北师数学七下第四章回顾与思考（第一课时）教学设计

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第四章 三角形回顾与思考（第1课时）一、学习任务分析本节课要回顾本章的学习过程和学习的内容：梳理本章知识内容构建知识体系，进一步体会几何概念学习的一般方法；通过解决尺规作图的实际问题，在操作活动中发展空间观念、有条理的思考和表达能力；归纳全等三角形的性质、判定和应用；在动手操作活动中，感受“分类”思想，在问题解决过程中，体会“一般与特殊”的辩证关系；在复习过程中培养学生良好的归纳反思习惯。“回顾与思考”安排2课时。第1课时，通过尺规作图的问题串联起三角形及相关的概念、性质和对全等三角形的判定、性质与应用进行系统、整体的梳理，将碎片化的知识，串成网状的知识、思想体系；应用三角形全等的判定和性质求解与线段、角度有关的简单问题；理解尺规作图原理，能用尺规作出符合要求的图形，并能解决与之相关的实际问题。二、学生起点分析在本章，学习了三角形的基本概念、分类、基本性质——三角形的内角和定理、三边关系定理；建立了两个图形之间的联系——三角形全等，利用尺规作图探索了三角形全等的条件，用全等三角形的性质和判定解决简单的实际问题。本章是继学习“相交线与平行线”后的又一次几何概念学习，学生对概念学习的一般方法有了进一步的感性认识和体验。在概念习得的过程中，学生经历了观察—操作—归纳—验证的活动过程，逐步建立获得数学概念的一般路径；学生通过对图形的组成元素及相关元素的分析，发现各元素、图形之间的联系，获取了探究图形几何性质所必需的活动经验；经历过多次合作学习的过程，积累了合作学习的经验，具备了合作与交流的能力。三、教学目标1．通过绘制本章思维导图，回顾本章知识内容、梳理知识体系，体会三角形的研究思路、研究内容、研究方法， 建构研究几何图形的一般思路。2．在动手操作活动中进一步理解三角形的中线、角平分线、高的概念，运用三角形的内角和定理及三角形三边关系定理解决一些简单问题，发展空间观念和有条理的表达能力。3．在动手操作活动中，感受“分类”思想，发展几何直观；在复习过程中培养学生良好的归纳反思习惯。教学重点：运用三角形的内角和定理解决简单问题。教学难点：体会三角形的研究思路、研究内容、研究方法， 建构研究几何图形的一般思路。四、教学过程设计本节课设计六个教学环节：【第一环节】回顾梳理，自主建构；【第二环节】展示交流，深化理解；【第三环节】重点突破，查缺补漏；【第四环节】灵活运用， 融会贯通；【第五环节】类比运用，课堂检测；【第六环】个性完成，挑战自我。【第一环节】回顾梳理，自主建构1.活动内容（1）绘制本章思维导图，梳理本章内容。 （2）利用尺规作锐角△ABC，使△ABC中的两个角等于下列角中的两个。2.活动目的通过前置作业设计，引导学生自主学习；通过自主回顾、梳理、建构本章的知识体系，将零散的碎片知识串联起来，形成知识网；设计尺规作图操作活动，在观察、操作动手活动中，在应用三角形内角和定理解决问题的活动中，进一步感悟分类的思想，加深对三角形分类的理解，发展几何直观和推理能力。3.实际效果绘制思维导图需要一定的时间，此项活动需要提前布置给学生，给学生充分的时间回忆、梳理、表达。对于绘制有困难的同学教师也可以要求绘制知识结构图；观察、操作、想象对空间观念形成和发展具有重要作用，对尺规作图的要求是“不仅知道步骤，还要知道理由，思考作图的合理性”；教师也可以在作图后面，追加问题：你是怎么做的？有多少满足条件的三角形？能说明作图理由吗？ 【第二环节】展示交流，深化理解1.活动内容展示个人思维导图，组内交流完善。思考并讨论：（1）从哪些方面研究三角形以及它们之间的关系？ （2）三角形的性质研究了哪些内容？ （3）我们用了什么研究方法？（4）如何说明与三角形有关的结论的正确性？ （5）第一环节中满足条件的锐角三角形可以作出多少个？你是如何判断的？2.活动目的鼓励学生积极与同伴交流，在共同研讨中完成对本单元内容的梳理；单元复习不仅要关注知识内容结构化，更要完成基于本章内容为研究对象的研究的一般路径。因此设计四个递进的问题串，从“三角形及它们的关系”的研究对象、“三角形的性质”研究内容、研究方法，“如何说明结论正确”等方面引导学生归纳总结，在感性经验基础上建构几何概念学习的一般思路，促进学科研究思想的形成，为几何概念学习建立一般观念； 3.实际效果归纳学科研究路径，建立概念学习一般观念，对学生来说有一定难度，为降低难度采用了问题串的设计方式，鼓励学生用自己的语言进行归纳即可。也可以采用学生先独立思考再组内交流的方式，降低学习的难度；对于有多少个满足条件的锐角三角形这一问题，绝大多数同学可以回答正确无数个，理由是“根据三角形全等的判定” “只给出角的条件无法作出全等三角形”所以这样的三角形不唯一；教师可以继续追问：这些三角形之间是否有关系？将尺规作图与三角形全等的判别联系到一起，实现知识的融合。【第三环节】重点突破，查补缺漏1.活动内容（1）从所给的角中任选2个，还能作出哪些三角形，你能对它们进行分类吗？ （2）如图1，已知在△ABC中， ∠A=40°，∠C=60°，BD平分∠ABC ，则∠CBD= °,∠ADB= °。（3）如图2，已知在△ABC中， ∠A=40°， ∠C=60°，BD平分∠ABC ，BE是△ABC 的高，则∠DBE= °。（4）如图3，已知在△ABC中， ∠A=40°， ∠C=60°，BD平分∠ABC ，过点D作DF∥BC交AB于点F, 则∠BDF = °。（5）如图3，已知在△ABC中， ∠A=40°， ∠C=60°，BD平分∠ABC ，点F是AB边上一点，连接DF ，若DF=BF，则∠ADF = °。 图1 图2 图32.活动目的进一步梳理三角形分类的原则，巩固“三角形的角平分线”“高线”的定义及“三角形内角和定理”的应用；在第（4）题的基础上增设第（5）题，得到“角平分线、平行线、等腰三角形”间的关系，构建图形间横向联系，培养学生归纳反思的习惯。3.实际效果七年级学生处在几何学习的入门阶段，所以问题的设置大多以填空为主；教师在教学过程中，可以追问理由，学生口述，逐步培养学生有条理表达能力。但是在解题的过程中需要求学生识图、标图，使用图形语言，发展空间观念。第（5）题可以在第（4）题解决后再提出，求解后再进行对比归纳，可以引导学生先观察每道题的条件与结论，再对比观察两个问题中条件与结论的区别与联系，从而得到最终结论。 【第四环节】灵活运用， 融会贯通1.活动内容 尝试·思考一个零件的形状如图4所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°。李叔叔只量得∠BCD＝142°，就断定这个零件不合格，你同意他的说法吗？为什么？图42.活动目的利用“三角形内角和定理”解决实际问题，是对应用定理解决问题的升华，体现数学的应用价值。在实际问题的解决过程中，没有明确解题方向，没有出现熟悉图形，此时需要分析条件，确立解题方向，合理添加辅助线，转化问题，化未知为已知，利用已知解决问题。理解复杂问题中转化的基本思想方法。同时在问题解决的过程，感受解决问题方法的多样性。 3.实际效果题目的实际背景不难理解，但是寻找题目条件之间的关联是本题的难点。学生已经解决的问题基本为“在三角形中直接使用内角和定理求角度”，本题中没有任何需要求解的度数，仅仅是判断零件是否合格，学生会觉得无从下手，教师可以采用“逆向分析”的方式，设计提示性问题：为什么可以通过测量∠BCD的度数断定这个零件合不合格？∠BCD，∠A，∠B，∠D这些角之间有关系吗？如何找到他们的关系？你有哪些办法？在解决的过程中教师可以让学生先独立思考，接下来把自己的想法分享给本组同学，鼓励学生将想法写下来。在解题过程中培养学生有条理的说理能力。【第五环节】类比运用，课堂检测1.活动内容尝试·交流（1）在△ABC中，若∠A =∠B =∠C，则△ABC是_________三角形。（2）已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长是_________。（3）在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠E +∠F＝105°，将△DEF按如图5摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C。①求∠ABD+∠ACD的度数；②能否将△DEF摆放到某个位置，使得BD，CD同时平分∠ABC和∠ACB？并简单说明道理。图5（4）通过本节课的学习，你能归纳求角度有哪些方法吗？2.活动目的第（1）（2）题是对直角三角形的性质、三角形三边关系的进一步巩固；第（3）题是对“转化法”求角度问题的进一步巩固，其中的第②问需要学生通过画图、猜想、直观思考等探索性活动解决问题。最后归纳 “和角度相关问题”的一般解决方法——“三角形内角和定理”“平行线转化角”“等边对等角”“转化法”等。3.实际效果对学生学习进行评价是学习过程不可缺少的过程，第（1）（2）题体现对知识掌握情况的评价，第（3）题完成对探究过程的评价；第（3）题第②问解决有困难，可以先讨论再独立思考。【第六环节】个性完成，挑战自我1.活动内容基础性作业（1）已知三角形两边长分别是2和8，第三边长是偶数，三角形的周长是______。（2）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为______。 图6（3）下面说法错误的是 (　　)。A．三角形的三条角平分线交于一点 B．三角形的三条中线交于一点C．三角形的三条高交于一点 D．直角三角形的一条高在三角形内部，另两条高是直角三角形的两直角边提升性作业1.设△ABC的面积为a．①如图7，延长△ABC的各边得到△A1B1C1，且A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，记△A1B1C1的面积为S1，则S1＝______。（用含a的式子表示）②如图8，延长△ABC的各边得到△A2B2C2，且A2B＝2AB，B2C＝2BC，C2A＝2CA，记△A2B2C2的面积为S2，则S2＝______。（用含a的式子表示）图7 图82.活动目的设置分层作业提供多种学习素材，满足不同层次学生学习的需求，实现不同的学生在数学上获得不同的发展。3.实际效果 学生可以自由选择完成内容。五、教学反思1.复习课要复习基础知识，巩固基本技能，更要从知识发生、发展的内在逻辑角度，建构知识间逻辑联系，要用一般观念引领深化学生对知识的理解。本节课在建构知识体系的基础上，对“怎样研究一类几何图形及其关系”的一般观念进行整理，让学生理解研究几何概念的一般方法，有利于迁移到今后的“相似三角形”及“与圆有关的位置关系”的学习和研究中。 2.把学科知识的应用融合到解决问题中，促进学生核心素养发展。解决问题是学习的目的，也是学会的体现。本节课的设计着眼于问题解决，从“选择哪两个角得到锐角三角形”到“还能作出哪些三角形”，从“为什么测量∠BCD就可以判断零件是否合格”到“能否同时平分角”，从数学问题的解决到实际问题的解决，学生通过操作、分析、转化、归纳化未知为已知，化复杂为简单，数学思想方法的运用水到渠成。3.复习课的设计要以生为本， 通过创设情境调动学生主动参与、充分体验、合作交流、反思感悟的积极性。本节课的设计始终关注学生自主学习，过程性活动设计和问题设计都需要基于学情，在实际教学中需要教师不断地改进自己的教学预设，使师生活动基于学生的“最近发展区”，实现深度学习，促进学生主动学习。