专题17.2 勾股定理的应用（十大题型总结）（压轴题专项讲练）-八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

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专题17.2 勾股定理的应用（十大题型总结） 【题型一：求梯子滑落高度】 1．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在一宽度EC为2米的电梯井里，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，顶端A被固定在墙上，这时B到墙底端C的距离为0.7米．程师傅为了方便修理，将梯子的底端举到对面D的位置，问此时梯子底端离地高度DE长为（   ） A．0.7米 B．0.9米 C．1.2米 D．1.5米 2．（23-24八年级上·浙江温州·期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形AB=AC．图甲是梯子两脚架夹角A为90°时的示意图，图乙是由图甲当点B与点C的距离缩小120cm，而点A与地面的距离增大40cm时的示意图，若点A与地面的距离为170cm时，则此时点B与点C的距离是 cm． 3．（24-25七年级上·山东泰安·期中）问题情境：某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长25m的云梯AB，如图，云梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离BC=7m，∠DCE=90°． 独立思考： （1）这架云梯顶端距地面的距离AC有多高？ 深入探究： （2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到A′位置上（云梯长度不改变），AA′=4m，云梯的底部B在水平方向滑动到B′的距离BB′也是4m吗？若是，请说明理由；若不是，请求出BB′的长度． 问题解决： （3）在演练中，高24.3m的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的15，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达24.3m高的墙头进行救援？ 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图是小明家中的三个房间甲、乙、丙的截面图，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB． （1）当小明在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA=1.6米，AP=1.2米，则甲房间的宽度AB= 米． （2）当他在乙房间时，测得MA=1.6米，NB=1.2米，且∠MPN=90°，求乙房间的宽AB； （3）当他在丙房间时，测得MA=3.3米，且∠MPA=75°，∠NPB=45°，求丙房间的宽AB． 【题型二：求旗杆高度】 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图是某校操场上的旗杆，小明和小华想测量旗杆高度，他们设计的测步骤如下： ①如图甲，底座截面是长方形，测出长方形的长CF=1.6m，高CD=0.3m，旗杆正好在底座的正中间（B是CF的中点）；（旗杆的直径忽略不计）将旗杆的绳子拉直垂直于底座时，发现拖在底座上的绳子长度恰好为BC的长； ②如图乙，将刚才拖到地上的绳子拉直至地面M处，使绳子底端恰好接触地面，测量出DM长为2m． 请用以上数据计算出该校操场上旗杆的高度． 6．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆AB的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即CD的长）？ 7．（24-25九年级上·湖北·期末）为测量学校旗杆AB的高度，学校“华罗庚”数学兴趣小组的同学经过讨论，设计了以下两种方案： 请从以上两种方案中任选一种，计算旗杆AB的高度． 8．（2024·福建南平·一模）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为am，小明同学将整条绳子斜拉直，测出绳子靠地面的末端C到旗杆底部B的距离为bm． （1）小红说测量出的数据b一定大于a，请判断小红的说法是否正确？并说明理由； （2）求旗杆AB的高度．（结果用含a，b的代数式表示） 【题型三：求小鸟飞行距离】 9．（23-24八年级下·重庆铜梁·期中）如图，有一只喜鹊在一棵2m高的小树AB上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（BD）为8m的一棵9m高的大树DM上，喜鹊的巢位于树顶下方1m的C处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为2m/s，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A．5s B．4s C．3s D．2s 10．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB=2米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.5米的学生CD刚走到离门间距CB=1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 11．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=10米． （1）求出BC的长度； （2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离． 12．（2025八年级下·全国·专题练习）在“欢乐周末•非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离BD为15m；根据手中余线长度，计算出AC的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离AB为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． （1）求风筝离地面的垂直高度CD； （2）在余线仅剩7.5m的情况下，若想要风筝沿射线DC方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【题型四：求大树折断前的高度】 13．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹稍触地面处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为（  ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．4.2尺 D．5.8尺 14．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，一棵高5米的树AB被强台风吹斜，与地面BC形成60°夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A 恰好落在BC边上的点E，若BE=2米，则BD的长是 米．    15．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，一棵竖直的大杉树在一次台风中被刮断AB⊥CD，树顶C落在离树根B 15m处，工作人员要查看断痕A处的情况，在离树根B有6m的D处架起一个长10m的梯子AD，点D，B，C在同一条直线上，求这棵树原来的总高度． 16．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一棵垂直于地面且高度为12m的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离AC=4.5m，树尖B恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，CD=6.5m，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 17．（23-24八年级下·全国·单元测试）由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度． 18．（23-24八年级上·河北保定·期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m．    （1）求旗杆在距地面多高处折断（即求AC的长度）． （2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显的裂痕，将旗杆C处修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部5.5米处是否有被砸伤的风险？ 【题型五：水杯中的筷子问题】 19．（24-25七年级上·山东东营·期中）一只17cm的铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒内部底面直径是5cm，内壁高12cm，那么这根铅笔需在笔筒外的部分长度h的范围是（     ） A．2≤ℎ≤5cm B．4≤ℎ≤5cm C．2≤ℎ≤4cm D．4≤ℎ≤6cm 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm，高度为12cm，吸管长为25cm（底端在杯子底上），露在水杯外面的吸管长度为acm，则a最小为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 21．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是一种筷子的收纳盒，长、宽、高分别为4cm，3 cm，12 cm，现有一长为16cm的筷子插入到盒的底部，则筷子露在盒外的部分h(cm)的取值范围（  ） A．3