高中数学人教A版 (2019)必修 第二册基本立体图形优秀教案及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册基本立体图形优秀教案及反思，共28页。教案主要包含了考点梳理，知识梳理，题型归纳，双基达标，高分突破等内容，欢迎下载使用。
考点一：棱柱的结构特征考点二：棱锥的结构特征
考点三：棱台的结构特征考点四：圆柱、圆锥、圆台的结构特征
考点五：球的结构特征考点六：简单组合体问题
考点七：基本立体图形的综合性问题
【知识梳理】
知识一：多面体、旋转体的定义
知识二： 棱柱的结构特征
1.棱柱的概念
2.棱柱的分类
(1)按底面多边形边数来分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)按侧棱是否与底面垂直：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.
底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体.
知识三 棱锥的结构特征
1.棱锥的概念
2.棱锥的分类
(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……
(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
知识四：棱台的结构特征
知识五：圆柱的结构特征
知识六：圆锥的结构特征
知识七：圆台的结构特征
知识八：球的结构特征
知识九：简单组合体的结构特征
1.概念：由简单几何体组合而成的，这些几何体叫做简单组合体.
2.基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
【题型归纳】
题型一：棱柱的结构特征
1．（21-22高一下·湖南株洲·期中）以下各几何体中， 是棱柱的是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的条件，利用棱柱的定义直接判断作答.
【详解】对于A，几何体是三棱锥，不是棱柱，A不是；
对于B，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，B不是；
对于C，几何体有两个平面平行，其余各面都是梯形，不是棱柱，C不是；
对于D，几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，是棱柱，D是.
故选：D
2．（20-21高一上·陕西榆林·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱
D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
【答案】A
【分析】
根据棱柱的概念及其性质可知，侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱，正六棱柱的两个相对的侧面都互相平行，但不是底面，底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，可能是平行六面体，棱柱的底面可以是任意多边形，包括平行四边形.
【详解】对于A选项，根据直棱柱定义可知，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，故A正确；
对于B选项，棱柱中两个互相平行的平面不一定是棱柱的底面，例如正六棱柱的两个相对的侧面都互相平行，但不是底面，故B错误；
对于C选项，底面是正方形，且侧棱与底面垂直的棱柱是正四棱柱，因此底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，所以C错误；
对于D选项，棱柱的侧面是平行四边形，它的底面可以是任意多边形，可以是三角形，也可以是平行四边形，即D错误.
故选：A
3．（21-22高一·全国·课时练习）下列命题：
①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】①②③④均可举出反例.
【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，
显然不是棱柱，故①错误；
②如图2，满足两侧面与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；
③如图3，四边形为矩形，
即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；
④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误．
故选：A
题型二：棱锥的结构特征
4．（22-23高一下·全国·课时练习）下面关于棱锥的结构特征的描述中，不正确的为（ ）
A．三棱锥有四个面是三角形B．有的棱锥有两个面互相平行
C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱交于一点
【答案】B
【分析】由棱锥的定义即可作出判断.
【详解】棱锥的定义是“有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.”故选项C、D正确，选项B不正确；三棱锥有四个面，每个面都是三角形，故选项A正确.
故选：B
5．（20-21高一下·全国·课时练习）如果一个四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，其中四条侧棱称为它的腰，以下说法中，错误的是（ ）
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥都是正四棱锥
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
【答案】B
【分析】根据等腰四棱锥的结构特征可一一判断各项.
【详解】
对于A，因为等腰四棱锥的侧棱均相等，所以侧棱在底面的投影也相等，由全等三角形可知腰与底面所成的角相等，A正确；
对于B，如图四棱锥，底面是矩形，点为矩形对角线的交点，且平面，可知四棱锥是等腰四棱锥，但不是正四棱锥，B错误；
对于C，因为等腰四棱锥的侧棱均相等，所以侧棱在底面的投影也相等，则底面四边形必有一个外接圆， C正确；
对于D，在高线上定能找到一点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心， D正确．
故选：B
6．（21-22高一下·河南郑州·期中）下列说法中正确的个数为（ ）
①各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；
②各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥；
③各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
④底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据正棱锥定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于①，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，①错误；
对于②，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，②错误；
对于③，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，③错误；
对于④，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面射影为底面中心，满足正棱锥定义，④正确.
故选：D.
题型三：棱台的结构特征
7．（22-23高一下·山东临沂·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．棱台的侧棱长都相等
B．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台
C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
D．棱台的两个底面相似
【答案】D
【分析】对于AD，根据棱台的定义判断，对于B，由棱锥的性质判断，对于C，由棱柱的性质判断.
【详解】由棱台的定义知棱台的侧棱长不一定都相等，而棱台的两个底面相似，所以不正确，正确；
若平面沿棱锥的高去截，则棱锥被平面截成的两部分可能都是棱锥，不正确；
棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，不正确，
故选：D
8．（2023高一·全国·专题练习）有下列四种叙述：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；
④棱台的侧棱延长后必交于一点.
其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】
根据棱台的定义和结构特征可判断各项.
【详解】对于①：当截面不平行于底面时，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，①错；
对于②③：如图的几何体满足条件，但侧棱延长线不能相交于一点，不是棱台，②③错；
对于④：棱台结构特征知：侧棱延长后必交于一点，④正确.
故选：B
9．（21-22高一下·河南商丘·期末）下列关于棱锥､棱台的说法正确的是（ ）
A．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台
B．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台
C．棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的
D．棱台的各侧棱延长后必交于一点
【答案】D
【分析】根据棱台的定义以及结构特点逐项判断正误即可.
【详解】对于A，棱台的各侧棱的延长线交于一点，因此有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体不一定是棱台，故A错；
对于B，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间部分所围成的几何体叫做棱台，故B错误；
对于C，棱台的侧面展开图不一定是由若干个等腰梯形组成的，故C错误；
对于D，棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的，故棱台的各侧棱延长后必交于一点，故D正确.
故选:D.
题型四：圆柱、圆锥、圆台的结构特征
10．（19-20高一下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的是
A．通过圆台侧面上一点可以做出无数条母线
B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥
C．圆柱的上底面下底面互相平行
D．五棱锥只有五条棱
【答案】C
【分析】根据圆柱、圆锥和圆台的几何结构特征，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，根据圆台的结构特征，通过圆台侧面上一点有且只有一条母线，所以不正确；
B中，根据圆锥的定义，直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，所以不正确；
C中，根据圆柱的结构特征，可知圆柱的上底面下底面互相平行，所以是正确的；
D中，根据棱锥的结构特征，可得五棱锥只有五条侧棱，所以不正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查圆柱、圆锥和圆台的集合结构特征的判定及应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答的关键，属于基础题.
11．（22-23高一下·河南郑州·阶段练习）下列命题正确的是（ ）
A．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
【答案】C
【分析】根据棱台的几何特征即可判断A，根据棱锥的几何特征可判断B，根据圆锥和棱柱的几何性质即可判断CD.
【详解】根据棱台的定义可知：棱台上下两个面相似，故A错误，
对于B，有一个面是多边形，其余各面都是三角形且有公共顶点的几何体是棱锥，B错误；
对于C,直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥,故C正确，
对于D，有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，
反例如图：

故D错误；
故选：C
12．（22-23高一下·天津和平·阶段练习）下列命题中不正确的是（ ）
A．圆柱､圆锥､圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
【答案】B
【分析】由正四棱锥的概念判断B；由旋转体的结构特征判断A、C、D．
【详解】对于A：圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故A正确；
对于B：正四棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故B错误；
对于C：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，故C正确；
对于D：以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台，故D正确．
故选：B．
题型五：球的结构特征
13．（22-23高二下·甘肃酒泉·期末）以下说法正确的是（ ）
A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球；
B．球的大圆的半径等于球的半径；
C．球面和球是同一个概念；
D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆.
【答案】B
【分析】
根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D
【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误，
对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确，
对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，
而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误，
对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误，
故选：B
14．（21-22高一·全国·课时练习）下列命题中正确的是（ ）
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；
②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；
③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；
④球面上任意三点可能在一条直线上；
⑤球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．
A．①②③B．②③④C．②③⑤D．①④⑤
【答案】C
【分析】根据球的定义，球的截面的性质判断各命题．
【详解】任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错，由球的定义知②正确，由球的截面圆性质知③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确．
故选：C.
15．（20-21高一·全国·课时练习）下列命题正确的是( )
①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；②球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径；③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面；④球面上任意三点可能在一条直线上；⑤球的半径是球面上任意一点和球心的连线段.
A．①②③B．②③④
C．②③⑤D．①④⑤
【答案】C
【分析】根据球体概念和性质即可求解.
【详解】由球的概念与性质，当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆，故①错；②正确；③正确；球面上任意三点一定不共线，故④错误；根据球的半径的定义可知⑤正确.
故选：C.
题型六：简单组合体问题
16．（22-23高一下·广东深圳·期中）如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（ ）
A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成
B．一个球、一个长方体、一个棱台构成
C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成
D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成
【答案】B
【分析】
根据组合体基本构成即可得答案.
【详解】由图可知，该几何体是由一个球、一个长方体、一个棱台构成.
故选：B.
17．（22-23高二上·上海虹口·期末）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1，则该半正多面体共有面的个数及棱长分别为（ ）
A．26，B．24 ，C．26，D．24 ，
【答案】A
【分析】将该多面体分为三层，分别数出每一层的面数，求和即可得正多面体的面数；设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面，为正八边形，利用多面体棱长与正方体的棱长的关系列方程即可求解
【详解】可以将该多面体分为三层，上层个面，中层个面，下层个面，上下底各个面，
所以共有个面，
设正多面体的棱长为，作出该几何体的截面如图，截面图为正八边形，
由图可得，，
因为为等腰直角三角形，所以，即，
解得：，所以该多面体的棱长为，
故选：A.
18．（22-23高二上·北京·阶段练习）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（1）（5）
【答案】D
【分析】应用空间想象，讨论截面与轴截面的位置关系判断截面图形的形状即可.
【详解】当截面如下图为轴截面时，截面图形如（1）所示；
当截面如下图不为轴截面时，截面图形如（5）所示，下侧为抛物线的形状；
故选：D
题型七：基本立体图形的综合性问题
19．（22-23高一·全国·课堂例题）指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的．

【答案】答案见解析
【分析】
由空间几何体的结构特征可得.
【详解】
左图中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的．
右图中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的，
也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．
实际上，右图也可以看作一个柱体，它的底面为一个凹多边形．

20．（22-23高一下·全国·课后作业）如图，圆台上、下底面半径分别为，，母线长为，从母线AB的中点拉一条细绳，围绕圆台侧面转至下底面的点，求BM间细绳的最短长度.

【答案】
【分析】作出圆台的展开图，设，，为最短距离，计算得到，，再根据勾股定理计算得到答案.
【详解】如图所示：圆台的展开图，设，，为最短距离，

则，，解得，，
故.
故BM间细绳的最短长度为.
21．（21-22高一·全国·课后作业）如图，一个三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，．有一只小虫从点沿三个侧面爬到点，求小虫爬行的最短路程．
【答案】
【分析】沿将三棱柱的侧面展开，可得到矩形，计算出该矩形的对角线的长，即为所求.
【详解】解：沿将三棱柱的侧面展开，则展开后的图形是矩形，如下图所示：
且，，所以，小虫爬行的最短路程为的长，
且.
【双基达标】
一、单选题
22．（23-24高二上·四川内江·阶段练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ）
A．（1）（3）（5）B．（1）（2）（3）（5）
C．（1）（3）（5）（6）D．（3）（4）（6）（7）
【答案】A
【分析】根据棱柱的定义分析判断即可.
【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体，
所以棱柱有（1）（3）（5）.
故选：A.
23．（22-23高一下·河南·期中）下列说法正确的是（ ）
A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
B．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
C．圆柱的母线与它的轴可以不平行
D．一个多面体至少有个面
【答案】A
【分析】
根据多面体和旋转体的定义判断即可.
【详解】
对于A，圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台,故选项A正确；
对于B，满足条件的几何体可能是组合体，故B错误；
对于C：圆柱的母线与它的轴平行，故C错误；
对于D，多面体至少有个面，所以D错误.
故选：A.
24．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．底面是正方形的四棱柱是正方体
B．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥
C．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
【答案】B
【分析】根据几何体的定义判断即可.
【详解】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱，不一定是正方体，故A错误；
当棱锥的底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等时，棱锥的顶点在底面的投影是底面的中心，所以该棱锥是正棱锥，故B正确；
用一个平行于底面的平面截圆锥，可以得到一个圆锥和一个圆台，故C错误；
有一个面是多边形，其余各面是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，故D错误.
故选：B.
25．（2023高二上·上海·专题练习）已知是直角梯形与底边垂直的一腰（如图）．分别以，，，为轴旋转，试说明所得几何体是由哪些简单几何体构成的？

【答案】答案见解析
【分析】
分别画出对应立体图形，逐个说明即可.
【详解】
①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台；如图（1）所示；
②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥；如图（2）所示；
③以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥；
如图（3）所示．
④以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥；如图（4）所示.

26．（22-23高一·全国·随堂练习）图（1）是长、宽、高分别为的长方体；图（2）是所有棱长均为2的正三棱锥，点是的中点．画出图中给出的所有侧面、底面与截面的真实平面图．
【答案】见解析
【分析】可由长、宽、高分别为的长方体，利用勾股定理求得,,,进而画出的长方体侧面、底面与截面；
根据已知得出，进而画出正三棱锥的侧面、底面与截面.
【详解】图(1)是长、宽、高分别为的长方体;
可得:,,,
可得其侧面、底面与截面的真实平面图如下:

图(2)是所有棱长均为2的正三棱锥,点是的中点,可得,
可得其侧面、底面与截面的真实平面图如下:

【高分突破】
一、单选题
27．（23-24高三上·山西大同·期末）已知圆台的上、下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且，圆的周长为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆台侧面爬行一周到点B，则其爬行的最短路程为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】
将圆台侧面展开成平面图形，在平面扇环中分析计算即得.
【详解】
将圆台的侧面沿着母线剪开，展成平面图形，延长交于点，连接，如图，
显然弧的长为，弧的长为，设，则，，
则，即，得，于是是的中点，，
因此是等边三角形，有，且与弧相切，则在此侧面展开图内，
所以蚂蚁爬行的最短路线即线段，.
故选：B
28．（2023·陕西西安·模拟预测）下列关于空间几何体的叙述，正确的是（ ）
A．圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台
【答案】B
【分析】根据圆柱，棱柱，棱台，棱锥的定义进行判断.
【详解】对于A，以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱，而以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误；
对于B，若棱柱有两个相邻侧面是矩形，则侧棱与底面两条相交的边垂直，则侧棱与底面垂直，此时棱柱一定是直棱柱，故B正确；
对于C，如图所示，若，，满足侧面均为全等的等腰三角形，但此时底面不是正三角形，故C错误；
对于D，用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台.若截面与底面不平行，则不是梭台，故D错误.
故选：B.
29．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）如图是一坐山峰的示意图，山峰大致呈圆锥形，峰底呈圆形，其半径为，峰底A到峰顶的距离为，B是山坡的中点.为了发展当地旅游业，现要建设一条从A到B的环山观光公路，当公路长度最短时，公路距山顶的最近距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
根据圆锥的侧面展开图，即可根据弧长公式可得，进而根据等面积法即可求解.
【详解】以为分界线，将圆锥的侧面展开，可得其展开图如图.
则从点A到点B的最短路径为线段，，所以.
过S作，则公路距山顶的最近距离为，
因为，所以，
故选:D.
30．（23-24高二上·上海·期中）将地球看作是一个球体，则下列经纬线所在截面是大圆的有（ ）
①经线②北纬③西经④赤道
A．②③B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】C
【分析】
根据经线和纬线及大圆的定义判断.
【详解】由经线和纬线的定义可知，所有经线均为大圆，纬线中只有赤道为大圆，
故①③④正确，②错误.
故选：C
31．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）下列结论正确的是（ ）
A．底面是平行四边形的棱柱是平行六面体
B．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
C．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
D．圆台的上底面圆周上的任意一点与下底面圆周上的任意一点的连线都是母线
【答案】A
【分析】
根据平行六面体、三棱锥、圆锥、圆台的母线的概念进行逐项分析即可.
【详解】对于A：底面是平行四边形的四棱柱为平行六面体，故A正确；
对于B：如果两个相同的三棱锥叠放在一起，得到的几何体各个面都是三角形，但几何体不是三棱锥，如下图所示：
故B错误；
对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的几何体叫圆锥，
显然若旋转未满一周，则几何体不是圆锥，故C错误；
对于D：过圆台上下底面平行的直径同一侧的端点的连线叫做圆台的母线，故D错误；
故选：A.
32．（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（ ）
A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
【答案】A
【分析】
根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可.
【详解】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确；
对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误；
对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误；
对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.
故选：A.
33．（23-24高二上·上海静安·期中）如图在一根长11，外圆周长6的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（ ）

A．61B．C．D．
【答案】A
【分析】
将立体图形展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．
【详解】
圆柱形柱体的高为11，外圆周长6，
又铁丝在柱体上缠绕10圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，
则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：
其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长6，高为圆柱的高11，
则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．
此时铁丝的长度最小值为：．
故选：A．

二、多选题
34．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．平行于同一直线的两直线平行
【答案】ABC
【分析】
由线线位置关系、棱台、棱锥以及棱柱的定义即可逐一判断.
【详解】对于A，棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的，它应该保证各侧棱延长后交于一点，故A错误；
对于B，棱锥有一个面是多变形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故B错误；
对于C，如图所示，

若下面是一个正四棱柱，上面是一个以正四棱柱上底面为下底面的斜四棱柱，但它们的组合体不是棱柱，故C错误；
对于D，由平行线的传递性可知D正确.
故选：ABC.
35．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥
【答案】CD
【分析】
由正棱锥的定义判断A，由棱台的定义判断B，由正四棱柱的定义判断C，由圆锥的定义判断D.
【详解】
对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误；
对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形，
但是这样的多面体不是棱台，故B错误；
对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确；
对于D，根据圆锥的定义可知D正确.
故选：CD
36．（23-24高二上·新疆·期中）下列命题错误的是（ ）
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．所有几何体的表面都能展开成平面图形
D．棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形
【答案】ABCD
【分析】根据棱柱、棱锥、棱台的定义判断ABD；举反例判断C.
【详解】棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，故A错；
用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故B错；
球体展开后就是一个曲面，而不是平面图形，故C错；
棱台的侧棱延长后交于一点，侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故D错.
故选：ABCD.
37．（22-23高一下·甘肃白银·期中）下列说法中不正确的是（ ）
A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
【答案】ACD
【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断可得答案.
【详解】对于A：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；
对于B：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；
对于C：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；对于D：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误；
故选：ACD.
38．（22-23高一下·山西晋中·期中）下列命题不正确的是（ ）.
A．棱台的侧棱长可以不相等，但上、下底面一定相似
B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
C．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
【答案】BCD
【分析】直接根据棱台、棱柱、棱锥和圆锥的定义判断各选项即可.
【详解】对于A：棱台的上、下底面相似，但侧棱长不一定相等，故A正确；
对于B：有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥，也可能是组合体，与棱锥的定义相矛盾，故B错误；
对于C：两个的斜棱柱扣到一起，也满足这种情况，但是不是棱柱，故C错误；
对于D：直角三角形绕直角边所在直线旋转一周所形成的几何体才是圆锥，若直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥的组合体，故D错误；
故选：BCD
三、填空题
39．（2024高三·全国·专题练习）给出下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是球．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】⑤
【分析】
根据旋转体的定义可逐项判断.
【详解】
①中这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错误；
②中这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错误；
圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③错误；
④中如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，那么得到的不是圆锥和圆台，④错误；
只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．
故答案为：⑤
40．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于 ．
【答案】
【分析】
先根据圆锥侧面展开图得：为小虫爬行的最短路径；再根据弧长公式可得；最后根据底面圆周长等于的长度即可得出答案.
【详解】
把圆锥侧面沿母线展开成如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径.
依题意：小虫爬行的最短路程为.
因为母线长，
所以在中．
则由弧长公式得：．
设圆锥底面圆的半径为r.
则，解得
故答案为：
41．（23-24高二上·上海虹口·期中）下列命题中错误的是 ．
①过圆柱的旋转轴的截面是矩形；
②母线长相等的不同圆锥的轴截面的面积相等；
③圆台所有平行于底面的截面都是圆面；
④圆锥所有的轴截面都是全等的等腰三角形．
【答案】②
【分析】根据圆柱、圆台、圆锥的结构特征，即可得出答案.
【详解】对于①，根据圆柱的特征，可知①正确；
对于②，圆锥的轴截面为等腰三角形，该三角形顶角的取值范围为，显然面积不相等，故②错误；
对于③，根据圆台的特征，可知③正确；
对于④，圆锥所有的轴截面都是等腰三角形，且腰长等于母线长，底长等于圆锥底面圆直径，故④正确.
故答案为：②.
42．（22-23高三上·云南保山·期末）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在每个顶点的曲率为，故其总曲率为.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为 ，四棱锥的总曲率为 .
【答案】 /
【分析】根据曲率的定义结合正方体和四棱锥的特点即可得到答案.
【详解】根据曲率的定义可得正方体在每个顶点的曲率为；
由定义可得多面体的总曲率顶点数各面内角和，
因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，
所以任意四棱锥的总曲率为.
故答案为：；.
四、解答题
43．（21-22高一·全国·课时练习）根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称.
(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；
(2)由五个面围成，其中一个面是正方形，其他各面是有一个公共顶点的全等三角形；
(3)由五个面围成，其中上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰所在直线能相交于一点.
【答案】(1)六棱柱
(2)四棱锥
(3)三棱台
【分析】（1）结合六棱柱的定义来求得正确答案.
（2）结合四棱锥的定义来求得正确答案.
（3）结合三棱台的定义来求得正确答案.
【详解】（1）该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，满足棱柱的定义，故该几何体是六棱柱.
（2）该几何体的其中一个面是正方形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥.
（3）该几何体上、下两个面是相似三角形，其余各面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点，因此该几何体是三棱台.
44．（2023高一·江苏·专题练习）如图所示，长方体.

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
【答案】(1)是棱柱，并且是四棱柱，理由见解析；
(2)截面BCNM的右上方部分是三棱柱，左下方部分是四棱柱.
【分析】（1）根据棱柱的定义判断即可；
（2）根据棱柱的定义以及棱柱的表示方法求解即可.
【详解】（1）是棱柱，并且是四棱柱，因为长方体相对的两个面是互相平行的四边形(作底面)，其余各面都是矩形(作侧面)，且相邻侧面的公共边互相平行，符合棱柱的定义．因为底面是四边形，所以长方体是四棱柱；
（2）截面BCNM上方部分是棱柱，且是三棱柱，其中和是底面.
截面BCNM下方部分也是棱柱，且是四棱柱，
其中四边形和是底面.
类别
多面体
旋转体
定义
由若干个平面多边形围成的几何体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
图形
相关概念
面：围成多面体的各个多边形
棱：相邻两个面的公共边
顶点：棱与棱的公共点
轴：形成旋转体所绕的定直线
名称
定义
图形及表示
相关概念
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与底面的公共顶点
名称
定义
图形及表示
相关概念
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
如图可记作：棱锥S—ABCD
底面(底)：多边形面
侧面：有公共顶点的各个三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：各侧面的公共顶点
名称
定义
图形及表示
相关概念
分类
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台
如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′
上底面：平行于棱锥底面的截面
下底面：原棱锥的底面
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……
截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
圆柱
图形及表示
定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱表示为圆柱O′O
相关概念：
圆柱的轴：旋转轴
圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边
圆锥
图形及表示
定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图中圆锥表示为圆锥SO
相关概念：
圆锥的轴：旋转轴
圆锥的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置 ，不垂直于轴的边
圆台
图形及表示
定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台
图中圆台表示为圆台O′O
相关概念：
圆台的轴：旋转轴
圆台的底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面
圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
球
图形及表示
定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图中的球表示为球O
相关概念：
球心：半圆的圆心
半径：连接球心和球面上任意一点的线段
直径：连接球面上两点并经过球心的线段