专题16.2 二次根式的混合运算（压轴题专项讲练）-八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

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专题16.2 二次根式的混合运算 典例分析 【典例1】材料一：由(5+3)(5−3)=(5)2−(3)2=2可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： 13+2=3−2(3+2)(3−2)=3−2； 材料二：根式化简 13+3=13(3+1)=3−13(3+1)(3−1)=121−13； 153+35=115(5+3)=5−315(5+3)(5−3)=1213−15． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）33−6 =_____ _；（直接写结果） （2）计算：12+1+13+2+14+3+…+1100+99； （3）计算：13+3+153+35+175+57+…+14947+4749； （4）计算：5−31+3+5+3×5+7−51+5+7+5×7+…+2025−20231+2023+2025+2023×2025． 【思路点拨】 本题考查分母有理数、二次根式的混合运算，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解答的关键． （1）仿照题中例题解过程求解即可； （2）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （3）仿照题中求解过程化简各式，然后加减运算即可求解； （4）先对分母分解因式，再进行裂项化简各数，然后加减运算即可． 【解题过程】 （1）解：33−6=33+63−63+6 =33+69−6=3+6， 故答案为：3+6 （2）解：12+1+13+2+14+3+…+1100+99 =1×2−12+12−1+1×3−23+23−2+1×4−34+34−3+…+1×100−99100+99100−99 =2−12−1+3−23−2+4−34−4+…+100−99100−99 =2−1+3−2+4−3+…+100−99 =−1+100 =−1+10 =9； （3）解：13+3+153+35+175+57+…+14947+4749 =133+1+13×55+3+15×77+5+…+147×4949+47 =3−133+13−1+5−33×55+35−3+7−55×77+57−5+…+49−4747×4949+4749−47 =3−123+5−323×5+7−525×7+…+49−47247×49 =12×1−13+13−15+15−17+…+147−149 =12×1−149 =12×1−17 =37； （4）解：5−31+3+5+3×5+7−51+5+7+5×7+…+2025−20231+2023+2025+2023×2025 =5−31+3+5+3⋅5+7−51+5+7+5⋅7+…+2025−20231+2023+2025+2023⋅2025 =5+1−3−13+15+1+7+1−5+15+17+1+…+2025+1−2023+12025+12023+1 =13+1−15+1+15+1−17+1+…+11023+1−12025+1 =13+1−12025+1 =3−13+13−1−145+1 =3−12−146=32−1223． 学霸必刷 1．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）估计72−24÷2+913的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 2．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）张老师在黑板上出了一道计算题：3−6◯6+3，要求同学们在“○”中填入适当的运算符号，使得计算结果是有理数，“○”中可以填的符号是（    ） A．×或÷ B．+或÷ C．+或× D．−或× 3．（23-24八年级下·重庆江津·阶段练习）某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如a⋅a=a，23−223+2=10．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，得到了一些结论： ①17−3=3+72； ②设有理数a，b满足：a2+1+b2−1=−62+4，则a+b=6； ③12022−2021>12020−2019； ④已知43−x−11−x=4，则43−x+11−x=6； ⑤13+3+153+35+175+57+⋅⋅⋅+19997+9799=33−1166． 以上结论正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级下·重庆北碚·期中）已知a0=3，将a0的整数部分加上a0的小数部分的倒数得到a1，再将a1的整数部分加上a1的小数部分的倒数得到a2，以此类推可得到a3，a4，……，an．如3的整数部分为1，小数部分为3−1，所以a1=1+13−1=1+3+12．根据以上信息，下列说法正确的有（    ） ①a3=9+32；②a2022的小数部分为3−12；③a20−a19=3+32；④1a2−3a4−3+1a4−3a6−3 +⋯⋯+1a98−3a100−3=47450；⑤a1+a2+a3+⋯⋯+a40=1230+303． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（23-24八年级下·重庆九龙坡·阶段练习）“黑白双雄，纵横江湖；双剑合壁，天下无敌”．其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这样相辅相成的例子．如5+25−2=52−22=3，它们的积是有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，在进行二次根式计算时利用有理化因式可以去掉根号，令An=n（n为非负数），则Am+AnAm−An=m+nm−n=m2−n2=m−n；1Am+An=1m+n=m−nm+nm−n=m−nm−n．则下列选项正确的有（   ）个 ①若a是A7的小数部分，则3a的值为7−2； ②若bA5−A4−cA5+A4=85+4（其中b、c为有理数），则bc=−15； ③An+10−An−2=2，则An+10+An−2=6 ④12A1+A2+13A2+2A3+14A3+3A4+⋯+12023A2022+2022A2023=1−20232023 A．4 B．3 C．2 D．1 6．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）3+26的整数部分是 ． 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知x=345+1−345−1，则x3+12x的算术平方根是 ． 8．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）化简35+105+37+533+25+7= ． 9．（23-24八年级上·上海虹口·阶段练习）已知x=12022−2021，则x6−22021x5−x4+x3−22022x2+2x−2022的值为 ． 10．（23-24八年级下·浙江宁波·开学考试）已知实数x，y满足x−x2−2018y−y2−2018=2018，则x2+y2的值为 ． 11．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）计算： （1）212+48−27； （2）−32−318+2−π0+1−3； （3）2−12+28−5−25+2； （4）227+13108−1213÷12． 12．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算： （1）119−100.4+4140； （2）23x2y⋅136x+y2x； （3）226−10−623+32； （4）6÷12−13； （5）2bab3−3bab÷ba(b>0)； （6）a−ba−b⋅a−2ab+ba−b÷1a+2ab+b． 13．（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）计算： （1）(a2nm−abmmn+nmmn)÷a2b2nm； （2）(a+b−aba+b)÷(aab+b+bab−a−a+bab)（a≠b）． 14．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知：x=23−1，y=23+1，求下列各式的值． （1）1x+1y； （2）x2+y2−xy． 15．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）阅读下面解题过程． 例：化简12+1． 解：12+1=2−12+12−1=2−122−12=2−11=2−1． 请回答下列问题． （1）归纳：请直接写出下面式子的结果：16+5=__________． （2）应用：化简13+2+14+3+15+4+⋯+12023+2022； （3）拓展：13+1+15+3+17+5+⋅⋅⋅+12n+1+2n−1=__________．（用含n的式子表示，n为正整数） 16．（24-25八年级上·山西晋中·期中）阅读理解： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例1：3×3=3，6+26−2=6−2=4我们称3的一个有理化因式是3，6−2的一个有理化因式是6+2． 材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化． 例2：13=1×33×3=33 13+2=1×3−23+23−2=3−2 请仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）10的有理化因式是________．2−3的有理化因式是________（均写出一个即可）． （2）若a是5的小数部分，化简3a． （3）利用你发现的规律计算下面式子的值 12+4+14+6+16+8+⋯⋯+12022+20242024+2 17．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：12+1=2−12+12−1=2−122−1=2−11=2−1，23=2×33×3=63， （1）若a=15−2，求3a2−12a−1的值； （2）比较2025−2024与2024−2023的大小，并说明理由． （3）利用这一规律计算：121+2+132+23+143+34+⋯+120242023+20232024． 18．（23-24八年级上·湖南岳阳·期末）阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其心一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2，ab=−3，求a2+b2我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令x=a+b，y=ab，则a2+b2=a+b2−2ab=x2−2y=4+6=10这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算：3+23−2⋅3−23+2= ，3+23−2+3−23+2= ． （2）m是正整数，a=m+1−mm+1+m,b=m+1+mm+1−m,且2a2+1955ab+2b2=2023，求m． （3）已知15+x2−19−x2=2，求15+x2+19−x2的值．