高中数学二项式定理第1课时学案设计

这是一份高中数学二项式定理第1课时学案设计，共6页。学案主要包含了杨辉三角，二项式系数的增减性与最大值，二项展开式的系数和问题等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用．
一、杨辉三角
问题1 根据二项式定理写出(a＋b)n(n＝1,2,3,4,5,6)的展开式的二项式系数．可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？
知识梳理
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数________；
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数________，即Ceq \\al(r,n)＝________________.
例1 (1)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
(2)已知(a＋b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x－1)n展开式中x3的系数为( )
A．80 B．40
C．－40 D．－80
反思感悟 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察．
(2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律．
(3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解．
跟踪训练1 (1)在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是( )
A．第n－k项 B．第n－k－1项
C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项
(2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a＝7时，b等于( )
A．20 B．21 C．22 D．23
二、二项式系数的增减性与最大值
知识梳理
增减性与最大值：
Ceq \\al(k,n)＝eq \f(nn－1…n－kn－k＋1,k－1！k)＝Ceq \\al(k－1,n)eq \f(n－k＋1,k)，即eq \f(C\\al(k,n),C\\al(k－1,n))＝eq \f(n－k＋1,k)，所以当eq \f(n－k＋1,k)>1，即keq \f(n＋1,2)时，Ceq \\al(k,n)随k的增加而减小．当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
例2 (1)在(2＋x)6的展开式中，二项式系数最大的项是( )
A．第3项和第4项 B．第4项和第5项
C．第3项 D．第4项
(2)已知f(x)＝(eq \r(3,x2)＋3x2)5，求展开式中二项式系数最大的项．
反思感悟 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．
(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
跟踪训练2 (1)(1－x)2n－1展开式中，二项式系数最大的项是( )
A．第n－1项B．第n项
C．第n－1项与第n＋1项D．第n项与第n＋1项
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)＋\f(1,\r(3,x))))2n展开式的第6项的二项式系数最大，则其常数项为( )
A．120 B．252 C．210 D．45
三、二项展开式的系数和问题
问题2 在二项展开式(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b＋Ceq \\al(2,n)an－2b2＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn中，令a＝b＝1，可得到什么结论？令a＝1，b＝－1，可得到什么结论？
例3 若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
反思感悟 求展开式的各项系数之和常用赋值法
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq \f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq \f(f1－f－1,2).
跟踪训练3 设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R)．
(1)求a0的值；
(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2 023的值；
(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 023的值．
1．知识清单：
(1)二项式系数的对称性．
(2)二项式系数的增减性与最值．
(3)二项展开式的系数和问题．
2．方法归纳：赋值法．
3．常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数．
1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
2.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))11的展开式中二项式系数最大的项是( )
A．第3项 B．第6项
C．第6,7项 D．第5,7项
3．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是( )
A．14 B．15 C．16 D．17
若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7，则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为______．
参考答案与详细解析
问题1 1,7,21,35,35,21,7,1
知识梳理
(1)相等 (2)相加 Ceq \\al(r－1,n－1)＋Ceq \\al(r,n－1)
例1 (1)B [由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，即a＝6.]
(2)A [由题意Ceq \\al(3,2n)＝Ceq \\al(7,2n)，所以3＋7＝2n，解得n＝5，
则(2x－1)5的展开式的通项为
Tk＋1＝Ceq \\al(k,5)(2x)5－k(－1)k＝(－1)k25－kCeq \\al(k,5)x5－k，
由5－k＝3，得k＝2，所以x3的系数为(－1)2·Ceq \\al(2,5)·23＝80.]
跟踪训练1 (1)D [第k项的二项式系数是Ceq \\al(k－1,n)，由于Ceq \\al(k－1,n)＝Ceq \\al(n－k＋1,n)，故第n－k＋2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同．]
(2)C [由a＝7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11＋5，即16，所以b＝6＋16＝22.]
例2 (1)D [二项式(2＋x)6的展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \\al(k,6)26－kxk，
当k＝3时，二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大．]
(2)解 ∵5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝＝90x6，T4＝＝.
跟踪训练2 (1)D [由二项式系数的性质得，二项式系数最大为＝Ceq \\al(n－1,2n－1)，＝Ceq \\al(n,2n－1)，
分别为第n，n＋1项的二次项系数．]
(2)C [由题意，得2n＝10，易知n＝5，
由Tk＋1＝Ceq \\al(k,10)(eq \r(x))10－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,x))))k＝，
令30－5k＝0，得k＝6，故其常数项为Ceq \\al(6,10)＝210.]
问题2 Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n；Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
例3 解 (1)令x＝0，得a0＝－1.
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①
∴a1＋a2＋…＋a7＝129.
(2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②
由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256.
(3)∵Tk＋1＝Ceq \\al(k,7)(3x)7－k(－1)k，
∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384.
跟踪训练3 解 (1)在等式(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023中，令x＝0，得1＝a0，∴a0＝1.
(2)令x＝1，得－1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，
∴a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
(3)分别令x＝－1，x＝1，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(32 023＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＋a2 022－a2 023，①,－1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 021＋a2 022＋a2 023，②))
②－①，得－1－32 023＝2(a1＋a3＋…＋a2 023)．
∴a1＋a3＋…＋a2 023＝eq \f(－1－32 023,2).
随堂演练
1．B [第6项的二项式系数为Ceq \\al(5,20)，又Ceq \\al(15,20)＝Ceq \\al(5,20)，所以第16项符合条件．]
2．C [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))11的展开式中第eq \f(11－1,2)＋1项和eq \f(11＋1,2)＋1项，即第6,7项的二项式系数相等，且最大．]
3．B [由杨辉三角知：
第1行：Ceq \\al(0,1)，Ceq \\al(1,1)，
第2行：Ceq \\al(0,2)，Ceq \\al(1,2)，Ceq \\al(2,2)，
第3行：Ceq \\al(0,3)，Ceq \\al(1,3)，Ceq \\al(2,3)，Ceq \\al(3,3)，
第4行：Ceq \\al(0,4)，Ceq \\al(1,4)，Ceq \\al(2,4)，Ceq \\al(3,4)，Ceq \\al(4,4)，
由此可得第n行，第r(1≤r≤n＋1)个数为Ceq \\al(r－1,n)，
所以第15行第15个数是Ceq \\al(14,15)＝Ceq \\al(1,15)＝15.]
4．129
解析 令x＝0，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝27＝128，
又(2－x)7＝[3－(x＋1)]7，
则a7(1＋x)7＝Ceq \\al(7,7)·30·[－(x＋1)]7，
解得a7＝－1.
故a0＋a1＋a2＋…＋a6＝128－a7＝128＋1＝129.