数学选择性必修 第三册排列与组合第1课时导学案

这是一份数学选择性必修 第三册排列与组合第1课时导学案，共5页。学案主要包含了组合概念的理解，利用组合数公式化简，简单的组合问题等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．
一、组合概念的理解
知识梳理
组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
例1 (1)下列四个问题中，属于组合问题的是( )
A．从3个不同小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张
(2)判断下列问题是组合问题还是排列问题：
①a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
②a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
③从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
④从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
反思感悟 排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
跟踪训练1 判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
二、利用组合数公式化简、求值与证明
知识梳理
(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__________________________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
(2)组合数公式：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝______________或Ceq \\al(m,n)＝______________(n，m∈N*，且m≤n)．
(3)规定：Ceq \\al(0,n)＝1.
eq \x(角度1 利用组合数化简、求值)
例2 求值：
(1)3Ceq \\al(3,8)－2Ceq \\al(2,5)；
(2)已知eq \f(1,C\\al(n,5))－eq \f(1,C\\al(n,6))＝eq \f(7,10C\\al(n,7))，求Ceq \\al(n,8).
eq \x(角度2 利用组合数证明)
例3 证明：Ceq \\al(m,n)＝eq \f(n,n－m)Ceq \\al(m,n－1).
反思感悟 (1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．
(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即Ceq \\al(m,n)中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．
跟踪训练2 (1)计算：Ceq \\al(4,10)－Ceq \\al(3,7)·Aeq \\al(3,3)；
(2)证明：mCeq \\al(m,n)＝nCeq \\al(m－1,n－1).
三、简单的组合问题
例4 一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？
(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
反思感悟 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
跟踪训练3 一个口袋内装有7个白球和1个黑球．
(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
1．知识清单：
(1)组合与组合数的定义．
(2)排列与组合的区别与联系．
(3)组合数的计算与证明．
2．方法归纳：公式法．
3．常见误区：分不清“排列”还是“组合”．
1．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( )
A．Aeq \\al(3,10)种 B．Ceq \\al(3,10)种
C．Ceq \\al(3,10)Aeq \\al(3,10)种 D．30种
2．从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是( )
A．10 B．5 C．4 D．1
3．(多选)使不等式Ceq \\al(2,n)≥Ceq \\al(3,n)(n∈N*)成立的n的取值可以是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为________________________．
参考答案与详细解析
知识梳理
作为一组
例1 (1)C [A，B，D与顺序有关，是排列问题，而C与顺序无关，是组合问题，故选C.]
(2)解 ①单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
②冠、亚军是有顺序的，是排列问题．
③3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．
④3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
跟踪训练1 解 (1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．
知识梳理
(1)所有不同组合的个数 Ceq \\al(m,n)
(2)eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！) eq \f(n！,m！n－m！)
例2 解 (1)3Ceq \\al(3,8)－2Ceq \\al(2,5)＝3×eq \f(8×7×6,3×2×1)－2×eq \f(5×4,2×1)＝148.
(2)由eq \f(1,C\\al(n,5))－eq \f(1,C\\al(n,6))＝eq \f(7,10C\\al(n,7))得，
eq \f(n！5－n！,5！)－eq \f(n！6－n！,6！)＝eq \f(7×n！7－n！,10×7！)，
∴1－eq \f(6－n,6)＝eq \f(6－n7－n,60)，即n2－23n＋42＝0，
解得n＝2或n＝21，又0≤n≤5，
∴n＝2，∴Ceq \\al(n,8)＝Ceq \\al(2,8)＝28.
例3 证明 右边＝eq \f(n,n－m)Ceq \\al(m,n－1)
＝eq \f(n,n－m)·eq \f(n－1！,m！n－1－m！)＝eq \f(n！,m！n－m！)＝Ceq \\al(m,n)＝左边．所以原式成立．
跟踪训练2 (1)解 原式＝Ceq \\al(4,10)－Aeq \\al(3,7)＝eq \f(10×9×8×7,4×3×2×1)－7×6×5＝210－210＝0.
(2)证明 mCeq \\al(m,n)＝m·eq \f(n！,m！n－m！)＝eq \f(n·n－1！,m－1！n－m！)
＝n·eq \f(n－1！,m－1！n－m！)＝nCeq \\al(m－1,n－1).
例4 解 (1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为Ceq \\al(11,17)＝12 376.
(2)教练员可以分两步完成这件事情：
第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有Ceq \\al(11,17)种选法；
第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有Ceq \\al(1,11)种选法．
所以教练员做这件事情的方式种数为Ceq \\al(11,17)×Ceq \\al(1,11)＝136 136.
跟踪训练3 解 (1)从口袋内的8个球中取出3个球，
取法种数是Ceq \\al(3,8)＝eq \f(A\\al(3,8),A\\al(3,3))＝eq \f(8×7×6,3×2×1)＝56.
(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是Ceq \\al(2,7)＝eq \f(A\\al(2,7),A\\al(2,2))＝eq \f(7×6,2×1)＝21.
(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是Ceq \\al(3,7)＝eq \f(A\\al(3,7),A\\al(3,3))＝eq \f(7×6×5,3×2×1)＝35.
随堂演练
1．B [三张票没区别，从10人中选3人即可，即Ceq \\al(3,10).]
2．B [方法一 组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法．
方法二 由题意可知，推选方法种数为Ceq \\al(4,5)＝5.]
3．ABC [在Ceq \\al(2,n)中，n∈N*，且n≥2，在Ceq \\al(3,n)中，n∈N*，n≥3，即有n∈N*，n≥3，
因为Ceq \\al(2,n)≥Ceq \\al(3,n)，则有eq \f(nn－1,2×1)≥eq \f(nn－1n－2,3×2×1)，即n－2≤3，解得n≤5，因此有3≤n≤5，n∈N*，
所以n的取值可以是3或4或5.]
4．ab，ac，ad，bc，bd，cd
解析 可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.