专题16.1 二次根式的性质与化简（压轴题专项讲练）-八年级数学下册压轴题专项讲练系列（人教版）

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专题16.1 二次根式的性质与化简典例分析 【典例1】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22=1+22，善于思考的小明进行了以下探索：若设a+b2=m+n22=m2+2n2+2mn2（其中a、b、m、n均为整数），则有a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b2的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）若a+b7=m+n72，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=______，b=______；（2）若a+63=m+n32，且a、m、n均为正整数，求a的值；（3）化简下列各式：①5+26；②7−210；③4−10+25+4+10+25．【思路点拨】（1）利用完全平方公式展开可得到用m、n表示出a、b；（2）利用（1）中结论得到6=2mn，利用a、m、n均为正整数得到m=1，n=3或m=3，n=1，然后利用a=m2+3n2计算对应a的值；（3）设4−10+25+4+10+25=t，两边平方得到t2=4−10+25+4 +10+25 +216−(10+25)，然后利用（1）中的结论化简得到t2=6+25，最后把6+25写成完全平方形式可得到t的值．【解题过程】（1）设a+b7=m+n72=m2+7n2+2mn7（其中a、b、m、n均为整数），则有a=m2+7n2，b=2mn；故答案为：m2+7n2，2mn；（2）∵6=2mn，∴mn=3，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=m2+3n2=12+3×32=28；当m=3，n=1时，a=m2+3n2=32+3×12=12；即a的值为12或28；（3）①5+26=3+2+23×2=3+22=3+2②7−210=5+2−25×2=5−22=5−2③设4−10+25+4+10+25=t，则t2=4−10+25+4 +10+25 +216−(10+25)=8+26−25=8+2(5−1)2=8+25−1=6+25=5+12，∴t=5+1．学霸必刷1．（24-25八年级上·重庆·期中）已知32a−8+35−3b=0，则6a−9b的值为（   ）A．9 B．±9 C．3 D．±32．（23-24八年级下·宁夏吴忠·阶段练习）观察分析下列各数：0，3，6，3，12，15，18，⋯根据其中的规律，则第10个数是（  ）A．21 B．24 C．27 D．283．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若 31×53×75×⋯×2n+12n−1=11，则n的值为（   ）A．40 B．50 C．60 D．704．（23-24八年级下·四川德阳·阶段练习）将x−111−x根号外的因式移到根号内，结果为（   ）A．1−x B．−1−x C．x−1 D．−x−15．（24-25八年级上·浙江温州·期末）化简23−610+43−22的结果是（   ）A．3+2 B．3−2 C．3+22 D．3−26．（2024八年级·全国·竞赛）已知正整数a、m、n满足a2−45=m−n．则这样的a、m、n的取值（    ）．A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在7．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知正实数m，n满足2m+2mn+n=2，则mn的最大值为（　　）A．13 B．23 C．33 D．238．（23-24八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，18−2n是整数，则满足条件的所有n的值为 ．9．（2024八年级上·四川成都·专题练习）已知xy=12, x+y=−8，则yxy+xyx的值为 ．10．（24-25九年级上·四川内江·期中）实数x、y、z满足条件x+y−1+z−2=14x+y+z+9，则xy−z的值是 ．11．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知x+1x=2，则xx2+x+1−xx2+10x+1= ．12．（24-25九年级上·四川内江·期中）若实数x，y，m满足关系式3x+5y−2−m+2x+3y−m=x+y−20×20−x−y，则m的值为 13．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）若y=1−x+x−12的最大值为a，最小值为b，则a2+b2的值为 .14．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象：（1）具体运算，发现规律，①223=83=22×23=223；②338=338；③4415=4415；④5524=_________；（2）观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果n为正整数n≥2，用含n的式子表示上述的运算规律；（3）证明你的猜想．15．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）观察下列各式：1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，请利用你所发现的规律．（1）写出第4个式子______；（2）写出第n个式子______，并证明其正确性（用n含的等式表示，n为正整数）．（3）计算1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋅⋅⋅+1+1992+11002．16．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题．例如：化简4+23．解：4+23=1+23+3=1+32=1+3=1+3．依据上述计算，填空：（1）7+43= ，41−242= ；（2）根据上述方法求值：3−22+5−26+7−43+⋯+199−6011．17．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式3−22的难题．【问题解决】（1）小慧同学的解决思路是将3−22转化为a−b2的形式，根据a−b2=a−b．因为22+12=3，2×2×1=22，所以a=______，b=______，则可得到化简；【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式5+26；【问题迁移】（3）若1≤x≤2，解方程x+2x−1+x−2x−1=12x+3．18．（23-24八年级下·山东临沂·期中）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．标题：双层二次根式的化简内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号．例如：要化简3+22，可以先思考1+22=12+2×1×2+22=3+22，所以3+22=12+2×1×2+22=1+22=1+2．通过计算，我还发现设a+b2=m+n22=m+n2（其中m，n，a，b都为正整数），则有a+b2=m2+2n2+2mn2，∴ a=m2+2n2，b=_______．这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法．任务：（1）文中的b=________．（2）化简：6+25=________．（3）已知a+43=x+y3，其中a，x，y均为正整数，求a的值．（4）化简：4p−8p−1+4p+8p−1=________ ．（直接写出答案）