北师数学七下第一章回顾与思考（第二课时）教学设计

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第一章 整式的乘除回顾与思考（第2课时）一、学习任务分析作为回顾与思考的第2课时，本课时的主要任务是通过对整式运算的综合运用，帮助学生理解整式运算的意义和结构特征，进而掌握结论，进一步体会代数推理与几何直观的有机融合，体会数形结合思想在问题探究中的作用，在熟练运用整式运算解决实际问题的过程中，发展学生的运算能力、模型观念，为今后学习分式、方程、函数等内容奠定坚实的基础。在学习过程中引导学生总结归纳如何思考、分析、解决问题，形成有效的解决问题的路径及策略。二、学生起点分析在回顾与思考第1课时中，学生完成了对本章知识体系的整体认知，进行了幂的运算和简单的整式乘除运算的练习，但对于整式运算、数学思想方法等还没有进行系统的梳理，解决实际问题的能力还有待提高。在学习整式乘除运算法则的过程中，学生经历了许多数学活动，积累了一定的探究学习的经验，但是学生分析问题的能力还比较薄弱，缺乏综合运用知识解决复杂问题的经验，有条理地思考及语言表达能力有待提升。三、教学目标1.通过等式填写，进一步理解整式乘法的结构特征，加深对算理的理解，提升运算能力。2.经历观察、操作、推理等探索活动，形成解决问题的有效策略，提升推理能力，以及解决问题的能力。3.通过真实生活情景问题，感受科技的魅力，学会从复杂的叙述中提取有效的数学信息，建立数量关系并解决问题。教学重点：综合运用整式的乘除解决问题。教学难点：应用整式的乘除解决实际问题。四、教学过程设计本节课设计六个教学环节：【第一环节】回顾反思，灵活应用；【第二环节】活动探究，思维升华；【第三环节】联系拓展，巩固提高；【第四环节】学以致用，问题解决；【第五环节】自主整理，反思总结；【第六环节】分层作业，课后提升。【第一环节】回顾反思，灵活应用1.活动内容在下列横线上填上适当的式子。（1）（ + 3b）（2a -3b）= 4a2 - ； （2）（2x + ）2 = +20xy + ； （3）（x + 2）（x + ）= x2 + x + 2；（4）（ + 4y）（x + 2y）= 3x2 + xy + 8y2。你是怎么做的？与同伴进行交流。2.活动目的（1）整式乘法运算是本章思维提升的重点，通过逆用乘法运算完成四个题目，目的是使学生进一步掌握整式乘法及乘法公式的结构特征。（2）通过思考与交流解决问题的过程和思维路径，帮助学生形成解决问题的有效策略,提升运算能力。3.实际效果学生已经基本掌握直接运用乘法运算法则计算，但是对于探寻等号两边的特征，寻求未知的答案，存在困难，尤其是如何有效地抓取关键信息，比如（1）中（ +3b）（2a-3b）= 4a2 - ，体现了平方差公式的结构特征，抓取4a2 =2a·2a这一关键信息。在这一过程先给学生足够的时间独立思考，然后采用小组合作的方式进行查缺补漏，反思与交流解决问题的有效路径，养成反思的学习习惯。【第二环节】活动探究，思维升华1.活动内容准备几张如上图所示的长方形和正方形卡片。 活动一 动手操作：用这些卡片拼一些新的长方形并完成下列问题。问题1：拼接过程中应注意什么？你是如何拼接长方形的？ 问题2：如何计算拼接后的长方形面积？问题3：你有什么发现？活动二 变式训练：从这些卡片中选取几张，用它们拼成一个面积为（2a2 + 3ab）的长方形。问题1：你是如何选择卡片的？问题2：把你的拼图画出来，并和同伴交流你的想法。2.活动目的（1）活动一是一个开放性的问题，课前需做好准备工作。对于卡片的准备，可以让学生自己动手准备，准备的过程本身就是一个思维形成过程，如何能让自己准备的卡片最终可以拼成一个长方形？这是该问题的核心，也是解决本题的关键。学生可以选择不同的组合进行拼图并求出面积，能拼出的长方形不唯一，所求面积也是不同的，这一设计有利于学生发散思维的培养。活动二是在活动一的基础上由面积到图形，这是直观和抽象融合的跨越，更是学生思维逐渐升华的过程，实现了由形到数和由数到形的有机结合。（2）整式乘法运算中数形结合思想主要体现在根据给定的图形写出一个代数恒等式或根据代数式画出几何图形。由几何图形得到代数恒等式时，需要用不同的方法表示几何图形的面积，然后得出代数恒等式；由代数恒等式拼图时，关键在于合理拼接，相等的边或者是拼凑相等的边拼到一起，这一过程的设计，意在培养学生对具体的数学知识进行深入分析的能力，学会挖掘这部分内容蕴含的数形结合的思想，让学生明白，只要对数学内容深入思考，便能找到解决问题的办法，激发学生探究问题的兴趣和信心。3.实际效果这一环节的实施课前务必做好准备工作，卡片的准备需要预设到部分同学没有深入思考、准备的图形不合适等情况的出现，因此教师也要提前准备足量的卡片。课堂实施过程中可采取灵活多样的形式，给学生表达自己拼接方法的机会，并在他们的表达过程中适时引导，在众多的表达中形成能够构成长方形的原则，引导学生发现其中存在的算理，并在学生做出解答后及时给予评价，这一过程体现课堂学习的生成性、真实性。课前可预设拼图，学生的拼图只要合理就给予肯定。【第三环节】联系拓展，巩固提高1.活动内容例1 两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”相等吗？若不相等，相差多少？问题1：如何表示相邻的两个整数？问题2：说说你是怎样理解“平均数的平方”“平方的平均数”的。问题3：认真整理解题步骤并分享。2.活动目的用整式的乘法解决问题不是孤立的，它与之前学过的代数式是密不可分的，因此，本题考查了如何正确理解题意、列出代数式、熟练运用整式的运算找到代数式之间的关系，进而解决问题。这一设计意在让学生体会代数式与整式的运算间的紧密联系。3.实际效果完成这一问题首先需要学生通过读题列出正确的代数式，这就需要学生有足够的分析问题的能力，能够运用数学的思维去思考、表达问题，进而运用数学知识解决问题。在解决问题过程中，引领学生区分“平均数的平方”和“平方的平均数”之间的区别，培养学生学习数学的严谨性；引导学生独立思考，并给予他们展示的机会，可以让他们分析自己的思考过程、计算过程，这不仅有助于他们自主发现问题并加深对知识的理解，还能促进同学间不同思维的交流与碰撞。【第四环节】学以致用，问题解决1.活动内容例2 根据有关理论，当一颗恒星衰老时，其中心的燃料(氢)已经被耗尽，在外壳的重压之下，核心开始坍缩，直到最后形成体积小、密度大的星体。如果这一星体的质量超过太阳质量的三倍， 那么就会引发另一次大坍缩。当这种坍缩使得它的半径达到施瓦西 (Schwarzschild)半径后，其引力就会变得相当强大， 以至于光也不能逃脱出来，从而成为一个看不见的星体——黑洞。施瓦西半径(单位：m)的计算公式是，其中G=6.67×10-11 N·m2/kg2，为万有引力常数；M表示星球的质量(单位：kg)；c=3×108m/s，为光在真空中的传播速度。已知太阳的质量为2×1030kg，计算太阳的施瓦西半径。2.活动目的无论是代数推理还是几何直观，学习的最终目的是解决生活中的实际问题，因此在这一环节设置了这一实际应用，解决此类问题的关键是根据题中所给的公式，利用整式的运算法则来解决问题，意在让学生能够学以致用，并能够通过实际问题激发学生的探索欲望。3.实际效果生活实际问题中的数值往往较为复杂，鼓励学生理解问题中的数学原理，清楚解决问题的算理，能够大胆尝试，避免过多烦琐的运算，可以适时地引导学生使用计算器，轻松解决问题，更能激发学生的学习兴趣。【第五环节】自主整理，反思总结1.活动内容畅谈本节课的收获和体会。2.活动目的让学生通过畅谈自己的收获和体会，巩固所学知识，感受解决问题的过程中蕴含的数学思想与方法。3.实际效果本节课通过代数推理与几何直观的结合，让学生深入理解、掌握整式运算并解决实际问题。设置的问题环环相扣，在小结时让学生充分地互相交流，加深对知识的理解。让学生说出困惑，教师结合具体题目进行点拨，不是简单地让学生记忆某种结论，更重视学生对算理的理解，让学生尝试说出自己的收获和体会，发展学生的逻辑推理能力。【第六环节】分层作业，课后提升1.活动内容必做题：复习题第13，16题。选做题：整式乘法运算的研究思路是什么？整式乘法运算与幂的运算、数的运算之间有什么联系？请撰写一篇小短文阐述你的观点。2.活动目的通过回顾与思考，学生对整式的乘除运算法则有了更加深入的认识和理解，并掌握了一定的研究问题的数学思想方法，通过对研究思路的梳理，提高学生用数学的思维去发现问题、解决问题的能力，为学有余力的学生提供开放的发展空间。3.实际效果学生可根据自己的情况，自主选择是否挑战选做题，也可以根据自己的理解进行更深入的思考和研究。五、教学反思1.注重学生思维能力的提升。本节课是回顾与思考的第2课时，重在让学生熟练掌握并灵活运用整式乘法公式，在应用中体会数学中解决问题的思想方法。本节课设置的问题综合性、灵活性较强，对于基础较好的学生而言，这是难得的开拓视野、锻炼思维、提升自我的机会，教师可以放手让他们自主探究；对于基础薄弱的学生而言，教师可以通过铺设一些问题串，减小思维难度，帮助他们加入探索的行列中。2.注重数学理解、问题解决、联系拓广的思维过程。课堂设计中注重了学生思维能力的提升，采用拼图、观察、归纳等过程，让学生对算理深入理解，并能够灵活运用，解决生活中的实际问题，进一步理解数学的价值，激发了学生学习数学、研究数学、应用数学的兴趣。3.注意改进的方面。在使用教材过程中，很好地应用教材但不拘泥于教材，对教材中设计的问题根据需要进行适当的分解，特别是在小组活动中通过问题分解可以帮助学生明确任务，更好地提高小组讨论的效率和共识的达成。