数学北师大版（2024）5 三角函数的应用综合训练题

这是一份数学北师大版（2024）5 三角函数的应用综合训练题，共68页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc3417" 【题型1 仰角俯角问题】 PAGEREF _Tc3417 \h 1
\l "_Tc1648" 【题型2 坡度坡比问题】 PAGEREF _Tc1648 \h 3
\l "_Tc13911" 【题型3 方向角问题】 PAGEREF _Tc13911 \h 4
\l "_Tc9999" 【题型4 物理模型问题】 PAGEREF _Tc9999 \h 6
\l "_Tc7631" 【题型5 实物抽象模型问题】 PAGEREF _Tc7631 \h 8
\l "_Tc16451" 【题型6 坡度坡比与仰角俯角综合问题】 PAGEREF _Tc16451 \h 10
\l "_Tc24702" 【题型7 临界值问题】 PAGEREF _Tc24702 \h 11
\l "_Tc22008" 【题型8 方案设计问题】 PAGEREF _Tc22008 \h 14
【题型1 仰角俯角问题】
【例1】（2024·广东广州·中考真题）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，该模拟装置在缓速下降阶段从A点垂直下降到B点，再垂直下降到着陆点C，从B点测得地面D点的俯角为36.87°，AD=17米，BD=10米．
(1)求CD的长；
(2)若模拟装置从A点以每秒2米的速度匀速下降到B点，求模拟装置从A点下降到B点的时间．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cs36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75）
【变式1-1】（2024·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点C,D,E依次在同一条水平直线上，DE=36 m,EC⊥AB，垂足为C．在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°．
(1)求线段CD的长（结果取整数）；
(2)求桥塔AB的高度（结果取整数）．参考数据：tan31°≈0.6,tan6°≈0.1．
【变式1-2】（2024·河南新乡·二模）甲乙两楼是两幢完全一样的房子，小明与小奇住在甲幢．为测量房子的高度，制定如下方案：两幢房子截面图如图，AB= 14m，小明在离屋檐A处3m的点F处水平放置平面镜（平面镜的大小忽略不计），小奇在离点F水平距离4m的点N处恰好在镜子中看到乙幢屋顶H，此时测得小奇眼睛与镜面的竖直距离MN=0.8m．下楼后，小明在地面点E处测得点C的仰角为35°，点E与C，H在一条直线上，点A，B，E，D，C在同一平面内，BE=5m，求房子的高度．（精确到0.1m，参考数据：sin35°≈0.57,cs35°≈0.82,tan35°≈0.70）
【变式1-3】（2024·江西南昌·模拟预测）每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，AB表示底座高度，BC表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角22°，点C的仰角45°，后退2米到达点E处后测得点C的仰角37°，点A、D、E在同一直线上，AC⊥DE．（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈1.41）
(1)求∠DCE+∠BDC的度数；
(2)①求AC的长；
②求BC的长．
【题型2 坡度坡比问题】
【例2】（2024·海南海口·一模）如图，5G时代，万物互联，助力数字经济发展，共建智慧生活．某移动公司为了提升网络信号在坡度i=1:2.4（即DB:AB=1:2.4）的山坡AD上加装了信号塔PQ，信号塔底端Q到坡底A的距离为13m．当太阳光线与水平线所成的夹角为53°时，且AM=8m,ME=9m．
(1)AQ= m，∠PEN= °；
(2)求信号塔PQ的高度大约为多少米？（参考数据：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【变式2-1】（2024·山东·模拟预测）如图，为一个斜面ABC，坡比i=1:3．斜面的高AB=5cm．为了减小小球下滑的速度，将坡面AC换成新坡面AD，且∠ADB=15°．
(1)求新坡面AD的坡比以及新坡面AD的长；
(2)原坡面AC的底部距离铁板EF的距离为20cm．经过实验，坡面底部与铁板EF的距离必须大于12cm，小球才不和铁板相撞．请你通过计算，判断小球从新坡面AD静止滑下，会不会与铁板相撞？
【变式2-2】（23-24九年级·广东江门·阶段练习）如图，小张同学去黄山旅游时，发现太阳光线照射在立柱AB（与水平地面BF垂直）上，其影子的一部分落在地面BC上，另一部分落在斜坡CE上，且CD⊥AD，经测量，BC=2米，CD=8.5米，斜坡的坡角∠ECF=32°，求立柱AB的高．（结果精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0．53，cs32°≈0．85，tan32°≈0．62）
【变式2-3】（2024·辽宁·模拟预测）如图1所示是斜坡处修建的一处水坝，对防御洪水灾害起到一定作用，同时可以储存水资源．已知AB为水平地面，斜坡BC的坡角为θ=37°，AC⊥AB于点A．在斜坡BC的正中央修建水坝DE，已知DE⊥AB，点E与点C在同一条水平线上．经测量AC=30m．
(1)求水坝DE的高度；
(2)夏季，汛期来临．如图2，为了更好的预防洪水，相关部门在水坝DE的下方又修建了临时防护栏FG．已知C、E、G三点共线，∠FGB=23°．已知洪水越过了大坝DE后每分钟上涨4m，这一阶段持续时间为6分钟，则在此阶段洪水是否能越过防护栏FG？（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，sin23°≈513，cs23°≈1213）
【题型3 方向角问题】
【例3】（2024·重庆·模拟预测）如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E—A—C；②E—D—C．经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向．
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
(1)求DE的长度．（结果精确到1千米）
(2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【变式3-1】（2024·重庆·模拟预测）如图为某公园平面图，小明沿路线A→B→C→E跑步运动，小刚沿路线G→D→E跑步运动，已知点G位于点A正东方向，点B位于点A正北方向，点C位于点B东北方向，CE∥AG，点D位于点G北偏西60°方向，点E位于点D北偏西30°方向，且DG=DE，已知 AB=400米， AG=1900米， CE=300米，（参考数据 2≈1.4,3≈1.7,6≈2.5)
(1)求BC的距离．（结果保留到个位）
(2)若小明和小刚同时出发，小明刚开始以速度4米/秒匀速跑步，当跑步到点C时由于体力下降，此时小明速度降为2米/秒继续匀速跑到点E，小刚以速度3米/秒匀速跑步至点E，请通过计算说明他们谁先到达点E．
【变式3-2】（2024·四川资阳·中考真题）如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东30°方向，且A，B相距1633海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东30°方向、灯塔B的正北方向．

(1)求B，C两处的距离；
(2)该渔船从C处沿北偏东65°方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东27°方向，便立即以18海里/小时的速度沿BD方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间．
（注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：tan65°≈2.1，tan27°≈0.5）
【变式3-3】（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB=100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cs18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cs21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）
【题型4 物理模型问题】
【例4】（23-24九年级·江苏苏州·阶段练习）小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验．如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN，MN与墙面AB所成的角∠MNB＝118°，厂房高AB＝8m，房顶AM与水平地面平行，小强在点M的正下方C处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D到他的距离是CD的长度．
(1)求∠D的度数；
(2)求CD的长度（结果精确到0.1m，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）
【变式4-1】（2024·湖南·一模）小华同学在家看电视的时候因误触遥控器导致换台，但遥控器并没有对准电视．小华想起物理课上学习过的光的反射，并猜想是遥控器的红外线信号在墙壁等其他光滑的地方发生反射然后被信号传感器接收导致换台，小华在好奇心驱使下验证了自己的设想．如图所示，CD为竖直的平面镜（CD足够长），AB的长度为信号传感器可接收信号的水平宽度，AB⊥CD，小华坐在距离AB距离为d的点H，然后小华用遥控器水平对着平面镜CD持续按按钮，发现当α≤∠DQH≤β时电视可以换台（假设红外线在Q点反射），求信号传感器可接收信号的水平范围AB．（结果含α,β,d）

【变式4-2】（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2仪可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：F=AD=400，则f2=CD= ．（单位：N）（参考数据：sin40°=0.64,cs40°=0.77）
【变式4-3】（23-24九年级·江苏·期末）在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆AB长为8dm，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方距离为10dm处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．当杆AB与水平面夹角为30°时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知∠BAD=30°,AB=8dm,CA⊥AD于点D且CA=10dm，连接CB，求点A到BC的距离．请写出解答过程求出点A到BC的距离．（结果保留根号）
【题型5 实物抽象模型问题】
【例5】（2024·广东深圳·模拟预测）周末淘气一家开车外出旅游，车子突然向路边侧滑，幸亏淘气爸爸反应及时，车子才慢慢停了下来．淘气一家人赶紧下车查看，原来是前轮爆胎了．爸爸说，只要把备胎换上就行了．于是爸爸从后备厢取出备胎和工具，开始忙活，其中千斤顶引起了小光的注意．图（1）是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图（2）所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知AB=40cm，∠ADC=60°，当千斤顶升高 cm时，四边形ABCD为正方形．（参考数据：2≈1.414，3≈1.732，结果保留整数）
【变式5-1】（23-24九年级·湖南·期末）图（1）是一扇半开着的办公室门的照片，门框镶嵌在墙体中间，门是向室内开的．图（2）画的是它的一个横断面．虚线表示门完全关好和开到最大限度（由于受到墙角的阻碍，再也开不动了）时的两种情形，这时二者的夹角为120°，从室内看门框露在外面部分的宽为4cm，求室内露出的墙的厚度a的值．（假设该门无论开到什么角度，门和门框之间基本都是无缝的．精确到0.1cm，3≈1.73）
【变式5-2】（23-24九年级·山东济南·期末）如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β．已知液压杆AB=3米，∠BEA=90°，当α=37°，β=58°时．（结果精确到0.01米）（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60）
(1)求液压杆顶端B到底盘OC的距离BE的长；
(2)求AO的长．
【变式5-3】（2024·江西吉安·一模）如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长AB=20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD=15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE=10cm，CE=2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为35°．(参考数据：sin35°≈0.574，cs35°≈0.819，tan35°≈0.700，结果精确到0.1cm)
(1)求显示屏所在部分的宽度CM；
(2)求镜头A到地面的距离．
【题型6 坡度坡比与仰角俯角综合问题】
【例6】（2024·广东中山·三模）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走10米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜面CF的坡度为i=1：3(点E、C、B在同一水平线上)．
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
(2)求大树AB的高度（结果保留根号）．
【变式6-1】（2024·重庆·模拟预测）在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40°，若DE=55米，DE⊥CE，CE=36米，CE平行于AB，BC的坡度为i=1:0.75，坡长BC=140米，求AB的长（精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，tan40°≈0.84）
【变式6-2】（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，某小山DE高412米，其斜坡DC的坡度为i=1:1，它的前面有一座建筑物．为了测量建筑物AB的高度，在山顶D和坡底C测的建筑物顶端A的俯角和仰角分别为30°，60°．求建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，2≈1.41,3≈1.73）
【变式6-3】（2024·四川广安·中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC=30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．
（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，3≈1.73）

【题型7 临界值问题】
【例7】（23-24九年级·江苏南通·开学考试）如图，斜坡AB的坡角∠BAC=13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD=100cm，前排光伏板的坡角∠DAC=28°．

(1)求AE的长（结果取整数）；
(2)冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA=32°．后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45，
【变式7-1】（2024·福建泉州·二模）如图所示为单反照相机取景器的示意图，五边形ABCDE为五棱镜的一个截面，AB⊥BC．光线垂直AB射入，且只在CD和EA上各发生一次反射，两次反射的入射角相等，最后光线垂直BC射出．若两次反射都为全反射，则该五棱镜折射率的最小值是（ ）（注：满足全反射的条件为折射率n=1sinθ)

A．1cs22.5°B．1cs45°C．1sin45°D．1sin22.5°
【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·阶段练习）知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°．如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．（参考数据：sin53°≈0.80,cs53°≈0.60,tan53°≈1.33，sin72°≈0.95,cs72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin56°≈0.83,cs56°≈0.56,tan56°≈1.48）

(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子底端B与墙AO距离（即BO）的最小值；
(2)当梯子顶端A与地面距离为3.32m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？
【变式7-3】（23-24九年级·陕西西安·期中）【问题提出】
（1）如图①，在△ABC中，点O是边BC的中点，连接AO并延长至点D，连接BD，若OD>OA，△ABD的面积为S1，△ABC的面积为S2，则S1________S2的大小（填“>”“=”“