高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的平行精品课时训练

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“一找二作三证明”是证明线面平行的常用方法，此证明方法分为三步，具体的操作流程如下：
第一步，就是“一找”：根据直线与平面平行的判定定理，要证明线面平行，只需要在这个平面内“找”出一条直线与已知直线平行即可.其次是“一找”的原则：一是要“找”的是线线平行，二是要在一个平面图形中“找”.
第二步，就是“二作”：在分析题意之后，若不能直接“找”到所需要证明的线线平行的关系，则进入“二作”的程序.从三个方面去理解"二作"，第一方面"作"就是作辅助线或辅助平面，有简单的“作”或复杂的“作”；第二方面，每一次"作"的时候都要围绕证明所需去"作"，要证平行关系就去“作”线线平行；第三方面，要把线线平行的关系“作”在一个平面图形中.
第三步，就是"三证明"：经过第一或第二步的操作之后，再按照分析的思路，快速而且规范地写出证明命题的整体过程.在"三证明"中要注意三点，第一，数学符号要标准，几何语言表述要规范；第二，书写要有层次性；第三，最后表述证明结果时要严格遵守判定定理的条件.
注：线线平行的常见“找”法依据
中位线的平行；
平行四边形的对边平行；
平行线的传递性；
线面垂直的性质定理；
（5）面面平行的性质定理.
2、证明线面平行问题经常出现在立体几何试题中，此类问题主要考查线面平行的性质定理和判定定理的应用.而证明线面平行，关键在于作出合适的辅助线，构造出一组平行线或平行平面.
（1）构造三角形的中位线
证明线面平行，通常需运用线面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.那么在证明线面平行时，需找到一组平行线，使得其中一条直线在平面外，另一条直线在平面内.若已知一条线段的中点，且平面内或外的一条直线为三角形的底边，则可过三角形的中点作三角形的中位线，那么就可以根据三角形中位线的性质：中位线平行且等于底边的一半，来证明线面平行.在构造三角形的中位线时，要注意关注中点、线段的垂直平分线、三角形的重心等信息，结合图形的特征寻找中位线。
（2）构造平行四边形
我们知道，平行四边形的对边平行且相等.在证明线面平行时，可根据图形的特点，找到一组对边平行且相等的线段，分别将这四点连接，便可构造出平行四边形，使另一组对边分别为平面内外的一条直线，即可根据平行四边形的性质和线面平行的判定定理证明线面平行.通过直观观察，若平面内的一条直线与平面外的一条直线长度相等，一般猜想构造平行四边形，这时利用平行四边形对边平行得出线线平行，进而得到线面平行。
（3）利用相似比寻找线平行
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，这也是得到线面平行的一种有力工具。题目中出现比值关系时，可考虑利用比值关系，寻找线线平行，进而得到线面平行。
（4）利用直线与平面平行的性质定理寻找线线平行
利用直线与平面平行的性质定理得到直线与直线平行，进而得到直线与平面平行。先证明线面平行（或题目已知线面平行），再利用线面平行的性质定理，得到线线平行，进而得到线面平行。
（5）构造平行平面
面面平行的性质有很多，常见的有：（1）若两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；（2）若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行.在证明线面平行时，只要证明直线所在的平面和平面平行，那么就可以根据面面平行的性质，证明直线和平面平行.当构造三角形和平行四边形困难时，可以考虑构造平行平面.若要证明平面，只需构造一个平面//平面，且，那么根据平行平面的性质，即可证明平面.在构造平行平面时，可在平面内作一条直线，使其平行于.也可直接根据正方体、长方体、直棱柱的性质构造平行平面.
考点一 利用三角形的中位线证明线面平行
考点二 构造平行四边形证明线面平行
考点三 利用对应线段成比例证明线面平行
考点四 利用线面平行的性质证明线面平行
考点五 通过面面平行证线面平行
考点六 翻折类线面平行问题
考点七 线面平行的探索性问题
考点一 利用三角形的中位线证明线面平行
1．（2023春·四川甘孜·高一统考期末）如图， 棱长为 2 的正方体 中，是的中点.
(1)证明: 平面;
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 交于， 连接，证明后得线面平行；
（2）由计算体积．
（1）
连接 交于， 连接， 则为的中位线， 所以，
又平面，平面，
平面；
（2）
为中点，则， 又正方体中，到平面的距离为，
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一校联考期末）如图，长方体中，，，点为的中点.
(1)求证：直线平面PAC；
(2)求异面直线与AP所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)30°
【分析】（1）设和交于点，可得，根据线面平行的判定定理即可得证．
（2）由，得即为异面直线与所成的角．求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.
【详解】（1）设和交于点，则为的中点，连接，
∵是的中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴直线平面；
（2）由(1)知，，
∴即为异面直线与所成的角，
∵，，且，
∴．
又，
∴
故异面直线与所成角的大小为．
3．（2023春·四川绵阳·高一校考期末）如图，正方体边长为分别为中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)45°
【分析】（1）连接，根据，结合判定定理即可证明；
（2）根据题意，是两异面直线与所成角或其补角，再求解即可.
【详解】（1）证明：连接，
∵分别为中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）解：∵，
∴是两异面直线与所成角或其补角，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴两异面直线与所成角的大小为45°．
4．（2023春·浙江·高一期中）在直三棱柱中，，，，D是AB的中点．
(1)求三棱锥的体积；
(2)求证：∥平面；
(3)求三棱柱的外接球的表面积．
【答案】(1)5；
(2)详见解析；
(3).
【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得；
（2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得；
（3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用长方体的性质即得.
【详解】（1）因为，，，
所以，即，又D是AB的中点，
所以；
（2）设与相交于点，连接，
在中，为的中点，为的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直，
所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，
设直三棱柱的外接球的半径为，则，
即，
所以三棱柱的外接球的表面积为.
5．（2023春·陕西汉中·高一校考期末）如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）计算出点到底面的距离以及的面积，再利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.
【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，，则为的中点，
因为为的中点，则，
又因为平面，平面，所以，平面.
（2）解：在正四棱锥中，为底面的中心，则底面，
因为为的中点，则点到平面的距离为，
，
因此，.
6．（2023春·四川绵阳·高一统考期末）如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点．
(1)求证：∥平面；
(2)若三棱锥的体积为，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面；
（2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解.
【详解】（1）证明：连接．
∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面；
（2）取中点F，连接．
∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形．
又平面，∴平面，，点E是的中点，
∴，∴．
考点二 构造平行四边形证明线面平行
7．（2023秋·陕西汉中·高一统考期末）如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．
(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）取PC的中点G，由题可得，然后根据线面平行的判定定理即得；
（2）根据锥体的体积公式结合条件即得.
【详解】（1）取PC的中点G，连接EG，FG，
因为F是的中点，
所以，
因为E是AB的中点，
所以，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）因为PA⊥平面ABCD，F为PD的中点，且PA＝AD＝2，四边形ABCD是正方形，
所以三棱锥的体积为：
＝
．
8．（2023春·天津河东·高一校考期末）如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，且，，M、N分别为PD、BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求：异面直线与所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°
【分析】（1）取的中点为，连接，再由，结合线面平行的判定证明即可；
（2）由得出为直线与所成的角，进而得出异面直线与所成的角．
【详解】（1）取的中点为，连接
分别为的中点
，且
，即四边形为平行四边形
平面，平面
平面；
（2）平面，
，为直线与所成的角
即异面直线与所成的角为
9．（2023春·安徽宿州·高一校考期末）P为正方形ABCD所在平面外一点，E，F，G分别为PD，AB，DC的中点，如图．求证：
(1)AE∥平面PCF；
(2)平面PCF∥平面AEG.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）取PC中点H，分别连接EH，FH，根据E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，得到EAFH为平行四边形，从而EA∥FH，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）根据E，G分别为PD，CD的中点，得到EG∥PC，利用线面平行的判定定理得到EG∥平面PCF，再利用面面平行的判定定理证明.
【详解】（1）证明：如图所示：
，
取PC中点H，分别连接EH，FH，
∵E，F，H分别为PD，AB，PC的中点，
∴，
∴EAFH为平行四边形．
∴EA∥FH.
又平面PCF，平面PCF，
∴AE∥平面PCF.
（2）∵E，G分别为PD，CD的中点，
∴EG∥PC.
又平面PCF，平面PCF，
∴EG∥平面PCF.
由(1)知AE∥平面PCF，EG∩AE＝E.
∴平面PCF∥平面AEG.
10．（2023春·吉林长春·高一长春市第五中学校考期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，，.
(1)若为侧棱的中点，求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点，通过，即可证明平面；
（2）利用等积法，即求解即可
【详解】（1）取的中点，连接，，
在中，，
在梯形中，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
而平面，平面，
∴平面；
（2）∵，，而
∴平面，
即为三棱锥的高，
因为，，
所以，
又，
所以
11．（2010春·湖北孝感·高一统考期末）如图所示，在正方体中，点N在BD上，点M在上，且，求证：平面．
【答案】证明见解析
【分析】方法一:作，易证四边形为平行四边形，从而得到，即可得证.
方法二: 连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接，从而可证，结论即可得证.
【详解】证明 证法一：如图所示，作，交于点E，作，交AB于点F，连接EF，
则平面，且，．
∵在正方体中，，，
∴．
∴．
,∴．
又，
∴四边形为平行四边形，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
证法二：如图所示，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接，
则平面．易知，
∴，
又，，∴，
∴，∴．
∵平面，平面，
∴平面．
12．（2023春·河北邯郸·高一统考期末）在直三棱柱中，，分别是，的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，，，求点到平面的距离.
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】（1）首先连结连结交于点，再证明四边形是平行四边形，即可根据线线平行，证明线面平行；
（2）利用等体积转化，求点到平面的距离.
（1）
连结交于点，连结，
因为点分别是的中点，所以，且，
所以，即四边形是平行四边形，
所以，且平面，平面，
所以平面；
（2）
因为，则,,，所以，所以，,
因为，且，，所以平面，
因为，所以点到平面的距离为1，，
根据等体积转化可知，即，
解得：，
所以点到平面的距离为.
考点三 利用对应线段成比例证明线面平行
13．（2023·全国·高三专题练习）如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】通过线线平行来证得平面.
【详解】连接BD，
∵，∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴平面.
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，点在线段上且.
证明直线平面;
证明：连接交于点，连接,
∵，,
∴△∽△ ,即，
又∵，
∴
∴
又∵、
∴
15．（2016秋·江苏扬州·高二开学考试）如图，在四棱锥中，，且，，点在棱上，且．
求证:平面．
证明：连接交于，连．
因为，所以，故
又，所以．
平面平面 ，
所以平面．
16．（2023秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期末）如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，且，，⊥平面，，，点为线段的靠近点的三等分点.
（1）求证：平面；
（2）若异面直线与所成的角为，求多面体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE，利用三角形相似证明对应线段成比例，得出，即可证明；
（2）利用分割补形法通过即可计算.
【详解】（1）连接AC交BD于点O，连接OE.
因ABCD是直角梯形，且，，，，
所以和相似，且有，
又点E为线段PA的靠近点P的三等分点，有，
所以有.
∥，又平面，
所以∥平面.
（2）直线PA与BC所成的角为，，即，
又AD=4，PD⊥平面ABCD，所以PD=AD=4.
计算得，
.
多面体体积.
【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的判断定理和多面体体积计算，解题的关键是通过三角形的相似成比例得出平行关系.
考点四 利用线面平行的性质证明线面平行
17．（2023春·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.
(1)求证：//平面
(2)求证：//平面.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析
【分析】（1）由线面平行的性质可证得，进而证得平面；
（2）取中点，先证四边形为平行四边形，进而证得，即可证得平面.
【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以，
又平面，平面，则平面；
（2）
取中点，连接，易得，且，由（1）知且，
则且，则四边形为平行四边形，则，又平面，平面，则平面.
18．（2023春·宁夏吴忠·高一吴忠中学校考期中）空间四边形被一平面所截，、、、分别在、、、上，截面是矩形．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线、所成的角．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）证明平面，利用线面平行的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）利用线面平行的性质可证得，结合异面直线所成角的定义以及已知条件可求得异面直线、所成的角．
【详解】（1）证明：因为四边形是矩形，则，
平面，平面，所以，平面，
因为平面，平面平面，，
平面，平面，因此，平面.
（2）解：因为四边形是矩形，则，
平面，平面，平面，
平面，平面平面，，
因为，，，，
因此，面直线、所成的角为.
19．（2023春·湖南长沙·高一长沙市南雅中学校考期中）在三棱锥A-BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且平面ABD.
(1)求证：平面AEF；
(2)若平面BCD，，，记三棱锥F-ACE与三棱锥F-ADE的体积分别为，，且，求三棱锥B-ADF的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据平面ABD，利用线面平行的性质定理得到，再利用线面平行的判定定理证明；
（2）根据，，，得到，再根据平面，由求解.
【详解】（1）证明：∵平面ABD，平面BCD，平面平面，
∴，
又∵平面AEF，平面AEF，
∴平面AEF；
（2）∵，，且，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，又因为，
所以，
所以，
因为平面，
所以.
考点五 通过面面平行证线面平行
20．（2023秋·河南安阳·高一安阳市第三十九中学校考期末）如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥B﹣ACE的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过面面平行的性质来证得平面.
（2）结合锥体体积公式求得正确答案.
【详解】（1）连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，
连接BF，OE，BD1，则．
∵平面ACE，OE⊂平面ACE，
∴平面ACE．
∵，ED1＝CF，
∴四边形D1ECF为平行四边形，
∴．
又∵平面ACE，EC⊂平面ACE，
∴平面ACE．
∵，BD1⊂平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，
∴平面平面ACE，
∵BG⊂平面BD1F，∴平面ACE．
（2）在△ABC中，AB＝BC＝2，∠CAB＝30°，
则AC边上的高为1，，
∴．
又点E到平面ABC的距离为DE，且DE＝1，，
.
21．（2023春·浙江·高一期中）已知三棱锥中，△ABC，△ACD都是等边三角形，，E，F分别为棱AB，棱BD的中点，G是△BCE的重心．
(1)求异面直线CE与BD所成角的余弦值；
(2)求证：FG平面ADC．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）取的中点，连接，证明，则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，解即可；
（2）取的中点，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得证.
【详解】（1）解：取的中点，连接，
因为E为棱AB的中点，
所以，
则异面直线CE与BD所成角的平面角即为或其补角，
设，则，
，
在中，，
即异面直线CE与BD所成角的余弦值为；
（2）解：取的中点，连接，
因为E，F分别为棱AB，棱BD的中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，
又因为G是△BCE的重心，
所以点在上，故平面，
所以FG平面ADC．
22．（2023春·山西晋中·高一榆次一中校考期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．
(1)证明：平面PAC；
(2)在线段BD上找一点H，使得平面PCG，并说明理由．
【答案】(1)详见解析；
(2)详见解析.
【分析】（1）利用线面平行的判定定理即证；
（2）AE与BD的交点H即为所求，利用面面平行的判定定理可得平面AEF∥平面PCG，进而即得．
【详解】（1）∵E、F分别是BC，BP中点，
∴EF∥PC，
∵平面PAC，平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）连接AE，与BD相交于H，即为所求点，
∵E、G分别是BC、AD中点，
∴AE∥CG，
∵平面PCG，CG⊂平面PCG，
∴AE∥平面PCG，
又∵EF∥PC，PC⊂平面PCG，平面PCG，
∴EF∥平面PCG，AE∩EF＝E，AE，EF⊂平面AEF，
∴平面AEF∥平面PCG，平面AEF，
∴平面PCG.
考点六 翻折类线面平行问题
23．（2023春·湖北十堰·高一丹江口市第一中学校考期末）如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2.
(1)证明：图2中的平面；
(2)在图2中，若，求该几何体的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取中点，连接，分别证得和，结合面面平行的判定定理，证得平面平面，即可证得平面.
（2）由，得到，证得，连接，把该几何体分割为四棱锥和三棱锥，结合锥体的体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面，且平面，所以平面，
同理可知：四边形是平行四边形，所以，证得平面，
因为平面，且，平面，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
（2）解：若，
因为，，则，故，
所以两两垂直，
连接，该几何体分割为四棱锥和三棱锥，
则，
因为平面平面，故，
所以该几何体的体积为.
24．（2023秋·贵州铜仁·高三校考阶段练习）如图①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直，M为ED的中点，如图②.
(1)求证：AM∥平面BEC；
(2)求点D到平面BEC的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】取EC的中点为N，连接MN，BN,利用中位线可知四边形ABNM为平行四边形，可得BN∥AM，由线面平行的判定定理即可证明(2)根据又VE－BCD＝VD－BCE，由等体积法求出点到面的距离即可.
【详解】证明：取EC的中点为N，连接MN，BN.
在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，所以MN∥CD，且MN＝CD.由已知AB∥CD，AB＝CD，得MN∥AB，且MN＝AB.故四边形ABNM为平行四边形，因此BN∥AM.
又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，所以AM∥平面BEC.
(2)解：由已知得BC⊥BD，BC⊥DE，又BD∩DE＝D，所以BC⊥平面BDE.而BE⊂平面BDE，所以BC⊥BE.
故S△BCE＝BE·BC＝××＝.
S△BCD＝BD·BC＝××＝1.
又VE－BCD＝VD－BCE，设点D到平面BEC的距离为h，
则S△BCD·DE＝S△BCE·h，所以h＝＝.
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定，等体积法求点到面的距离，属于中档题.
25．（2023春·河北邯郸·高一校联考期中）如图，矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，且，点为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取的中点，连结，，利用三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质定理，线面平行的判定定理证明；
（2）取的中点，连结，，利用勾股定理逆定理可得，进而利用线面垂直的判定定理得到平面,得到线面角，进而计算求解.
【详解】（1）证明：取的中点，连结，，因为，均为中点，故且，又因为，且，则且，因此四边形为平行四边形，故，平面，故平面；
（2）取的中点，连结，，
因为，所以且.
在中，，
因为，故，
又∵平面
故平面.
因此为直线与平面所成角，
在中，，
故.
26．（2023秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学统考开学考试）如图①所示，在矩形中，，，点为的中点，现将沿直线翻折成，使平面平面，点为线段的中点，如图②所示.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取的中点，连接，，利用题设条件推导出四边形为平行四边形，从而得到，由此能够证明平面．
（2）过作，为垂直足，由题设条件推导出平面，再由，，得到，由此能求出三棱锥的体积．
【详解】解：（1）证明：如图所示，取的中点，连接､，则，
且，又，且，
从而有且，所以四边形为平行四边形，
故有，
又平面，平面，
所以平面.
（2）如图所示，过作，点为垂足，
因为平面平面，且平面平面，所以平面，
因为，所以，
又，所以.
考点七 线面平行的探索性问题
27．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.
(1)证明：AF平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可；
（2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端的三等分点时符合题意.
【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，
.
为的中点，，
即四边形为平行四边形，.
平面平面平面.
（2）设，取中点，连接，则在中，
分别是的中点，
平面平面，
平面.
与相似，且相似比为，
为的三等分点.
在点位置时满足平面.
即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.
28．（2023春·重庆九龙坡·高一重庆市铁路中学校校考期中）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是的中点．
（1）求证：；
（2）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析.
【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明；
（2）取中点N，连接，，根据线面平行的性质定理和判断定理即可证明．
【详解】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
∴，
（2）线段存在点N，使得平面，理由如下：
取中点N，连接，，
∵E，N分别为，的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面，
取AP中点F,连结EF,BF，，且，
因为，，
所以，且，
所以四边形BCEF为平行四边形，
所以.
又面PAB，面PAB，所以平面；
又，
∴平面平面，
∵M是上的动点，平面，
∴平面PAB，
∴线段存在点N，使得MN∥平面．
29．（2023秋·辽宁沈阳·高一新民市第一高级中学校考期末）如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M､N分别是AB､PC的中点
（1）求证：MN平面PAD；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.
【答案】（1）证明见解析；（2）当在的中点时，平面平面.
【分析】（1）取中点，连接，利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可证明平面；
（2）假设第一问的即为所求，再利用面面平行进行证明.
【详解】（1）证明：取中点，连接，
分别是的中点，
.
，
又面，面，
∴面.
同理可证：面.
又面，面，,
平面平面，
平面，
平面
（2）解：假设第一问的即为所求
在的中点，
分别是的中点，为的中点
且
则平面平面
且
所以平面平面.
所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面.
【点睛】（1）立体几何中位置关系的证明一般用判定定理；
（2）存在性问题的证明：先假设存在，在进行证明.如果存在，可以证明；如果推出矛盾，则不存在.
30．（2023春·湖北随州·高一广水市一中校考阶段练习）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）若M，N分别是线段的中点，F是直线上的动点，则线段上是否存在点G，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点G，使得平面，且.
【分析】（1）通过中位线得到线线平行，从而证明线面平行；
（2）通过面面平行，从而说明线面平行.
【详解】（1）证明：连接交于，再连接，
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，
又为的中点，
所以在中，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）存在点G，使得平面.
与的交点记为.
当为的中点时，
可知，
所以，
M，N分别是线段的中点，
所以，
又，且平面，平面，
所以平面平面，又平面，
所以当为的中点时，即时，平面.
【点睛】关键点睛：在证明线面平行的关键是寻找线线平行，在解决探究性问题时，一般是先假设存在，然后再认证，本题是先得到面面平行，再说明线面平行的.