数学4 解直角三角形课时训练

这是一份数学4 解直角三角形课时训练，共69页。

【模型一：背靠背型】
【模型分析】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高，构造出两个直角三角形，求其中公共边是解题的关键．
【模型演变】
【模型突破】如图①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如图②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB.
1．（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，小明与小华利用三角板测量教学楼前雕塑AB的高度．小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°；小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°．已知CD为10米，则雕塑AB的高度是 ．（2≈1.414，3≈1.732，结果精确到0.1米）．
2．（2023·上海青浦·一模）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B， A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？（参考数据：sin37°≈0.60 ，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈1213，cs67°≈513，tan67°≈125）
3．（23-24九年级·广东深圳·阶段练习）在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.5m的测角仪测得塑像顶部C的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB为20m，求塑像的高度CF．（结果保留根号）
4．（2023·四川成都·二模）某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB被刮倾斜后在C处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D处，测得∠ACD＝60°，∠ADC＝37°，AD＝5米，求这棵大树AB的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.75，3≈1.73）

5．（23-24九年级·湖南怀化·期末）为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角∠ADF=45°，条幅底端E点的俯角为∠FDE=30°，DF⊥AB，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅的长AE约是多少米？（3=1.73，结果精确到0.1米）
6．（2023九年级·辽宁盘锦·学业考试）一滑板运动场斜坡上的点A处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点B处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点C处，AC=23米，折断部分与斜坡的夹角为75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度．
（2≈1.4, 3≈1.7，精确到1米）．
7．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：
方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A,B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数（A,D,B在同一条直线上）．
数据收集：通过实地测量：地面上A,B两点的距离为58m,∠CAD=42°,∠CBD=58°．
问题解决：求宝塔CD的高度（结果保留一位小数）．
参考数据：sin42°≈0.67,cs42°=0.74,tan42°≈0.90，sin58°=0.85,cs58°=0.53,tan58°=1.60．
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
8．（2023·内蒙古包头·三模）如图，在四边形ABCE中，BC⊥CE,BC=10,∠ABC=120°，点D在CE上，DE=143，连接AD，tan∠ADE=6且∠AED=45°．
（1）求△ADE的面积．
（2）求AB的长度．
（本题中计算过程和结果均保留根号）
9．（2023·广东东莞·一模）如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻船A和渔船C相距120海里．（结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）
（1）求巡逻船B与渔船C间的距离；
（2）已知在A，B两艘巡逻船间有一观测点D（A，B，D在直线MN上），测得渔船C在观测点D的北偏东15°方向，观测点D的45海里范围内有暗礁．若巡逻船B沿BC方向去营救渔船C，问有没有触礁的危险？并说明理由．
10．（2023·江苏苏州·中考真题）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．
求证：AB+CD=BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求AB+CDBC的值．
【模型二：母子型】
【模型分析】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键．
【模型突破】BC为公共边，如图①，AD＋DC＝AC；如图②，DC－BC＝DB.
【模型演变1】
【模型突破】如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.
【模型演变2】
【模型突破】如图⑤，BE＋EC＝BC；如图⑥，EC－BC＝BE；如图⑦，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG.
【模型演变3】
【模型突破】 如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG.
11．（2023·新疆乌鲁木齐·一模）某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道FB上架设测角仪，先在点F处测得魁星阁顶端A的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达G处，在G处测得魁星阁顶端A的仰角是45°．若测角仪CF和DG的高度均为1.5米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中AB的值）．（参考数据：sin26°≈0.44，cs24°≈0.90，tan26°≈0.49，2≈1.41，结果精确到0.1米）
12．（23-24九年级·山东·期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．
13．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
14．（23-24九年级·全国·假期作业）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3:4，DE=10米，DC=22米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.6)
15．（2023·河南·二模）如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行(40−163)海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径162海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°=22929，cs22°=52929，tan22°=25）

16．（2023·湖北随州·中考真题）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD=5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB=25米．
（1）求A与C之间的距离；
（2）求天线BE的高度．（参考数据：3≈1.73，结果保留整数）
17．（2023·浙江宁波·一模）如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN．测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）
（参考数据：sin50°＝0.77，cs50°＝0.64，tan50°＝1.20）
18．（2023·广东广州·一模）如图，某货船以24海里/时的速度将一批货物从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上.该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁.若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由.（参考：2≈1.414、3≈1.732）
19．（2023·安徽·一模）如图，身高1.6米的小明为了测量学校旗杆AB的高度，在平地上C处测得旗杆高度顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进3米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度（3=1.7,2=1.4）
20．（2023·山东聊城·中考真题）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处G （点G 在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
【模型三：拥抱型】
【模型分析】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键．
【模型突破】BC为公共边．
【模型演变】
【模型突破】如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.
21．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37,cs22°≈0.93,tan22°=0.40）
A．41mB．42mC．48mD．51m
22．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
23．（23-24九年级·全国·单元测试）如图，某幢大楼顶部有广告牌CD，小宇目高MA为1.89米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°（取3≈1.732，计算结果保留一位小数）
(1)求这幢大楼的高DH；
(2)求这块广告牌CD的高度．
24．（2023·河南焦作·一模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cs30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cs59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

25．（2023·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
26．（2024·湖南·模拟预测）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告：
(1)求无人机从点B到点C处的飞行距离；
(2)求慈氏塔DE的高度．
27．（23-24九年级·重庆·阶段练习）如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向8002米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距4005米∠ABK45，即可得出没有触礁的危险．
【详解】解：（1）作CE⊥MN于E，如图1所示：
则∠ACE=30°，∠BCE=45°，∠DCE=15°，∠ABC=45°，
∴AE=12AC=60，CE=3AE=603，ΔBCE是等腰直角三角形，
∴BE=CE=603，BC=2CE=606，
答：巡逻船B与渔船C间的距离为606海里；
（2）没有触礁的危险；理由如下：
由题意得：AB=BE+AE=603+60，
∵∠ACD=∠ACE+∠DCE=30°+15°=45°，
∴∠ACD=∠ABC，
∵∠CAD=∠BAC，
∴ΔCAD∽ΔBAC，
∴ ADAC=ACAB，即AD120=120603+60，
解得：AD=120(3−1)，
∴BD=AB−AD=603+60−120(3−1)=180−603（海里）；
作DF⊥BC于F，如图2所示：
∵∠ABC=45°，
∴ΔBDF是等腰直角三角形，
∴DF=22BD=902−306≈54（海里），
∵54>45，
∴没有触礁的危险．
【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
10．（2023·江苏苏州·中考真题）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．
求证：AB+CD=BC．
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一点，PA=PD，∠APD=90°．求AB+CDBC的值．
【答案】问题1：见解析；问题2：22
【分析】问题1：先根据AAS证明△ABP≌△PCD，可得AB=PC，BP=CD，由此即可证得结论；
问题2：分别过点A、D作BC的垂线，垂足为E、F，由（1）可知AE+DF=EF，利用45°的三角函数值可得AB=AEsin45°=2AE，CD=DFsin45°=2DF，由此即可计算得到答案．
【详解】问题1：证明：∵∠B=90°，
∴∠APB+∠BAP=90°．
∵∠APD=90°，
∴∠APB+∠CPD=90°．
∴∠BAP=∠CPD．
在△ABP和△PCD中，
∠B=∠C∠BAP=∠CPDPA=DP，
∴△ABP≌△PCDAAS．
∴AB=PC，BP=CD，
∴AB+CD=BP+PC=BC．
问题2：如图，分别过点A、D作BC的垂线，垂足为E、F．
由（1）可知AE+DF=EF，
在Rt△ABE和Rt△DFC中，∠B=∠C=45°，
∴AE=BE，DF=CF，
AB=AEsin45°=2AE，CD=DFsin45°=2DF．
∴BC=BE+EF+CF=2AE+DF，AB+CD=2AE+DF．
∴AB+CDBC=2(AE+DF)2(AE+DF)=22．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、解直角三角形，作出正确的辅助线并能利用解直角三角形的相关知识是解决本题的关键．
【模型二：母子型】
【模型分析】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键．
【模型突破】BC为公共边，如图①，AD＋DC＝AC；如图②，DC－BC＝DB.
【模型演变1】
【模型突破】如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.
【模型演变2】
【模型突破】如图⑤，BE＋EC＝BC；如图⑥，EC－BC＝BE；如图⑦，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG.
【模型演变3】
【模型突破】 如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF，AC＋BD＋DF＝AG.
11．（2023·新疆乌鲁木齐·一模）某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道FB上架设测角仪，先在点F处测得魁星阁顶端A的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达G处，在G处测得魁星阁顶端A的仰角是45°．若测角仪CF和DG的高度均为1.5米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中AB的值）．（参考数据：sin26°≈0.44，cs24°≈0.90，tan26°≈0.49，2≈1.41，结果精确到0.1米）
【答案】魁星阁顶端距离地面的高度约为20.7米
【分析】
解直角三角形求出AG即可解决问题．
【详解】
解：由题意知，∠ADE=45°，∠ACE=26°，FG=CD=20米，CF=DG=1.5米，设AE=x米，在Rt△ADE中，
∵AE=x米，∠ADE=45°，
∴ED=AE=x米，
∴CE=CD+ED=(20+x)米，
在Rt△ACE中，
∵tan26°=AECE=x20+x，
∴tan26°(20+x)=x，
即0.49×(20+x)≈x，
解得x≈19.22米，
∴AB=AE+BE≈19.22+1.5=20.7米，
故魁星阁顶端距离地面的高度约为20.7米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（23-24九年级·山东·期中）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？写出计算过程．
【答案】出塔的高度DE为131.6m．过程见解析．
【分析】先根据等腰三角形的判定可得BD=AB=260m，再根据直角三角形的性质可得CD=12BD=130m，然后根据线段的和差即可得．
【详解】解：由题意得：AB=260m,AF=BG=CE=1.6m,DE⊥AC，
∵∠DAC=15°,∠DBC=30°，
∴∠ADB=∠DBC−∠DAC=15°，
∴∠ADB=∠DAC，
∴BD=AB=260m，
在Rt△BCD中，CD=12BD=130m，
∴DE=CD+CE=130+1.6=131.6(m)，
即塔的高度DE为131.6m．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、三角形的外角性质、直角三角形的性质，线段和差等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
13．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
【答案】约为5.7m
【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
【详解】解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，
∴i＝1∶3＝tanM，
∵BC//MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝CDBC＝tanM＝1∶3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝ABBC＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
【点睛】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．正确掌握解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键．
14．（23-24九年级·全国·假期作业）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB，小明在斜坡的坡脚D处测得宣传牌底部B的仰角为45°，沿斜坡DE向上走到E处测得宣传牌顶部A的仰角为31°，已知斜坡DE的坡度3:4，DE=10米，DC=22米，求宣传牌AB的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.6)
【答案】宣传牌AB的高度为2米．
【分析】过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、C，则CF=EG，CG=EF，然后在RtΔEFD、RtΔBCD、中解直角三角形即可．
【详解】解：过E分别作CD、AC的垂线，设垂足为F、G，
则CF=EG，CG=EF，
在RtΔEFD中，
∵斜坡DE的坡度3:4，DE=10米，
∴设EF=3x米，DF=4x米，
∴DE=EF2+DF2=5x=10，
∴x=2，
∴EF=6米，DF=8米，
在RtΔBCD中，∠BDC=45°，
∴BC=CD=22米，
∴BG=BC−CG=22−6=16（米），
在RtΔAEG中，AG=EG·tan31°=30×0.6=18（米），
∴AB=AG−BG=18−16=2（米）．
答：宣传牌AB的高度为2米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角、俯角问题，正确作出辅助线、构建直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．
15．（2023·河南·二模）如图，一艘渔船沿南偏东42°方向航行，在A处测得一个小岛P在其南偏东64°方向．又继续航行(40−163)海里到达B处，测得小岛P位于渔船的南偏东72°方向，已知以小岛P为圆心，半径162海里的圆形海域内有暗礁．如果渔船不改变航向有没有触礁的危险，请通过计算加以说明．如果有危险，渔船自B处开始，沿南偏东多少度的方向航行，能够安全通过这一海域？（参考数据：sin22°=22929，cs22°=52929，tan22°=25）

【答案】有危险；渔船自B处开始，沿南偏东小于45度的方向航行，能够安全通过这一海域．
【分析】过点P作PC垂直于AB所在直线，垂足为C，分别在Rt△PBC和Rt△PAC中利用三角函数用PC表示BC和AC的长度，得到AB=AC−BC=52PC−3PC=40−163，求解PC的长度，与162比较即可得出结论．
【详解】解：如图，过点P作PC垂直于AB所在直线，垂足为C，

根据题意可得∠PAC=64°−42°=22°，∠PBC=72°−42°=30°，
在Rt△PBC中，BC=PCtan∠PBC=3PC，
在Rt△PAC中，AC=PCtan∠PAC=52PC，
∴AB=AC−BC=52PC−3PC=40−163，
解得PC=16，
∵169.
所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．
19．（2023·安徽·一模）如图，身高1.6米的小明为了测量学校旗杆AB的高度，在平地上C处测得旗杆高度顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进3米到达D处，在D处测得旗杆顶端A的仰角为45°，求旗杆AB的高度（3=1.7,2=1.4）
【答案】旗杆AB的高度为5.65米
【详解】试题分析：在Rt△FGA中，设AG=FG=x米，根据xx+3=tan30°，求出AG的长，加上BG的长即为旗杆高度．
试题解析：如图，在Rt△FGA中，
设AG=FG=x米，
在Rt△AEG中，xx+3=tan30°，
解得，x=33+32≈3×1.7+32=4.05米，
∴AB=1.6+4.05=5.65米．
答：旗杆AB的高度为5.65米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
20．（2023·山东聊城·中考真题）如图，一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B（点B在AC上）处，发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧，猫头鹰的视线被短墙遮住，为了寻找这只老鼠，它又飞至树顶C处，已知短墙高DF=4米，短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米，猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，老鼠躲藏处G （点G 在DE上）距D点3米．
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
（1）猫头鹰飞至C处后，能否看到这只老鼠？为什么？
（2）要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞多少米（精确到0.1米）？
【答案】(1)能看到；(2)要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞9.5米.
【分析】(1)根据猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°，可知∠DFG=90°﹣53°=37°，在△DFG中，已知DF的长度，求出DG的长度，若DG>3，则看不见老鼠，若DG≤3，则可以看见老鼠；
(2)根据(1)求出的DG长度，求出AG的长度，然后在Rt△CAG中，根据AGCG=sin∠ACG =sin37°，即可求出CG的长度.
【详解】(1)能看到；
由题意得，∠DFG=90°-53°=37°，
则DGDF=tan∠DFG，
∵DF=4米，
∴DG=4×tan37°≈4×0.75=3(米)，
故能看到这只老鼠；
(2)由(1)得，AG=AD+DG=2.7+3=5.7(米)，
又AGCG=sin∠ACG=sin37°，
则CG=AGsin37°≈(米)，
答：要捕捉到这只老鼠，猫头鹰至少要飞约9.5米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是构造直角三角形并解直角三角形，利用三角函数求解相关线段.
【模型三：拥抱型】
【模型分析】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键．
【模型突破】BC为公共边．
【模型演变】
【模型突破】如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.
21．（2024·山东日照·中考真题）潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N,A,B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（ ）
（结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37,cs22°≈0.93,tan22°=0.40）
A．41mB．42mC．48mD．51m
【答案】B
【分析】本题考査了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
延长BA交MN于点C，根据题意得BC⊥MN,BC=119m,MN=74m，然后在Rt△CNB中，利用锐角三角函数的定义求出CN的长，从而求出MC的长，再在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】如图，延长BA交MN于点C．
由题意得BC⊥MN,BC=119m,MN=74m．
在Rt△CNB中，∠CNB=45°，
∴CN=BCtan45°=119m，
∴MC=MN+NC=193m．
在Rt△AMC中，∠AMC=22°，
∴AC=MC⋅tan22°≈193×0.4=77.2(m)，
∴AB=BC−AC=119−77.2≈42(m)．
故选B．
22．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【答案】58
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得：AB=30海里，AC⊥CE,然后在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出BC的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求DE的长．
【详解】解：由题意得：AB=30（海里），AC⊥CE,
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，CD=80海里，
∴AC=CDtan45°=80（海里）
∴BC=AC−AB=80−30=50（海里），
在Rt△BCE中，∠CBE=70°，
∴CE=BC⋅tan70°≈50×2.75=137.5（海里），
∴DE=CE−CD=137.5−80=57.5≈58（海里），
即乙船向正东方向航行了58海里，
故答案为：58
23．（23-24九年级·全国·单元测试）如图，某幢大楼顶部有广告牌CD，小宇目高MA为1.89米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进15米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°（取3≈1.732，计算结果保留一位小数）
(1)求这幢大楼的高DH；
(2)求这块广告牌CD的高度．
【答案】(1)楼高DH为27.9米；
(2)广告牌CD的高度为4.0米．
【分析】（1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形Rt△DME，利用三角函数求得DE=25.98米，即可得解；
（2）根据题意构造直角三角形Rt△CNE，利用三角函数求得CE=NE=30米，即可得解．
【详解】（1）解：在Rt△DME中，ME=AH=45米；
由tan30°=DEME ，
得DE=45×33=15×1.732=25.98米；
又因为EH=MA=1.89米，
因而大楼DH=DE+EH=25.98+1.89=27.87≈27.9米，
答：楼高为27.9米；
（2）解：∵在Rt△CNE中，NE=45−15=30米，
tan45°=CENE ，
∴CE=NE=30米；
因而广告牌CD=CE−DE=30−25.98≈4.0米；
答：广告牌CD的高度为4.0米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形是解题的关键．
24．（2023·河南焦作·一模）某数学兴趣小组学过锐角三角函数后，到市龙源湖公园测量塑像“夸父追日”的高度，如图所示，在A处测得塑像顶部D的仰角为45°，塑像底部E的仰角为30.1°，再沿AC方向前进10m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为59.1°．求塑像“夸父追日”DE高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin30.1°≈0.50，cs30.1°≈0.87，tan30.1°≈0.58，sin59.1°≈0.86，cs59.1°≈0.51，tan59.1°≈1.67）

【答案】塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米
【分析】设AC=CD=x，则BC=x−10，解Rt△BCD，求出x的值，再在Rt△ACE中，求出CE的值，从而可计算得出DE的值．
【详解】解：在Rt△ACD中，∠CAD=45°，则AC=CD.
设AC=CD=x，则BC=x−10
在Rt△BCD中，tan59.1°=CDBC.
∴CD=BC·tan59.1°
∴x=1.67x−10
解得：x≈24.93.
在Rt△ACE中，tan30.1°=ECAC.
CE=AC·tan30.1°=24.93×0.58≈14.46
∴DE=DC−CE=24.93−14.46=10.47≈10.5
答：塑像“夸父追日”DE 的高度约为10.5米.
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，难度不大，但容易在计算上面出错．
25．（2023·四川眉山·中考真题）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示，在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．
【答案】小山BC的高度为10+403米
【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高．
【详解】解：设BC为x米，则AC=20+x米，∵∠BDC=30° ∴∠DBC=∠AEC=60°，而DE=80米，
在RtΔDBC中，tan60°=DCBC=DCx，
则DC=3x米，∴CE=3x−80米，
在RtΔACE中，tan60°=ACCE=20+x3x−80=3，
解得x=10+403．
答：小山BC的高度为10+403米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键．
26．（2024·湖南·模拟预测）慈氏塔（如图①）作为湖南现存最早的砖塔之一，以其巍然䇯立，雄视洞庭湖，成为“巴陵胜状”之一．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量慈氏塔的高度”为主题的活动，并写出如下项目报告：
(1)求无人机从点B到点C处的飞行距离；
(2)求慈氏塔DE的高度．
【答案】(1)80m
(2)慈氏塔DE的高度为35m
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的判定与性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于常考题型．
（1）先根据题意可求出AB=80m，∠BAE=90°，再根据Rt△ABC中，BC=AB即可解答；
（2）过点D作DH⊥BC，交BC延长线于点H，设CH=DH=xm，则BH=BC+CH=80+xm，解直角三角形求出x的值，证明四边形ABHE是矩形，得到EH=AB=80m，由DE=EH−DH即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：AB=8×10=80m，∠BAE=90°，
在Rt△ABC中，∠BAC=∠BCA=45°，
∴ BC=AB=80m；
（2）解：过点D作DH⊥BC，交BC延长线于点H，
∵∠DCH=45°,∠DHC=90°，
∴∠CDH=45°，
∴CH=DH，
设CH=DH=xm，则BH=BC+CH=80+xm，
在Rt△ADH中，∠DBH=20°
∵ DHBH=tan∠DBH≈0.36，
∴x80+x=0.36，
解得：x=45，
∴ CH=DH=45m，
∵∠BHD=∠AEH=∠EAB=90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴EH=AB=80m，
∴ DE=EH−DH=35m，
答：慈氏塔DE的高度为35m．
27．（23-24九年级·重庆·阶段练习）如图，四边形ABCD是某公园的游览步道（步道可以骑行），把四个景点连接起来，为了方便，在景点C的正东方设置了休息区K，其中休息区K在景点A的南偏西30°方向8002米处，景点A在景点B的北偏东75°方向，景点B和休息区K两地相距4005米∠ABK