专题16.3 二次根式的应用（压轴题专项讲练）-八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

这是一份专题16.3 二次根式的应用（压轴题专项讲练）-八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版），文件包含专题163二次根式的应用压轴题专项讲练人教版原卷版docx、专题163二次根式的应用压轴题专项讲练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
专题16.3 二次根式的应用典例分析 【典例1】阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题．【阅读材料1】如果两个正数a，b，则a−b2≥0 ，即a+b−2ab≥0,∴a+b≥2ab，当且仅当a=b时取等号，此时a+b有最小值为2ab ．【实例展示1】已知x>0，求式子x+9x最小值．解：x+9x≥2x⋅9x=6 ，当且仅当x=9x,∵x>0 ，即x=3时，式子有最小值为6．【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．【实例展示2】如：x−1x+1,x2x−1这样的分式就是假分式；如：3x+1,2xx2+1这样的分式就是真分式，假分数 74可以化成134带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：x−1x+1=(x+1)−2x+1=1−2x+1,x2x−1=x2−1+1x−1=(x−1)(x+1)x−1+1x−1=x+1+1x−1.【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：（1）已知x>0，则当x=______时，式子x+16x取到最小值，最小值为______；（2）分式3x是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式x+6x+1可化为带分式形式为______；如果分式x+6x+4的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个；（3）用篱笆围一个面积为225m2的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（4）已知x>1，当x取何值时，分式x−1x2−2x+5取到最大值，最大值为多少？【思路点拨】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可；（2）根据新定义判断分式3x是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值；（3）设这个矩形的长为x米，则宽=面积÷长，即宽=225x米，则所用的篱笆总长为2倍的长+2倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据：a+b2≥ab求解；（4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案．【解题过程】（1）解：令a=x,b=16x，则有a+b≥2ab，得x+16x≥2x⋅16x=8，当且仅当x=16x时，即正数x=4时，式子有最小值，最小值为8；故答案为：4，8；（2）解：根据新定义分式3x是真分式，x+6x+1=x+1+5x+1=1+5x+1，∵x为整数，x+6x+4=1+2x+4的值为整数，∴2x+4为整数，∴x+4=2或x+4=−2或x+4=1或x+4=−1，解得：x=−2或x=−6或x=−3或x=−5，则满足条件的整数x的值有4个，故答案为：真分式，1+5x+1，4；（3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为225x米，所用的篱笆总长为y米，根据题意得：y=2x+450x 由上述性质知：∵x>0，∴x+225x≥2x⋅225x=30，此时，x=225x，∴x=15，答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米；（4）解：x−1x2−2x+5=x−1x2−2x+1+4=x−1x−12+4=1x−1+4x−1，∵x>1，∴x−1+4x−1≥2x−1×4x−1=4，当且当x−1=4x−1时，即x=3时，式子x−1+4x−1有最小值为4，当x=3时，分式x−1x2−2x+5取到最大值，最大值为14．学霸必刷1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设x>0，2x+4x的最小值为m，使得2x+4x取最小值的x值为n，则m−n=（    ）A．8B．6C．−22D．322．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a为3+5−3−5的小数部分，b为6+33−6−33的小数部分，则2b−1a的值为（     ）A．6+2−1B．6−2+1C．6−2−1 D．6+2+13．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则a+bc= ．4．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为S1=18，S2=12，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ．5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为230−6，则较小的正方形面积为 ．6．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ．  7．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，正方形ABCD和AEFG的边长分别为x,y，点E、G分别在边AB、AD上，若x−y=26，xy=254，则图中阴影部分图形的面积的和为 ．8．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为21cm，宽为4cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 ．  9．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）做一个底面积为24cm2，长、宽、高的比为4:2:1的长方体；求：（1）长方体的表面积是多少？（2）长方体的体积是多少？10．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为72m，宽AB为32m，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为10+1m，宽为10−1m．  （1）求矩形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）（2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？11．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别是边长为15+5cm和15−5cm的正方形相框．（1）求大相框的面积是小相框面积的多少倍？（2）现在小华想用长为25cm的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：15≈3.9）12．（23-24九年级上·河南南阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面积；（2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你直接写出答案．13．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4dm2，8dm2和18dm2的正方形木板A，B，C．（1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________dm，B的边长为___________dm，C的边长为___________dm；（2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；（3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16dm2的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为ℎ，甲盒子底面是边长为a的正方形，乙盒子底面是长为b，宽为cc≠b的长方形．（1）若bc=24,ℎ=3，求甲盒子的侧面积；（2）设甲，乙两个盒子侧面积分别为S甲，S乙，①S甲______S乙（填“>”“=”“0∴12−212×13+13>0∴12+13>212×13．（1）填空：6+3________26×3；7+7________27×7．（2）试猜想a+b与2aba≥0,b≥0的大小，并说明理由．（3）请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？19．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】若a>0,b>0，则a=(a)2,b=(b)2,∴(a−b)2=a+b−2ab（注：a⋅b=ab）．∵(a−b)2≥0,a+b−2ab≥0,∴a+b≥2ab．“a+b≥2ab”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当a=b时，取等号．）【例】：若a>0,b>0,ab=16，求a+b的最小值．解：∵a>0,b>0,ab=16 ∴a+b−2ab≥0，∴a+b≥2ab=8．∴a=b=4时，a+b的最小值为8．【解决问题】（1）若m>0,n>0,m+n=24，求mn的最大值；（2）用篱笆围成一个面积为144m2的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；（3）用一段长为80m的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少．20．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料：基本不等式ab≤a+b2a>0, b>0当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把a+b2叫正数a, b的算术平均数，ab叫正数a, b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具．例如：在x>0的条件下，当x为何值时，x+1x有最小值，最小值是多少？解：∵x>0, 1x>0，∴x+1x2≥x⋅1x，即x+1x≥2x⋅1x∴x+1x≥2．当且仅当x=1x时，x+1x有最小值，最小值为2；请根据阅读材料解答下列问题：（1）若x>0，函数y=2x+1x，当x为何值时，函数有最值，并求出其最值．（2）若x>3时，求式子2x+1x−3的最值，并说明此时x的值．（3）x>0时，式子x2+1+1x2+1≥2成立吗？说明理由．21．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）【观察发现】∵6+52=62+52+26×5=11+230．∴11+230=6+52=6+5；∵2+32=22+32+2×2×3=7+43，∴7+43=2+32=2+3．【初步探索】（1）化简：9+214= ；（2）形如m−2n可以化简为a−b，即m−2n=a−b，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得m= ，n= ；（3）若x+45=1+y5，且x，y均为正整数，求x的值；【解决问题】（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为80cm2和14+65cm2．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据5≈2.236）；请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？22．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解决问题：【观察发现】因为5+22=5+2+25×2=7+210，所以7+210=5+22=5+2；因为8−62=8+6−26×8=14−83，所以14−83=14−248=8−62=8−6=22−6．【建立模型】形如p±2q的化简（其中p、q为正整数），只要找到两个正整数m,nm>n，使m+n=p，mn=q，那么p±2q=m±n．【问题解决】（1）化简：①11+230=______；②71−167=______；（2）已知正方形的边长为a，现有一个长为113030+2，宽为230的长方形，当它们的面积相等时，求正方形的边长；（3）已知x=2−3,y=2+3，则代数式x2+2xy+y2+x−y−4的值为______．331b3a226c型号长宽高A型10cm8cm12cmB型12cm10cm15cmC型16cm10cm10cm