北师大版（2024）九年级下册4 解直角三角形优秀ppt课件

这是一份北师大版（2024）九年级下册4 解直角三角形优秀ppt课件，共11页。
专题1.2 解直角三角形【九大题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc30620" 【题型1 解直角三角形】  PAGEREF _Toc30620 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc7829" 【题型2 解一图多三角形的直角三角形】  PAGEREF _Toc7829 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22551" 【题型3 解非直角三角形】  PAGEREF _Toc22551 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc13883" 【题型4 网格问题】  PAGEREF _Toc13883 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc31235" 【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】  PAGEREF _Toc31235 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc22914" 【题型6 在四边形中解直角三角形】  PAGEREF _Toc22914 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc10798" 【题型7 在平面直角坐标系中解直角三角形】  PAGEREF _Toc10798 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc23458" 【题型8 函数与解直角三角形】  PAGEREF _Toc23458 \h 34 HYPERLINK \l "_Toc18954" 【题型9 动态问题与解直角三角形】  PAGEREF _Toc18954 \h 40知识点：解直角三角形【题型1 解直角三角形】【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，点D、E分别为边AB、AC的中点，连接DE、CD，若DE=23，则CD的长度为（    ）A．3 B．33 C．3.5 D．4【答案】D【分析】根据三角形中位线得出BC=2DE=43，再由余弦函数确定AB=8，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．题目主要考查解三角形，中位线的性质及斜边上的中线的性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．【详解】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，DE=23，∴BC=2DE=43，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴cos∠B=BCAB=32，∴AB=8，∴CD=AD=12AB=4，故选：D．【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7， BC=21，则∠B的度数为（　　）A． 30° B．45° C．60° D．75°【答案】A【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形边角关系是解题的关键．先根据正切三角函数的定义求得tan B=ACBC=721=33，再根据特殊角的三角函数值求出角度即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=7， BC=21，∴tan B=ACBC=721=33，∴∠B=30°，故选：A．【变式1-2】（2024·湖南长沙·三模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC,∠C=30°，过点A作AD⊥AB，交CB的延长线于点D，若BC=1，则AD的长为 ．【答案】3【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，以及三角形外角的性质，熟练掌握锐角三角函数的概念是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得AB=1，∠BAC=∠C=30°，求出∠ABD=60°，然后利用∠ABD的正切求解即可．【详解】解：∵AB=BC,∠C=30°，BC=1，∴AB=1，∠BAC=∠C=30°，∴∠ABD=30°+30°=60°．∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，∴AD=tan60°×AB=3故答案为：3．【变式1-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）如图，在四边形纸片ABCD中，AB∥DC，AD=8，∠D=60°．将纸片沿折痕HG折叠，使点D落在AB边上的点M处．若∠DGH=45°，则DG的长为（    ）A．4 B．43 C．53 D．35【答案】B【分析】本题考查折叠的性质、解直角三角形、矩形的判定与性质．由折叠的性质知DG=GM，∠DGH=∠MGH，再由∠DGH=45°得到∠DGM=90°，过点A作AH⊥DC于点H，在Rt△ADH中求出AH的长度，再证明四边形AHGM是矩形，从而得出AH=GM，据此即可解决问题．【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，由折叠的性质知DG=GM，∠DGH=∠MGH，∠DGH=45°，∴∠DGM=∠DGH+∠MGH=90°，在Rt△ADH中，AH=AD⋅sin∠B=8×32=43，∵AB∥DC，∴∠MAH=∠AHG=∠DGM=90°，∴四边形AHGM是矩形，∴GM=AH=43，∴DG=GM=43，故选：B．【题型2 解一图多三角形的直角三角形】【例2】（2024·陕西西安·模拟预测）将一副直角三角板按如图所示摆放，其中∠CAB=∠DCB=90°，∠ACB=45°，∠CBD=30°，若AC=2，则CD的长为（    ）A．23 B．2 C．233 D．433【答案】C【分析】根据∠CAB=∠DCB=90°，∠ACB=45°，AC=2，得BC=ACcos45°=2；根据∠CBD=30°，得CD=BCtan30°=233；解答即可．本题考查了直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，三角函数，熟练掌握三角函数，特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】根据∠CAB=∠DCB=90°，∠ACB=45°，AC=2，得BC=ACcos45°=2；根据∠CBD=30°，得CD=BCtan30°=233；故选C．【变式2-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，D是AC的中点，AC=8，tan∠CAB=12，则sin∠DBA等于（   ）A．13 B．1010 C．6-22 D．53【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形．过D作DE⊥AB于E，由锐角的正切求出BC的长，由勾股定理求出DB长，由∠A的正切，勾股定理求出DE长，即可求解．【详解】解：过D作DE⊥AB于E，∵D是AC的中点，∴AD=CD=12AC=12×8=4，，tanA=BCAC=12，AC=8，∴BC=4，∵∠C=90°，∴BD2=CD2+BC2=42+42=32，∴BD=42，∵tanA=DEAE=12，∴令DE=x，AE=2x，∴AD=x2+(2x)2=5x=4，∴x=455，∴DE=455，∴sin∠ABD=DEBD=1010．故选：B【变式2-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，DE=3，∠B=45°，∠ACB=60°，AD⊥BC于D，∠ACD的平分线交AD于E，则AB的长为（    ）A．32 B．33 C．36 D．43【答案】C【分析】本题主要考查了解直角三角形的知识，利用三角函数可得：AB=ADsin∠B=2AD，AD=CD⋅tan∠ACB=3CD，CD=EDtan∠ECD=3ED，代入计算即可．【详解】∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴△ADB、△ADC、△EDC是直角三角形，∵∠B=45°，∴在Rt△ADB中，AB=ADsin∠B=2AD， ∵∠ACB=60°，∴在Rt△ACD中，AD=CD⋅tan∠ACB=3CD， ∵CE平分∠ACD，∠ACB=60°，∴∠ECD=12∠ACB=30°，∴在Rt△ACD中，CD=EDtan∠ECD=3ED，∵DE=3，∴CD=3ED=3，∴AD=3CD=33，∴AB=2AD=36，故选：C．【变式2-3】（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°．则新钢架减少用钢（    ）A．24-123m B．24-83m C．24-63m D．24-43m【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得DE=23，BE=43=AE，CD=63，利用新钢架减少用钢=AC+BC+CD-AE-BE-DE，代入数据计算即可求解．【详解】解：∵等边△ABC，CD⊥AB于点D，AB长12m，∴AD=BD=12AB=6m，∵∠BED=60°，∴tan60°=BDDE=3，∴DE=23，∴BE=DE2+BD2=43=AE，∵∠CBD=60°，∴CD=BD·tan∠CBD=3BD=63m，BC=AC=AB=12m，∴新钢架减少用钢=AC+BC+CD-AE-BE-DE=24+63-83-23=24-43m，故选：D．【题型3 解非直角三角形】【例3】（2024·江苏扬州·一模）如图，若∠B=30∘，∠C=45∘，∠BDC=150∘，且BD=CD=5，则AC等于 ．【答案】52【分析】延长CD与AB交于点E,过点E作EM⊥BD交BD于点M，过点A作AN⊥CE交CE于点N，证明∠B=∠BDE,得到BE=DE,根据等腰三角形的性质得到DM=BM=12BD=52,得到DE=DMcos∠EDM=533,进而求出CE的长度，设EN=x, AN=CN=EN⋅tan60∘=3x, AC=ANsin45∘=6x, 根据CN+EN=CE,列出方程，求出x，即可求解.【详解】延长CD与AB交于点E,过点E作EM⊥BD交BD于点M，过点A作AN⊥CE交CE于点N，∠BDC=150∘,∴∠BDE=180∘-150∘=30∘, ∵ ∠B=30∘,∴∠B=∠BDE, BE=DE, ∵ EM⊥BD∴DM=BM=12BD=52, DE=DMcos∠EDM=DMcos30∘=5232=533, ∴CE=DE+CD=533+5, ∠CEA=∠B+∠BDE=60∘, 设EN=x, ∴AN=CN=EN⋅tan60∘=3x, AC=ANsin45∘=6x, ∵CN+EN=CE,∴x+3x=533+5,解得：x=533,  ∴AC=6x=6×533=52. 故答案为52.【点睛】考查等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，解直角三角形，构造直角三角形是解题的关键.【变式3-1】（2024·陕西西安·三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，AB=6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为(　　)A．3 +1 B．2 C．2 D．6-2【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得BC，设EF=x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF=BC列出方程求得x，进而求得结果．【详解】如图，作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，在Rt△ABD中，BD=AD=AB⋅sinB=6×22=3，在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠ACB=30°，CD=AD⋅tan30°=3×33=1，∴BC=3+1，在Rt△BEF中，设BF=EF=x，在Rt△EFC中，∠FEC=90°-∠BCE=60°，CF=EF⋅tan60°=3x，由CF+BF=BC得，3x+x=3+1，∴x=1，∴EC=2EF=2，故答案为：B．【点睛】本题考查了解直角三角形，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形．【变式3-2】（2024·湖北武汉·中考真题）如图．在△ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边BC上一点．若DE平分△ABC的周长，则DE的长是 ．【答案】32 【详解】【分析】如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，根据题意得到ME=EB，根据三角形中位线定理得到DE=12AM，根据等腰三角形的性质求出∠ACN，根据正弦的概念求出AN，计算即可．【详解】解：如图，延长BC至M，使CM=CA，连接AM，作CN⊥AM于N，∵DE平分△ABC的周长， AD=DB，∴BE=CE+AC，∴ME=EB，又AD=DB，∴DE=12AM，DE∥AM，∵∠ACB=60°，∴∠ACM=120°，∵CM=CA，∴∠ACN=60°，AN=MN，∴AN=AC•sin∠ACN=32，∴AM=3，∴DE=32，故答案为32．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的性质、解直角三角形，掌握三角形中位线定理、正确添加辅助线是解题的关键．【变式3-3】（2024·上海徐汇·三模）如图，在△ABC中，AB=AC=4，cosB=14，BD是中线，将△ABC沿直线BD翻折后，点A落在点E，那么CE的长为 ．【答案】6【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点A作AM⊥BC于点M，计算得出AD=CD=DE=BC，再证明四边形BCED是平行四边形，得CE=BD，再在△BCD中求解BD即可．【详解】解：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，∵AB=AC=4，∴BM=CM，∵cosB=BMAB=BM4=14，∴BM=CM=1，∴BC=2，∵BD是中线，∴CD=AD=12AC=2，由翻折知AD=DE=2，∴AD=CD=DE=BC，∴∠CBD=∠CDB，设∠DCB=α，∴∠CDB=180°-α2，∴∠ADB=180°-180°-α2=90°+α2，由翻折知∠EDB=∠ADB=90°+α2，∴∠EDC=∠EDB-∠CDB=90°+α2-180°-α2=α，∴∠EDC=∠DCB，∴DE∥BC，∴四边形BCED是平行四边形，∴CE=BD，∵DN⊥BC，∴cosC=cosB=CNCD=CN2=14，∴CN=12，∴BN=BC-CN=2-12=32，DN=CD2-CN2=22-122=152，∴BD=DN2+BN2=1522+322=6，∴CE=BD=6，故答案为：6．【题型4 网格问题】【例4】（2024·江苏扬州·一模）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是AB与网格线的交点，则sin∠ADC2的值是 ．【答案】55【分析】根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，再根据直角三角斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AD=DB，结合等腰三角形的性质和三角形的外角的性质可得∠B=12∠ADC，由此可得sin∠ADC2=sinB．【详解】解：根据题意由勾股定理得：AC=22+12=5,AB=32+42=5,BC=42+22=25,∴AB2=AC2+BC2，∴AC⊥BC，∠C=90°，结合网格可知D分别为AB的中点，∴CD=AD=DB，∴∠B=∠DCB，又∵∠B+∠DCB=∠ADC，∴∠B=12∠ADC,∴sin∠ADC2=sinB=ACAB=55    ，故答案为：55 ．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．关键是得出∠B=12∠ADC．【变式4-1】（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹．(1)在图①中，以AC为中线作△ABD，使AB=AD；(2)在图②中，以AC为中线作Rt△AEF，使∠AEF=90°；(3)在图③中，以AC为中线作△AMN，使∠AMN为钝角且tan∠MAC=12．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；（2）根据直角三角形的判定三角形中线的定义画出图形；（3）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；【详解】（1）解：使AB=AD，即让△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，过C点作AC的垂线，使C为BD中点即可；（2）解：在A点正下方与C点对齐的地方找到E点，过点E、C画直线使C为BD中点即可得到点F；（3）解：过点C画斜线使C为中点找到M、N，连接起来即可使tan∠MAC=12；【变式4-2】（2019·江苏常州·二模）如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么∠ABC的正切值是 ．【答案】13【分析】过点C作CD⊥AB于点D由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，由于AC＝2，设AD＝x，由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，解出x的值后，利用锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，由勾股定理可知：BC2＝8，AB2＝20，由于AC＝2，设AD＝x，易得AB=25,∴由勾股定理可知：AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，∴4﹣x2＝8﹣（25﹣x）2，解得：x＝455，∴BD＝655∴由勾股定理可知：CD＝255，∴tan∠ABC＝CDBD=13，故答案为：13【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．【变式4-3】（2024·吉林白城·一模）图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的三个顶点都在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．(1)在图①中的△ABC的边AB，BC上分别找到点D，E，连接DE，使DE=12AC．(2)在图②中的△ABC的边AC上找到点F，连接BF，使tan∠FBC=1．(3)在图③中的△ABC的边AC上找到点G，连接BG，使BG=CG．【答案】(1)图见解析；(2)图见解析；(3)图见解析；【分析】本题主要考查了作图——应用与设计作图、勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形和正方形的性质等知识，掌握利用数形结合的思想是解答本题的关键．（1）取F,G，H,I格点，连接FG交AB于点D，连接HI交BC于点E，连接DE，则D,E即为所求点；（2）取格点D，连接BD交AC于点F，则点F为所求点；（3）连接EF交BC于点P，则点P为BC中点，连接MN,HE相交于点O，连接PO交AC于点G，则G为所求作点，BG=CG．【详解】（1）如图，取F,G，H,I格点，连接FG交AB于点D，连接HI交BC于点E，连接DE，则D,E即为所求点， DE=12AC．∵ 四边形AFBG为正方形，点D为对角线AB,FG交点，四边形HCIB为矩形，点E为对角线BC,HI交点，∴ 点D为AB中点，点E为BC中点，∴ DE=12AC．（2）取格点D，连接BD交AC于点F，则点F为所求点，∵ DC=22+32=BC，∴ △DCB为等腰三角形，∵ DC=BC,DM=CN，∴ Rt△DMC≌Rt△CNB，∴ ∠MDC=∠NCB，又∠MDC+∠DCM=90°，∴ ∠NCB+∠DCM=90°，即∠DCB=90°，∴ △DCB为等腰直角三角形，∴ ∠DBC=45°，∴ ∠FBC=45°，∴ tan∠FBC=1．（3）如图所示，连接EF交BC于点P，则点P为BC中点，连接MN,HE相交于点O，连接PO交AC于点G，则G为所求作点，BG=CG．∵ 四边形ECFB为矩形，P为对角线EF,BC交点，∴ 点P为BC中点，∵ 四边形MENH为正方形，O为对角线MN,HE交点，连接BO,CO，∴ BO=(2.5)2+(0.5)2，CO=(2.5)2+(0.5)2，∴ BO=CO，即△OBC为等腰三角形，根据三线合一，∴ OP为BC中垂线，∵ 点G为OP与AC交点，∴ BG=CG．【题型5 构造直角三角形求不规则图形的面积】【例5】（23-24九年级·全国·课后作业）一块四边形空地如图所示，求此空地的面积（结果精确到0.01m2）．【答案】1082.53m2【分析】把所给四边形构建成几个直角三角形，利用求和的方法来求面积即可．【详解】解：如图，连接BD，作DE⊥AB于E，作BF⊥CD于F．∵∠A＝∠C＝60°，∴DE＝30•sin60°＝153≈25.9808m，BF＝20•sin60°＝103≈17.3205m，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△DBC=12AB·DE+12CD·BF ＝12×50×25.9808＋12×50×17.3205≈1082.53m2．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，对于一个任意四边形，在求面积时，一般是构建直角三角形，利用求和的方法来求面积，熟练掌握解直角三角形是解题关键．【变式5-1】（23-24九年级·湖南益阳·期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=7，BC=9，CD=3，则四边形ABCD的面积为（    ）  A．48 B．50 C．52 D．54【答案】A【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC，再根据SABCD=S△ADC+S△ABC进行计算即可求出结果．【详解】解：连接AC，如图所示  ∵∠ABC=90°，AB=7，BC=9∴AC=AB2+BC2=72+92=130∵∠ADC=90°，CD=3∴AD=AC2-CD2=130-32=121=11∴SABCD=S△ADC+S△ABC=12×11×3+12×7×9=48∴四边形ABCD的面积为48故选：A．【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添加辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式5-2】（2024·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ）A．34 B．32 C．3 D．23【答案】C【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=32DO，BH=32BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出；【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H，∵∠AOD=60°，∴∠AOD=∠BOC=60°，∴DG=32DO，同理可得：BH=32BO，S四边形ABCD=12×AC×DG+12×AC×BH=12×AC×32×（DO+BO）=3，故选：C．【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键．【变式5-3】（2024·浙江金华·一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF