初中数学北师大版（2024）九年级下册4 解直角三角形完美版复习ppt课件

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专题1.6 直角三角形的边角关系全章专项复习【2大考点10种题型】【北师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc7143" 【考点1 锐角三角函数】  PAGEREF _Toc7143 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25855" 【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】  PAGEREF _Toc25855 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc16894" 【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】  PAGEREF _Toc16894 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc15391" 【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】  PAGEREF _Toc15391 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc11408" 【题型4 锐角三角函数与平面直角坐标系的综合】  PAGEREF _Toc11408 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc18483" 【考点2 解直角三角形】  PAGEREF _Toc18483 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc21017" 【题型5 解直角三角形】  PAGEREF _Toc21017 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc29415" 【题型6 构造直角三角形解斜三角形】  PAGEREF _Toc29415 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc5682" 【题型7 与仰角、俯角有关的问题】  PAGEREF _Toc5682 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc6051" 【题型8 与方位角有关的问题】  PAGEREF _Toc6051 \h 37 HYPERLINK \l "_Toc7173" 【题型9 与坡角、坡度有关的问题】  PAGEREF _Toc7173 \h 44 HYPERLINK \l "_Toc21675" 【题型10 方案设计问题】  PAGEREF _Toc21675 \h 54【考点1 锐角三角函数】1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作__sinA_.2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作_cosA_ .3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.锐角A的正切记作__tanA_.正弦：余弦：；正切：。常见三角函数值：【题型1 利用设参法求锐角的三角函数值】【例1】（2024·四川达州·一模）如图，四边形ABCD为矩形纸片，AB=7，BC=9，现把矩形纸片折叠，使得点C落在AB边上的点C'处（不与A，B重合），点D落在D'处，此时，C'D'交AD边于点E，设折痕为PQ．若△PBC'≌△C'AE，则cos∠BC'P的值为（    ）A．35 B．37 C．45 D．47【答案】A【分析】设BC'=m，由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠得PC'=PC，∠PC'E=∠C=90°，则∠BC'P=∠AEC'=90°-∠AC'E，因为△PBC'≌ △C'AE，所以BP=AC'=7-m，BC'=AE=m，可求得C'E=2+m，由勾股定理得m2+(7-m)2=(2+m)2，求得符合题意的m值为3，则BC'=3，PC'=5，所以cos∠BC'P=BC'PC'=35，于是得到问题的答案．【详解】解：设BC'=m，∵四边形ABCD是矩形，AB=7，BC=9，∴∠A=∠B=∠C=90°，由折叠得PC'=PC，∠PC'E=∠C=90°，∴∠BC'P=∠AEC'=90°-∠AC'E，∵△PBC'≌ △C'AE，∴BP=AC'=7-m，BC'=AE=m，∵PC'=C'E，且PC'=PC=9-(7-m)=2+m，∴C'E=2+m，∵AE2+AC'2=C'E2，∴m2+(7-m)2=(2+m)2，解得m1=3，m2=15（不符合题意，舍去），∴BC'=3，PC'=2+3=5，∴cos∠BC'P=BC'PC'=35，故选：A．【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，掌握轴对称的性质是关键．【变式1-1】（2024·甘肃定西·模拟预测）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC:AB=5:13，则tanA的值为 ．【答案】512【分析】本题考查了勾股定理、锐角三角形函数的定义．先可设BC=5x,AB=13x，利用勾股定理求出AC=12x，再根据锐角三角函数正切的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，求解即可．【详解】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC:AB=5:13，∴可设BC=5x,AB=13x，∴AC=AB2-BC2=13x2-5x2=12x，故tanA=BCAC=512．故答案为：512．【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC=5，AD=2，∠ABC的平分线交CD于E，连接AE，则tan∠AEB= ．【答案】2【分析】根据题意，作出图形，先由三角形全等的判定与性质得到AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，即△ABE是直角三角形，过点A作AF∥DC交BC于F，如图所示，由矩形的判定与性质得到FC=AD,AF=DC，在Rt△ABF中及在Rt△ADE中，有勾股定理得到AE的长，在Rt△ABE中，由正切定义代值求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：∵ CD是∠ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE，在△ABE和△CBE中，AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE∴△ABE≌△CBESAS，∴AE=CE，∠BAE=∠BCD=90°，即△ABE是直角三角形，过点A作AF∥DC交BC于F，如图所示：∴∠AFB=∠BCD=90°，∵ AD∥BC，∴∠ADC=∠BCD=90°，即四边形AFCD是矩形，∴FC=AD,AF=DC，在Rt△ABF中，AB=5，BF=BC-CF=BC-AD=5-2=3，则由勾股定理可得AF=AB2-BF2=4，则DC=4，设AE=CE=x，则DE=4-x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+DE2=AE2，即22+4-x2=x2，解得x=52，在Rt△ABE中，tan∠AEB=ABAE=552=2，故答案为：2．【点睛】本题考查求三角函数值，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及正切函数值定义等知识，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键．【变式1-3】（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，3CD=BD，cos∠ABC=255，则sin∠BAD= ．【答案】35/0.6【分析】本题考查了三角函数，勾股定理，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．过点D作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，设CD=a,BD=3a，则BC=4a，由cos∠ABC=255可得AB=25a，BE=655a，利用勾股定理求出AD,DE，根据正弦的定义即可求解．【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，则∠AED=∠BED=90°，∵3CD=BD，∴设CD=a,BD=3a，∴BC=4a，∵cos∠ABC=255，∴BCAB=255,BEBD=255，∴4aAB=255,BE3a=255，∴AB=25a,BE=655a，∴AC=AB2-BC2=(25a)2-(4a)2=2a,AE=AB-BE=25a-655a=455a，∴AD=AC2+CD2=(2a)2+a2=5a，∴DE=AD2-AE2=(5a)2-455a2=355a，∴sin∠BAD=DEAD=355a5a=35，故答案为：35．【题型2 构造直角三角形求锐角的三角函数值】【例2】（2024·重庆九龙坡·模拟预测）在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，那么sin∠ACB的值为（　　）​A．52 B．55 C．255 D．13【答案】C【分析】本题考查解直角三角形，过点B作AC的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质．【详解】解：过点B作AC的垂线，垂足为M，设小正方形的边长为a，∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，∴AB=a2+3a2=10a，BC=a2+3a2=10a，AC=2a2+2a2=22a，∴AB=BC，∵BM⊥AC，∴点M是AC的中点，∴CM=12AC=12×22a=2a，在Rt△BCM中，BM=BC2-CM2=10a2-2a2=22a，∴sin∠ACB=BMBC=22a10a=255，∴sin∠ACB的值为255．故选：C．【变式2-1】（2024·辽宁沈阳·一模）如图，在正方形ABCD中，点E为AB边的中点，将正方形ABCD折叠，使点D与点E重合，MN为折痕，则sin∠MNB的值是（　　）A．255 B．55 C．32 D．35【答案】A【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，连接DE交MN与O，设正方形的边长为2a，由勾股定理可求DE的长，由折叠的性质可得DO=EO=52a，DM=ME，DE⊥MN，由勾股定理可求DM=54a，由锐角三角函数可求解．【详解】解：如图，连接DE交MN与O，设正方形的边长为2a，∵点E为AB边的中点，∴AE=a，∴DE=AD2+AE2=4a2+a2=5a,∵将正方形ABCD折叠，使点D与点E重合，∴DO=EO=52a，DM=ME，DE⊥MN，∵ME2=AE2+AM2，∴DM2=2a-DM2+a2，∴DM=54a，∵AD∥BC，∴∠DMN=∠BNM，∴sin∠MNB=sin∠DMN=DODM=52a54a=255，故选：A．【变式2-2】（2024·广东潮州·一模）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，OE⊥BD交BC于点E，∠ABD＝2∠CBD，若BC＝72，CD＝142，则cos∠CBD＝ ．【答案】144【分析】延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，根据平行四边形性质证明△ABP≌△CDQ，得到BP=DQ，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，延长BD至M，使DM＝DC，连接CM，作AP⊥BD于点P，作CQ⊥BD于点Q，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABD＝∠CDB，∵∠ABD＝2∠CBD，∴∠CDB＝2∠CBD，∵DM＝DC，∴∠DCM＝∠M，∴∠CDB＝2∠M，∴∠CBD＝∠M，∴CB＝CM，∵CQ⊥BD，∴BQ＝MQ＝QD+DM＝QD+CD，在△ABP和△CDQ中，∠APB=∠COD∠ABP=∠CDQAB=CD，∴△ABP≌△CDQ（AAS），∴BP＝DQ，∴PQ＝CD＝142，设BP＝DQ＝x，∵BC2﹣BQ2＝CQ2＝CD2﹣DQ2，∴(72)2﹣（x+142）2＝（142）2﹣x2，解得x＝3148，∴BP=3148，∴BQ=3148+142=7148 ，∴cos∠CBD＝BQBC＝714872144．故答案为：144．【点睛】本题考查了平行四边形性质，全等三角形判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，等知识．灵活运用平行四边形性质证明全等三角形是本题关键．【变式2-3】（2024·浙江·模拟预测）如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A'重合，连接EA'并延长分别交BD，BC于点G，F，且BG=BF．（1）若∠AEB=55°，则∠EBD= ．（2）若ABBC=34，则tan∠ABE的值为 ．【答案】 40° 10-13【分析】（1）根据折叠的性质可得∠AEB=∠A'EB，进而求出∠AEA'=∠AEB+∠A'EB=110°，则∠DEF=∠BFG=70°，根据等边对等角可得∠BGF=∠BFG=70°，最后根据三角形内角和定理即可求解；（2）过点E作EH⊥BC于点H，得到四边形ABHE、EHCD均为矩形，根据BG=BF得到∠BGF=∠BFG，由平行线的性质得∠DEG=∠BFG，由对顶角相等得∠BGF=∠DGE，则∠DEG=∠DGE，进而得到DE=DG，根据勾股定理求出BD=5x，设BG=BF=y，则DG=DE=5x-y，AE=BH=y-x，FH=x，再根据勾股定理求得EF=10x，根据折叠的性质可得，AB=A'B=3x，AE=A'E=y-x，∠A=∠BA'E=90°，于是A'F=10+1x-y，∠BA'F=90°，在Rt△A'BF中，根据勾股定理列出方程求解即可．本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠BFG，根据折叠的性质可得，∠AEB=∠A'EB，∵∠AEB=55°，∴∠AEA'=∠AEB+∠A'EB=110°，∴∠DEF=70°，∴∠BFG=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°，∴∠GBF=180°-∠BGF-∠BFG=40°；故答案为：40°；（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H，∵四边形ABCD为矩形，设AB=3x，BC=4x，∴AD=BC=4x，AB=CD=3x，∠A=90°，AD∥BC，∵EH⊥BC，∴四边形ABHE、EHCD均为矩形，∴AE=BH，AB=EH=3x，DE=CH，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG，∵AD∥BC，∴∠DEG=∠BFG，∵∠BGF=∠DGE，∴∠DEG=∠DGE，∴DE=DG，在Rt△ABD中，AB=3x，AD=4x，∴ BD=AB2+AD2=3x2+4x2=5x，设BG=BF=y，则DG=DE=5x-y，∴AE=AD-DE=4x-(5x-y)=y-x，∴BH=AE=y-x，∴FH=BF-BH=y-(y-x)=x，在Rt△EFH中，EF=EH2+FH2=3x2+x2=10x，根据折叠的性质可得，AB=A'B=3x，AE=A'E=y-x，∠A=∠BA'E=90°，∴A'F=EF-A'E=10x-(y-x)=10+1x-y，∠BA'F=90°，在Rt△A'BF中，A'B2+A'F2=BF2，∴ 3x2+10+1x-y2=y2，解得：y=10x，∴tan∠ABE=AEAB=10x-x3x=10-13故答案为：10-13【题型3 锐角三角函数与一元二次方程的综合】【例3】（23-24九年级·湖南郴州·期末）如果把方程x2+6x+5=0变形为x+a2=b的形式，那么以a，b长为直角边的 Rt△ABC中cosB的值是（   ）A．45 B．35 C．43 D．34【答案】B【分析】本题考查配方法的应用，勾股定理，求角的余弦值．掌握配方法，勾股定理和余弦的定义是解题关键．根据配方法可求出a=3，b=4，结合勾股定理可求出Rt△ABC的斜边长为5，最后根据余弦的定义求解即可．【详解】解：方程x2+6x+5=0变形为x+a2=b的形式为x+32=4，∴a=3，b=4．∵Rt△ABC以a，b长为直角边，∴Rt△ABC的斜边长为a2+b2=5，∴cosB=35．故选B．【变式3-1】（23-24九年级·福建泉州·期末）若cosα，1cosα是关于x的方程3x2-5kx+2k-1=0的两个实数根，则cosα=（    ）A．33 B．3 C．13 D．3或13【答案】C【分析】利用根与系数的关系得出cosα⋅1cosα=2k-13=1，进而得出k，将k代入一元二次方程求出方程的根即可．【详解】解：∵cosα，1cosα是关于x的方程3x2-5kx+2k-1=0的两个实数根，∴cosα⋅1cosα=2k-13=1，解得：k=2，即：3x2-10x+3=0，则3x-1x-3=0，解得x1=13，x2=3，∵0