2π3的等腰三角形，圆锥的母线长为l＝3，
设过圆锥顶点的截面三角形顶角为α，则0＜α≤2π3，
则截面面积为S=12l2sinα=92sinα，当α=π2时，Smax=92．
故选：C．
38．下列说法正确的是（ ）
A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．三棱锥的四个面都可以是直角三角形
C．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
D．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
【答案】B
【解答】解：如图所示．
对于A，将两个相同的斜平行六面体叠放，符合条件但不是棱柱，如图①，故A错误；
对于B，PA⊥底面ABC，AB是圆O的直径，C是圆上一点，
则三棱锥PABC的四个面都是直角三角形，如图②，故B正确；
对于C，延长其侧棱不交于一点，符合条件但不是棱台，如图③，故C错误；
对于D，以Rt△ABC的斜边AB为轴旋转得到的是两个对底的圆锥，如图④，故D错误．
故选：B．
39．下列说法不正确的是（ ）
A．圆柱的轴截面是矩形
B．圆锥的轴截面是等腰三角形
C．所有空间几何体都是多面体
D．有些三棱锥的四个面都是直角三角形
【答案】C
【解答】解：对于A，圆柱的轴截面是矩形，所以A正确，
对于B，圆锥的轴截面是等腰三角形，所以B正确，
对于C，因为旋转体不是多面体，所以C项不正确，
对于D，如图，三棱锥A﹣BCD中，当AB⊥平面BCD时，AB⊥BC，AB⊥BD，
所以△ABC，△ABD，△ACD，△BCD均为直角三角形，所以D正确．
故选：C．
（多选）40．下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．长方体是直四棱柱
C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台
D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．
【答案】BD
【解答】解：对于选项A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以选项A错误；
对于选项B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故选项B正确；
对于选项C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，
圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故选项C错误；
对于选项D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故选项D正确．
故选：BD．
（多选）41．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为223π
B．圆锥的表面积为22π
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为2π的扇形
D．圆锥的内切球表面积为(24−162)π
【答案】ACD
【解答】解：已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，所以底面半径r为2，圆锥的高h为2，
对于A选项，圆锥的体积为13×πr2×h=223π，故A正确；
对于B选项，圆锥的表面积为12×2π×2×2+π(2)2=（22+2）π，故B错误；
对于C选项，侧面展开图中，扇形的半径为2，弧长为2πr＝22π，由弧长公式有圆心角为2π，故C正确；
对于D选项，设圆锥的内切球的半径为r，圆锥的内切球的球心为轴截面三角形的内心．
根据三角形面积相等可得：12×22r+12×2r+12×2r=12×2×2，∴r＝2−2，
圆锥的内切球表面积为4π(2−2)2=（24﹣162）π，故D正确．
故选：ACD．
（多选）42．已知圆锥的底面半径为23，高为2，S为顶点，A，B为底面圆周上的两个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．圆锥的体积为8π
B．圆锥侧面展开图的圆心角大小为3π
C．圆锥截面SAB面积的最大值为43
D．若圆锥的顶点和底面上的所有点都在一个球面上，则此球的体积为2563π
【答案】ABD
【解答】解：∵圆锥的底面半径为r=23，高为h＝2，
∴圆锥的母线长SA=SB=r2+h2=(23)2+22=4，
∴圆锥的体积V=13πr2h=13π×(23)2×2=8π，故A正确；
设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为α，则2π×23=α×4，α=3π，故B正确；
当圆锥截面SAB为圆锥的轴截面时，此时SA＝SB＝4，AB=43，
则cs∠ASB=SA2+SB2−AB22SA⋅SB=−12，又∠ASB∈（0，π），∴∠ASB=2π3，
则当∠ASB=π2时，截面SAB的面积最大，
此时S△ASB=12⋅SA⋅SA⋅sin∠ASB=12×4×4×1=8，故C错误；
圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥有外接球，
设圆锥外接球半径为R，由球的性质可知R2＝（h﹣R）2+r2，即R2=(2−R)2+(23)2，
解得R＝4，∴外接球的体积V=43πR3=43π×43=256π3．故D正确．
故选：ABD．
43．已知圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆角的2π3的扇形，则此圆锥的母线长为 32 ．
【答案】32．
【解答】解：由圆锥底面半径为2，侧面展开图是圆角的2π3的扇形，
可设圆锥的母线长为l，则l=2π×22π3=32．
故答案为：32．
▉六．圆台的结构特征（共7小题）
44．下列几何体为旋转体的是（ ）
A．三棱锥B．四棱台C．六棱柱D．圆台
【答案】D
【解答】解：在四个选项涉及的几何体中，只有圆台是旋转体．
故选：D．
45．有下列命题，其中错误命题个数是（ ）
①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体
②过圆锥顶点的截面是等腰三角形
③以直角三角形一边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥
④平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解答】解：对于①：圆柱是将矩形以一边为轴旋转一周所得的几何体，故①错误；
对于②：过圆锥顶点的截面是等腰三角形，故②正确；
对于③：以直角三角形一直角边为旋转轴，旋转所得的旋转体是圆锥，故③错误；
对于④；平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，是抛物线，故④错误．
所以其中错误命题个数为3．
故选：C．
46．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=13(S上+S上S下+S下)⋅h）
A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸
【答案】B
【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．
∵积水深9寸，
∴水面半径为12（14+6）＝10寸，
则盆中水的体积为13π×9（62+102+6×10）＝588π（立方寸）．
∴平地降雨量等于588ππ×142=3（寸）．
故选：B．
（多选）47．下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．正四棱柱都是长方体
B．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．棱台的侧面都是梯形
D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台
【答案】AC
【解答】解：对于A：正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，
因为正方形是特殊的矩形，所以正四棱柱都是长方体，故A正确；
对于B：两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱．
比如两个底面全等的斜棱柱拼接在一起的多面体，虽然满足两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，故B错误；
对于C：棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分．
棱台的各侧棱延长后交于一点，所以棱台的侧面都是梯形，故C正确；
对于D：若以等腰梯形的一条斜腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体不是圆台，是一个圆锥和一个圆台并挖去一个圆锥的组合体，故D错误．
故选：AC．
（多选）48．下列说法不正确的是（ ）
A．圆锥被一个平行于底面的平面截去顶部的小圆锥后，剩余部分是圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆柱的母线与它的轴可以不平行
D．一个多面体至少有4个侧面
【答案】BCD
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故选项A正确；
对于B，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误；
对于C：圆柱的母线与它的轴平行，故C错误；
对于D，三棱锥为多面体，但只有3个侧面，所以D错误．
故选：BCD．
（多选）49．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有（ ）
A．该圆台轴截面ABCD面积为33cm2
B．该圆台的体积为14π3cm3
C．该圆台的侧面积为6πcm2
D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
【答案】ACD
【解答】解：对于A，由AB＝AD＝BC＝2，且CD＝2AB，
可得CD＝4，高O1O2=4−(4−22)2=3，
则圆台轴截面ABCD的面积为12×(2+4)×3=33cm2，故A正确；
对于B，圆台的体积为V=13π(1+2+4)×3=733πcm3，故B错误；
对于C，圆台的侧面积为S侧＝π（1+2）×2＝6π，故C正确；
对于D，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，
侧面展开图的圆心角θ=2π⋅24=π，
设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝4，OP＝2+1＝3，
则CP=42+32=5．
所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．
故选：ACD．
50．一个圆台的母线长为5，上、下底面圆直径的长分别为4，10，则圆台的高为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：如图所示，ABCD为圆台的轴截面，O1，O2分别为上下底面圆心，
则BO1＝2，CO2＝5，BC＝5，
过点B作BE⊥CD于点E，则O2E＝O1B＝2，CE＝5﹣2＝3，
在△BCE中，由勾股定理得BE=BC2−CE2=4，
故圆台的高为4．
故答案为：4．
▉七．球的结构特征（共6小题）
51．棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，点E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则过点E、F的直线被球O截得的线段长为（ ）
A．3aB．2aC．2aD．22a
【答案】C
【解答】解：因为正方体内接于球，所以2R=a2+a2+a2，R=32a，
过球心O和点E、F的大圆的截面图如图所示，
则直线被球截得的线段为QR，过点O作OP⊥QR于点P，
易知EF＝a，所以在△QPO中，QR=2QP=2(3a2)2−(a2)2=2a．
故选：C．
52．下列说法正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面
【答案】D
【解答】解：对于选项A：各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故选项A错误；
对于选项B：有两个面互相平行且相似，其余面都是梯形的多面体不一定是棱台，
只有当梯形的腰延长后交于一点时，这个多面体才是棱台，故选项B错误；
对于选项C：直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故选项C错误；
对于选项D：用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故选项D正确．
故选：D．
（多选）53．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，O为AC1中点，以O为球心的球的半径为r，则下列说法正确的是（ ）
A．当r=6时，球O的球面与该正方体的面没有公共点
B．当r=22时，球O的球面与该正方体的棱有12个公共点
C．当r＝3时，球O的球面与该正方体的棱共有24个公共点
D．当r=2213时，该正方体的表面被球O截得的所有弧长之和为163π3
【答案】BCD
【解答】解：由题设，易知O为正方体的中心，且其外接球半径为23，内切球半径为2，
侧面正方形内切圆半径为22，
由r=6∈(2，22)，则球O的球面与该正方体的面有公共点，A错；
由r=22，则球O的球面与该正方体每条棱都相切，共12个切点，B对；
由r=3∈(22，23)，则球O的球面与该正方体每条棱都都有两个交点，共24个，C对；
由r=2213∈(22，23)，
则各面截球O所得圆的半径为r2−22=43∈(2，22)，
所以该圆截各棱所得弦长为2(43)2−22=43，
该弦对应圆心角为π3，
所以该圆被一个侧面所截的弧长为(2π−4×π3)×43=83π9，
故所有弧长之和为6×83π9=163π3，D对．
故选：BCD．
54．已知地球的半径为R，我国的北方城市哈尔滨大约在北纬45°，东经127°，则北纬45°纬线圈的长度（用R表示）为 2πR ．
【答案】2πR．
【解答】解：如图：
北纬45°纬线圈的半径r与地球半径R的关系为r＝Rcs45°（纬度θ对应的纬线圈半径为Rcsθ）．
纬线圈的长度为圆的周长2πr，
代入r＝Rcs45°，得长度为2πR⋅22=πR2=2πR．
故答案为：2πR．
55．已知三棱锥P﹣ABC，Q为BC中点，PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，侧面PBC⊥底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为 [π，5π3] ．
【答案】[π，5π3]．
【解答】解：连接PQ，QA，由PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，
可知△ABC和△PBC是等边三角形，
设三棱锥P﹣ABC外接球的球心为O，
所以球心O在平面ABC和平面PBC内的射影是△ABC和△PBC的中心E，F，
△PBC是等边三角形，Q为BC中点，
所以PQ⊥BC，又因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，
所以PQ⊥平面ABC，而AQ⊂平面ABC，
因此PQ⊥AQ，所以OFQE是矩形，
△ABC和△PBC是边长为2的等边三角形，
所以两个三角形的高h=22−(12×2)2=3，
在矩形OFQE中，OE=FQ=13h=33，AE=23h=233，
所以OA=OE2+EA2=13+43=153，
设过点Q的平面为α，当OQ⊥α时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
OQ=OF2+FQ2=(13h)2+(13h)2=23h=23×3=63，
因此圆Q的半径为：OA2−OQ2=159−69=1，
所以此时面积为π•12＝π，
当点Q在以O为圆心的大圆上时，
此时截面的面积最大，面积为：π⋅(153)2=5π3，
所以截面的面积范围为[π，5π3]．
故答案为：[π，5π3]．
56．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，O1、O2为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆O1的一条直径，若球的半径R＝2，则
①平面DEF截得球的截面面积最小值为 165π ；
②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE+PF的取值范围为 [2+25，43] ．
【答案】①165π；②[2+25，43]．
【解答】解：①过O作OG⊥DO।于G，则由题可得OG=12×2×425=255，
设O到平面DEF的距离为d1，平面DEF截得球的截面圆的半径为r1，
则d1≤OG，r12=r2−d12=4−d12≥4−45=165，
所以平面DEF截得球的截面面积最小值为165π；
②由题可知点P在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P在底面的射影为P′，
则PP′=2，PE=22+P′E2，PF=22+P′F2，P′E2+P′F2=16，
设t＝P′E2，则t∈[0，42]，PE+PF=22+t+22+16−t，
所以(PE+PF)2=(22+t+22+16−t)2=24+2−t2+16t+80=24+2−(t−8)2+144∈[24+85，48]．
所以PE+PF∈[2+25，43]．
故答案为：①165π；②[2+25，43]．
▉八．简单组合体的结构特征（共4小题）
57．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1被两平面分成三部分，其中EF∥GH∥BC，则这三个几何体中是棱柱的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1被两平面分成三部分，其中EF∥GH∥BC，
其中两个三棱柱，底面是直角三角形；另一个是底面为5边形的直棱柱，
所以这三个几何体中是棱柱的个数为：3
故选：D．
58．一个正三棱锥的底面边长等于一个球的半径，该正三棱锥的高等于这个球的直径，则球的体积与正三棱锥体积的比值为（ ）
A．83π3B．3π6C．3π2D．83π
【答案】A
【解答】解：设球的半径为r⇒V1=43πr3；正三棱锥的底面面积S=34r2，h＝2r，⇒V2=13×34r2×2r=36r3．
所以V1V2=83π3
故选：A．
59．已知棱长均为23的多面体ABC﹣A1B1C1由上、下全等的正四棱锥A1﹣ABB1C1和C﹣ABB1C1拼接而成，其中四边形ABB1C1为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为R，该多面体的棱切球（与该多面体的所有棱均相切的球）的半径为r，则Rr= 2 ．
【答案】2．
【解答】解：在多面体ABC﹣A1B1C1中，取O为正方形ABB1C1的中心，如图所示：
由题意可知O既是多面体ABC﹣A1B1C1的外接球的球心，也是棱切球的球心，
过点O作OH⊥B1C1于点H，在Rt△A1OC1中，OC1=12BC1=6，
A1C1=23，所以R=OC1=OA1=6，
所以r=OH=3，
所以Rr=63=2．
故答案为：2．
60．圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，
得圆锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示（2分）
设正方体棱长为x，则CC1＝x，C1D1=2x．
作SO⊥EF于O，则SO=2，OE＝1，（5分）
∵△ECC1∽△EOS，∴CC1SO=EC1EO，即x2=1−(2/2)x1（10分）
∴x=22(cm)，即内接正方体棱长为22cm（12分）
棱柱
棱锥
棱台
定义
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
相关概念
(1)底面(底)：两个互相平行的面；
(2)侧面：其余各面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：侧面与底面的公共顶点.
(1)底面(底):多边形面；
(2)侧面：有公共顶点的各个三角形面；
(3)侧棱：相邻侧面的公共边；
(4)顶点：各侧面的公共顶点.
(1)上底面：原棱锥的截面；
(2)下底面：原棱锥的
底面 .
(3)侧面：其余各面.
(4)侧棱：相邻侧面的公共边；
(5)顶点：侧面与底面的公共顶点.
图形及表示
棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
(或六棱柱AD').
棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C )
棱台ABCD-A'B'C'D'
结构特征
(1)底面互相平行且全等；
(2)侧面都是平行四边形；
(3)侧棱都相等，且互相平行.
(1)底面是多边形；
(2)侧面都是三角形；
(3)侧面有一个公共顶点.
(1)上、下底面互相平行，且是相似图形；
(2)各侧棱的延长线交于一点；
(3)各侧面为梯形.
分类
棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……
棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥……
由几棱锥截得的就叫几
棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台.
圆柱
圆锥
圆台
球
定 义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥.
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部
分叫做圆台.
半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
相关概念
(1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
(1)轴：旋转轴.
(2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面.
(3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面.
(4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线
(5)顶点：母线的交点.
(1)上底面：原圆锥的截面.
(2)下底面：原圆锥的底面.
(3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线.
(4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面.
(5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分.
(1)球心：半圆的圆心.
(2)半径：连接球心和球面上任意一点
的线段.
(3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段.
图形及表示
圆柱OO'
圆锥SO
圆台OO'
球O
结 构 特 征
(1)圆柱两个底面是圆面而不是圆.
(2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等.
(3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形.
(1)底面是圆面.
(2)有无数条母线，长度相等且交于顶点.
(3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形.
(1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面.
(2)有无数条母线，等长且延长线交于一点.
(3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴
的截面(轴截面)是全等的等腰梯形.
(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半
径)的所有点的集合.
(2)球的截面都是圆面.