数学必修 第二册7.3* 复数的三角表示随堂练习题

这是一份数学必修 第二册7.3* 复数的三角表示随堂练习题，共2页。
7.3 复数的三角表示习题课课后作业
3-i 对应的向量为OZ ，将OZ 绕点O 按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45
和60 ，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）．
把复数 z 和 z 对应的向量OA, OB 分别绕点O 按逆时针方向旋转π 和 5π 后，这两个向量
1243
完全重合．已知 z2  -1- 3i ，求复数 z1 的代数表示式．
在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为 Z1 , Z2 , Z3 ,O（ O 为原点）．已知
2
Z 对应的复数为1 3i ，求 Z , Z 对应的复数．
13
在复平面内，正方形 ABCD 的两个顶点 A, B 对应的复数分别为1i, 2  3i ，求顶点C, D
对应的复数．
参考答案：
设 z 
3-i 对应的向量为OZ ，将OZ 绕点O 按逆时针方向和顺时针方向分别旋转45
和60 ，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）．
解：将OZ 绕点O 按逆时针方向旋转45，所得向量对应的复数为
3
(i)(cs π 
π
isin )  (
3
i)  (
2 i) 
6  2 i ；
2
6  2
442222
将OZ 绕点O 按顺时针方向分别旋转60，所得向量对应的复数为
3
3
(i) [cs( π)  isin( π)]  (i)  (1  3 i)  2i ．
3322
把复数 z 和 z 对应的向量OA, OB 分别绕点O 按逆时针方向旋转π 和 5π 后，这两个向量
1243
完全重合．已知 z2  -1- 3i ，求复数 z1 的代数表示式．
解：由已知得 z (cs π π  z (cs 5π  isin 5π)．
isin )
144233
又因为 z  -1- 3i = 2(cs 4π  isin 4π) ，
2
所以 z
33
2(cs 4π  isin 4π)(cs 5π  isin 5π)
2
3333  
2i ．
1cs π  isin π
44
在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为 Z1 , Z2 , Z3 ,O（ O 为原点）．已知
2
Z 对应的复数为1 3i ，求 Z , Z 对应的复数．
13
解：设在复平面上点 Z1 , Z2 , Z3 对应的复数分别为 z1 , z2 , z3 ．
由题意可知， z  z 
2 [cs( π)  isin( π)]  (1 

3i) 
2 ( 2 
2 i) 
3 1 
3 1i ；
1224422222
z  z  2 (cs π 
π  (1 
3i) 
2 ( 2 2 i)  1  3  1 
3 i ．
3224
isin )
4
22222
在复平面内，正方形 ABCD 的两个顶点 A, B 对应的复数分别为1i, 2  3i ，求顶点C, D
对应的复数．
解：由题意可知， AB  OB  OA 对应的复数为2  3i  (1i) = 1 4i ． 当点 A, B,C, D 逆时针方向排列时，
AD 对应的复数为(1
ππ
4i)(cs+ isin)
22
 (1 4i)i  4  i ．
所以点 D 对应的复数为(1 i)  4  i = 5 + 2i ．
AC 对应的复数为(1 4i) 
ππ
[ 2(cs+ isin)]
44
 5  3i ．
所以点C 对应的复数为(1 i)  5  3i = 6  2i ． 当点 A, B,C, D 顺时针时针方向排列时，同理， 顶点C, D 对应的复数分别为2  4i; 3 ．