高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合第3课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册排列与组合第3课时学案，共6页。学案主要包含了有限制条件的排列，多面手问题，分组等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.2.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题．
一、有限制条件的排列、组合问题
例1 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)至少有一名队长当选；
(2)至多有两名女生当选；
(3)既要有队长，又要有女生当选．
反思感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类
(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．
(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．
跟踪训练1 (1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭．则每天午餐不同的搭配方法共有( )
A．210种 B．420种
C．56种 D．22种
(2)设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中满足条件“1≤x1＋x2＋x3＋x4＋x5≤3”的元素个数为______．
二、多面手问题
例2 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？
反思感悟 解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．
跟踪训练2 某车间有11名工人，其中5名钳工，4名车工，另外2名既能当车工又能当钳工，现在要从这11名工人中选4名钳工，4名车工修理一台机床，则共有多少种不同的选法？
三、分组、分配问题
问题 将甲、乙两名同学分成两组，有多少种分法？将甲、乙两名同学分成两组，分别去参加上午、下午的活动，有多少种分法？
eq \x(角度1 不同元素分组、分配问题)
例3 6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组2本(平均分组)；
(2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)；
(3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组)．
反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法
(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
eq \x(角度2 相同元素分配问题)
例4 将6个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子．
反思感悟 相同元素分配问题的处理策略
(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．
(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有Ceq \\al(m－1,n－1)种方法．可描述为(n－1)个空中插入(m－1)块隔板．
跟踪训练3 (1)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．
(2)将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1,2,3,4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为________．
1．知识清单：
(1)有限制条件的排列、组合问题．
(2)多面手问题．
(3)分组、分配问题．
2．方法归纳：分类讨论、插空法、隔板法、均分法．
3．常见误区：分类不当；平均分组理解不到位．
1．登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是( )
A．30 B．60 C．120 D．240
2．空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )
A．205 B．110 C．204 D．200
3．某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有______种．(用数字作答)
4．某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有________种(用数字作答)．
参考答案与详细解析
例1 解 (1)Ceq \\al(5,13)－Ceq \\al(5,11)＝825(种)．
(2)至多有2名女生当选含有三类：
有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，
所以共有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(3,8)＋Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(4,8)＋Ceq \\al(5,8)＝966(种)选法．
(3)分两类：
第一类：女队长当选，有Ceq \\al(4,12)＝495(种)选法；
第二类：女队长没当选，有Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(3,7)＋Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,7)＋Ceq \\al(3,4)Ceq \\al(1,7)＋Ceq \\al(4,4)＝295(种)选法，
所以共有495＋295＝790(种)选法．
跟踪训练1 (1)A [由分类加法计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,7)＋Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(2,7)＝210(种)．]
(2)90
解析 集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，
∵1≤x1＋x2＋x3＋x4＋x5≤3，
∴1＋0＋0＋0＋0＝1，
1＋1－1＋0＋0＝1，
1＋1＋1－1－1＝1，
1＋1＋0＋0＋0＝2，
1＋1＋1－1＋0＝2，
1＋1＋1＋0＋0＝3，
1＋1＋1＋1－1＝3，
当和为1时，有Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(3,5)＝45(个)，
当和为2时，有Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(1,4)＝30(个)，
当和为3时，有Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(1,5)＝15(个)，
根据分类加法计数原理可得，共有45＋30＋15＝90(个)．
例2 解 由题意知，有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语．
方法一 分两类．
第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法．
第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法．
所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法．
方法二 设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形，入选后又要分两种：(1)教英语；(2)教日语．
第一类：甲入选．
(1)甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法；
(2)甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法．
故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)．
第二类：甲不入选，可分两步：
第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法．
综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法．
跟踪训练2 解 分三类：第一类，选出的4名钳工中无“多面手”，
此时选法有Ceq \\al(4,5)Ceq \\al(4,6)＝75(种)；
第二类，选出的4名钳工中有1名“多面手”，
此时选法为Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(4,5)＝100(种)；
第三类，选出的4名钳工中有2名“多面手”，
此时选法为Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(4,4)＝10(种)．
由分类加法计数原理得，共有75＋100＋10＝185(种)不同的选法．
问题 1种，2种．
例3 解 (1)每组2本，均分为3组的分组种数为eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(3,3))＝eq \f(15×6×1,6)＝15.
(2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,1)＝20×3＝60.
(3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为eq \f(C\\al(4,6)C\\al(1,2)C\\al(1,1),A\\al(2,2))＝eq \f(15×2,2)＝15.
例4 解 (1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有Ceq \\al(3,5)＝10(种)放法．
(2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有Ceq \\al(1,4)种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(2,5)＝40(种)放法．
跟踪训练3 (1)90
解析 eq \f(C\\al(1,5)·C\\al(2,4)·C\\al(2,2),A\\al(2,2))·Aeq \\al(3,3)＝90(种)．
(2)10
解析 先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花．这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，
所以不同的放法共有Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,4)＝10(种)．
随堂演练
1．B [先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(2,2),A\\al(2,2))种，再将余下的6人平均分成两组，有eq \f(C\\al(3,6)C\\al(3,3),A\\al(2,2))种，然后这四个组自由搭配还有Aeq \\al(2,2)种，故最终分配方法有eq \f(C\\al(2,4)C\\al(3,6),A\\al(2,2))＝60(种)．]
2．A [方法一 可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则可构成四面体的个数为Ceq \\al(0,5)Ceq \\al(4,5)＋Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,5)＝205.
方法二 从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到所有构成四面体的个数为Ceq \\al(4,10)－Ceq \\al(4,5)＝205.]
3．36
解析 由题意得，不同的乘坐方式有Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(2,2)＝36(种)．
4．55
解析 由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成：
第一类，甲去乙不去，有Ceq \\al(3,6)种选派方案；
第二类，乙去甲不去，有Ceq \\al(3,6)种选派方案；
第三类，甲、乙都不去，有Ceq \\al(4,6)种选派方案．
故共有Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(4,6)＝55(种)不同的选派方案．