人教版数学八上同步考点分类训练专题04 三角形的有关模型问题（2份，原卷版+解析版）

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专题4 三角形的有关模型问题【思维导图】◎考点1：多边形截角后的边数问题例．（2022·全国·八年级）若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（       ）A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8变式1．（2021·全国·八年级专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是　　A．5 B．6 C．7 D．8变式2．（2022·广西桂林·八年级期中）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（　　）A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形变式3．（2021·全国·八年级专题练习）一个四边形截去一个角后内角个数是（     ）A．3 B．4 C．5 D．3、4、5◎考点2：多边形的周长问题例．（2022·上海·八年级期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（　　）A．3 B．6 C．12 D．16变式1．（2020·黑龙江·桦南实验中学八年级期中）如图，在ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，ABC的周长为23，则ABD的周长为（       ）A．14 B．15 C．16 D．17变式2．（2021·重庆市江津第五中学校八年级期中）如图，在菱形中，，则以为边的正方形的周长为(            )A．12 B．8 C．16 D．20变式3．（2021·全国·八年级专题练习）如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（　　）A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm◎考点3:网格中多边形的面积问题例．（2021·全国·八年级专题练习）某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是( )．A． B． C． D．变式1．（2021·全国·八年级专题练习）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若每一小正方形的边长均为1，则灰色三角形的面积为（       ）A．7 B．7.5 C．8 D．8.5变式2．（2021·河北·西安市长安区第十中学八年级阶段练习）如图小方格都是边长为1的正方形，则四边形ABCD的面积是（　 　）A．25 B．12.5 C．9 D．8.5变式3．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（   ）A． B． C． D．◎考点4：多或少算一个角的问题例．（2021·全国·八年级专题练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（       ）A．9 B．10 C．11 D．10或11变式1．（2021·广东·惠州一中八年级期中）一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（       ）A．8 B．9 C．10 D．11变式2．（2020·云南·永善县墨翰中学八年级阶段练习）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（       ）A．7 B．7或9 C．8或9 D．7或8或9变式3．（2021·全国·八年级专题练习）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么原多边形的边数为（       ）A．5 B．5或6 C．6或7或8 D．7或8或9◎考点5：多边形截角后的内角和问题例．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第二十八中学八年级期中）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（       ）．A．15或16 B．15或16或17 C．16或17或18 D．17或18或19变式1．（2021·全国·八年级阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（       ）A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12变式2．（2021·新疆师范大学附属中学八年级期中）如图，沿着虚线将四边形纸片剪成两部分，如果所得两个图形的内角和相等，则符合条件的剪法是（       ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④变式3．（2020·青海·西宁市海湖中学八年级阶段练习）一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数不可能的是(　 　)A．10 B．11 C．12 D．13◎考点6：复杂图形的内角和问题例．（2021·湖南怀化·八年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．变式1.（2021·全国·八年级专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．变式3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为__．◎考点7：双角平分线问题例．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（　　）A． B． C． D．变式1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，，是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；是的内角的平分线与外角的平分线的交点；依次这样下去，则的度数为（       ）A．2° B．4° C．8° D．16°变式2．（2022·全国·八年级课时练习）如图7，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F＝135°，其中正确的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式3．（2020·安徽·马鞍山市成功学校八年级期中）（1） 如图1所示，BD，CD分别是△ABC的内角∠ABC，∠ACB的平分线，试说明：∠D=90°+∠A．（2）探究，请直接写出下列两种情况的结果，并任选一种情况说明理由：①如图2所示，BD，CD分别是△ABC两个外角∠EBC和∠FCB的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系；②如图3所示，BD，CD分别是△ABC一个内角∠ABC和一个外角∠ACE的平分线，试探究∠A与∠D之间的等量关系．◎考点8：A字模型 例．（2022·全国·八年级课时练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（       ）．A． B． C． D．变式1．（2012·江苏南通·中考真题）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝（）A．360º B．250º C．180º D．140º变式2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，，三角形两外角的角平分线交于点E，则________．变式3．（2022·全国·八年级课时练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为_________．◎考点9：8字模型 例．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（       ）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D变式1．（2022·全国·八年级课时练习）如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，，则的度数为　　A． B． C． D．变式2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，OAB和OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，AC、BD交于M（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD的度数为 °；（2）如图2，当α＝60°时，求∠AMD的度数；（3）如图3，当OCD绕O点任意旋转时，∠AMD与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用α表示∠AMD，并用图3进行证明；若不确定，说明理由．变式3．（2021·山西临汾·七年级期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“字形”，试说明：．（2）如图②，，分别平分，，若，，求的度数．（3）如图（3），直线平分，平分的外角，猜想与、的数量关系是________；（4）如图（4），直线平分的外角，平分的外角，猜想与、的数量关系是________．◎考点10：燕尾角模型例．（2022·全国·八年级课时练习）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，，则__________；②如图3，__________；（2）拓展应用：①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________；②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________；③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________；④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之同的数量关系为__________．变式1．（2022·全国·八年级专题练习）如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图(2)，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、图(1)XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；②如图(3)DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；（写出解答过程）③如图（4），∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，则∠A的度数=__________°．变式2．（2019·全国·九年级专题练习）如图，中，（1）若、的三等分线交于点、，请用表示、；（2）若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，.变式3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，是的平分线，CH是的平分线，与CH交于点，若，，求的度数.◎考点11：角平分线和高相结合模型例．（2022·全国·八年级）（1）如图①，△ABC中，点D、E在边BC上，AE平分∠BAC，AD⊥BC，∠C＝40°，∠B＝60°，求：①∠CAE的度数；②∠DAE的度数．（2）如图②，若把（1）中的条件“AD⊥BC”变成“F为AE延长线上一点，且FD⊥BC”，其他条件不变，求出∠DFE的度数．（3）在△ABC中，AE平分∠BAC，若F为EA延长线上一点，FD⊥BC，且∠C＝α，∠B＝β（β＞α），试猜想∠DFE的度数（用α，β表示），请自己作出对应图形并说明理由．