人教A版 (2019)排列与组合第2课时学案设计

这是一份人教A版 (2019)排列与组合第2课时学案设计，共6页。学案主要包含了组合数的性质1，组合数的性质2，组合数的综合应用等内容，欢迎下载使用。
一、组合数的性质1
问题1 假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛．包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人．我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？
知识梳理
组合数的性质1：Ceq \\al(m,n)＝__________.
例1 (1)计算：Ceq \\al(2 022,2 023)＝________，Ceq \\al(n,n＋1)·Ceq \\al(n－2,n)＝__________.
(2)(多选)若Ceq \\al(2n－3,20)＝Ceq \\al(n＋2,20)(n∈N*)，则n等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
反思感悟 性质“Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)”的意义及作用
跟踪训练1 (1)若Ceq \\al(6,n)＝Ceq \\al(5,n)，则Ceq \\al(10,n)等于( )
A．1 B．10 C．11 D．55
(2)若Ceq \\al(3n＋6,18)＝Ceq \\al(4n－2,18)，则Ceq \\al(n,8)＝____________.
二、组合数的性质2
问题2 从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有Ceq \\al(4,7)种选法；当体育委员未入选时，有Ceq \\al(5,7)种选法．这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？
知识梳理
组合数的性质2：Ceq \\al(m,n＋1)＝Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n).
例2 (1)已知m≥4，Ceq \\al(3,m)－Ceq \\al(4,m＋1)＋Ceq \\al(4,m)等于( )
A．1 B．m C．m＋1 D．0
(2)Ceq \\al(0,4)＋Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(3,6)＋…＋Ceq \\al(2 019,2 022)等于( )
A．Ceq \\al(2,2 020) B．Ceq \\al(3,2 021)
C．Ceq \\al(3,2 022) D．Ceq \\al(4,2 023)
反思感悟 性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)－Ceq \\al(m,n)，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．
跟踪训练2 (1)若Ceq \\al(7,n＋1)－Ceq \\al(7,n)＝Ceq \\al(8,n)，则n等于( )
A．12 B．13 C．14 D．15
(2)计算Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,6)＝________.
三、组合数的综合应用
eq \x(角度1 简单的组合问题)
例3 在抗击新冠肺炎疫情的战役中，某省积极组织选派精干医疗工作者支援救援工作．某医院有内科医生10名，外科医生4名，现选派4名参加援助医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？
(2)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？
反思感悟 求与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
跟踪训练3 某市工商局对35种商品进行抽样检查，鉴定结果有15种假货，现从35种商品中选取3种．
(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？
(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？
(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？
eq \x(角度2 与几何图形有关的组合问题)
例4 已知平面α∥平面β，在平面α内有4个点，在平面β内有6个点，且平面α、平面β内的任意三点不共线．
(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
反思感悟 解与几何有关的组合应用题的策略
(1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．
(2)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，再将几何问题抽象成组合问题来解决．
跟踪训练4 在平面直角坐标系Oxy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有( )
A．25个 B．36个
C．100个 D．225个
1．知识清单：
(1)组合数的两个性质及性质的理解．
(2)组合数在实际问题中的应用．
2．方法归纳：分类讨论、间接法．
3．常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算中不能构造组合数性质．
1．若Ceq \\al(6,n＋1)－Ceq \\al(6,n)＝Ceq \\al(7,n)(n∈N*)，则n等于( )
A．11 B．12
C．13 D．14
2．把5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案有( )
A．80种 B．120种
C．140种 D．50种
3．Ceq \\al(0,3)＋Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,5)＋…＋Ceq \\al(18,21)＝________________.
4.如图，∠MON的边OM上有四个点A1，A2，A3，A4，ON上有三个点B1，B2，B3，则以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三点为顶点的三角形的个数为( )
A．30 B．42
C．54 D．56
参考答案与详细解析
问题1 上场的方案有Ceq \\al(5,8)，不上场的方案有Ceq \\al(3,8)；Ceq \\al(5,8)＝Ceq \\al(3,8)＝56.
知识梳理
Ceq \\al(n－m,n)
例1 (1)2 023 eq \f(nn2－1,2)
解析 Ceq \\al(2 022,2 023)＝Ceq \\al(1,2 023)＝2 023，Ceq \\al(n,n＋1)·Ceq \\al(n－2,n)＝Ceq \\al(1,n＋1)·Ceq \\al(2,n)＝eq \f(nn2－1,2).
(2)BD [由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.]
跟踪训练1 (1)C [由Ceq \\al(6,n)＝Ceq \\al(5,n)，得n＝6＋5＝11，
Ceq \\al(10,n)＝Ceq \\al(10,11)＝Ceq \\al(1,11)＝11.]
(2)28
解析 由Ceq \\al(3n＋6,18)＝Ceq \\al(4n－2,18)，
得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，
解得n＝2或n＝8(舍去)，
故Ceq \\al(2,8)＝28.
问题2 一样，Ceq \\al(5,8)＝Ceq \\al(4,7)＋Ceq \\al(5,7).
例2 (1)D [Ceq \\al(3,m)－Ceq \\al(4,m＋1)＋Ceq \\al(4,m)＝Ceq \\al(3,m)＋Ceq \\al(4,m)－Ceq \\al(4,m＋1)＝Ceq \\al(4,m＋1)－Ceq \\al(4,m＋1)＝0.]
(2)D [原式＝Ceq \\al(0,4)＋Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(3,6)＋…＋Ceq \\al(2 019,2 022)＝Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(3,6)＋…＋Ceq \\al(2 019,2 022)＝Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(3,6)＋…＋Ceq \\al(2 019,2 022)＝…＝Ceq \\al(2 018,2 022)＋Ceq \\al(2 019,2 022)＝Ceq \\al(2 019,2 023)＝Ceq \\al(4,2 023).]
跟踪训练2 (1)C [Ceq \\al(7,n＋1)＝Ceq \\al(7,n)＋Ceq \\al(8,n)＝Ceq \\al(8,n＋1)，∴n＋1＝7＋8，
n＝14.]
(2)35
解析 Ceq \\al(2,2)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,6)＝Ceq \\al(3,3)＋Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,6)
＝Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,6)＝Ceq \\al(3,5)＋Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,6)＝Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(2,6)
＝Ceq \\al(3,7)＝eq \f(7×6×5,3×2×1)＝35.
例3 解 (1)只需从其他12人中选2人即可，共有Ceq \\al(2,12)＝66(种)．
(2)方法一(直接法) 至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分三类：
一内三外；二内二外；三内一外，
所以共有Ceq \\al(1,10)Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(2,10)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(3,10)Ceq \\al(1,4)＝790(种)．
方法二(间接法) 由总数中减去四名都是内科医生和四名都是外科医生的选法种数，得Ceq \\al(4,14)－(Ceq \\al(4,10)＋Ceq \\al(4,4))＝790(种)．
跟踪训练3 解 (1)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件，有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＝2 100(种)，
所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．
(2)选取2件假货有Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)种，选取3件假货有Ceq \\al(3,15)种，共有选取方法Ceq \\al(1,20)Ceq \\al(2,15)＋Ceq \\al(3,15)＝2 555(种)．
(3)选取3件的种数有Ceq \\al(3,35)，因此有选取方法
Ceq \\al(3,35)－Ceq \\al(3,15)＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．
例4 解 (1)所作出的平面有三类：
①α内1点，β内2点确定的平面，有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(2,6)个．
②α内2点，β内1点确定的平面，有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(1,6)个．
③α，β本身，有2个．
故最多可作Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(1,6)＋2＝98(个)不同的平面．
(2)所作的三棱锥有三类：
①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(3,6)个．
②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(2,6)个．
③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有Ceq \\al(3,4)·Ceq \\al(1,6)个．
∴最多可作Ceq \\al(3,4)·Ceq \\al(1,6)＋Ceq \\al(2,4)·Ceq \\al(2,6)＋Ceq \\al(1,4)·Ceq \\al(3,5)＝194(个)三棱锥．
(3)∵在等底面积、等高的情况下，三棱锥的体积才能相等．
∴最多可以有Ceq \\al(3,6)＋Ceq \\al(3,4)＋Ceq \\al(2,6)·Ceq \\al(2,4)＝114(个)不同的体积．
跟踪训练4 D [从垂直于x轴的6条直线中任取2条，从垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交成一个矩形，所以矩形总数为Ceq \\al(2,6)×Ceq \\al(2,6)＝15×15＝225.]
随堂演练
1．B [根据题意，Ceq \\al(6,n＋1)－Ceq \\al(6,n)＝Ceq \\al(7,n)变形可得，Ceq \\al(6,n＋1)＝Ceq \\al(6,n)＋Ceq \\al(7,n)，由组合性质可得，Ceq \\al(6,n)＋Ceq \\al(7,n)＝Ceq \\al(7,n＋1)，即Ceq \\al(6,n＋1)＝Ceq \\al(7,n＋1)，则可得到n＋1＝6＋7，解得n＝12.]
2．A [当甲组中有3人，乙、丙组中各有1人时，有Ceq \\al(3,5)Ceq \\al(1,2)＝20(种)不同的分配方案；
当甲组中有2人，乙组中也有2人，丙组中只有1人时，有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,3)＝30(种)不同的分配方案；
当甲组中有2人，乙组中有1人，丙组中有2人时，有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(1,3)＝30(种)不同的分配方案．
故共有20＋30＋30＝80(种)不同的分配方案．]
3．7 315
解析 因为Ceq \\al(0,3)＝Ceq \\al(0,4)，
所以Ceq \\al(0,3)＋Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(2,5)＋…＋Ceq \\al(18,21)＝(Ceq \\al(0,4)＋Ceq \\al(1,4))＋Ceq \\al(2,5)＋…＋Ceq \\al(18,21)＝(Ceq \\al(1,5)＋Ceq \\al(2,5))＋Ceq \\al(3,6)＋…＋Ceq \\al(18,21)＝…＝Ceq \\al(18,22)＝Ceq \\al(4,22)＝7 315.
4．B [利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，所以符合条件的三角形的个数为Ceq \\al(3,8)－Ceq \\al(3,4)－Ceq \\al(3,5)＝42.]