人教版数学八上同步考点分类训练专题02 与三角形有关的角（2份，原卷版+解析版）

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专题02 与三角形有关的角【思维导图】◎题型1：三角形内角和定理的证明定理：三角形的内角和为180°．备注：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．例．（2022·全国·八年级课时练习）定理：三角形的内角和等于180°．已知：的三个内角为、、求证：．下列说法正确的是（       ）A．证法1采用了从特殊到一般的方法证明了该定理B．证法1还需要测量一百个进行验证，就能证明该定理C．证法2还需证明其它形状的三角形，该定理的证明过程才完整D．证法2用严谨的推理证明了该定理变式1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在证明“△ABC内角和等于180°”时，延长BC至D，过点C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，这个证明方法体现的数学思想是（　　）A．数形结合 B．特殊到一般 C．一般到特殊 D．转化变式2．（2022·全国·八年级）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是180°”的是（       ）A． B．C． D．变式3．（2021·全国·八年级专题练习）下列给出的5个图中，能判定是等腰三角形的有（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个◎题型2：与平行线有关的三角形内角和问题例．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（）A．120° B．128° C．110° D．100°变式1．（2022·广东茂名·八年级期末）如图，直线AB∥CD，，，则等于（       ）A．70° B．80° C．90° D．100°变式2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠C的大小是（　　）A．46° B．54° C．66° D．80°变式3．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，直线l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3等于（     ）A．55° B．30° C．65° D．70°◎题型3：与角平分线有关的三角形内角和问题例．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝68°，若P为△ABC内一点，且∠1＝∠2，则∠BPC的度数为（       ）．A．102° B．132° C．100° D．112°变式1．（2022·山西运城·八年级期末）如图，在中，，BD平分交AC于点D．若，则的大小为（       ）A．66° B．70° C．72° D．75°变式2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴在正半轴、x轴正半轴分别交A、B两点，点C在BA的延长线上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，则∠D的度数是（       ）A．30° B．45° C．55° D．60°变式3．（2022·江苏·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，，则∠A的大小为（       ）A．150° B．130° C．120° D．100°◎题型4：三角形折叠中的角度问题例．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将沿着平行于的直线折叠，点落在点处，若，则的度数是（       ）A．108° B．104° C．96° D．92°变式1．（2022·云南昭通·八年级期末）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（       ）A．55° B．60° C．65° D．70°变式2．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图，点D与点D关于AE对称，，则∠AED的度数为（   ）A．57° B．60° C．62° D．67°变式3．（2022·福建龙岩·八年级期末）如图，把纸片沿DE折叠，当点C落在四边形ABDE的外部时，此时测得，，则∠2的度数为（       ）A．35° B．36° C．37° D．38°◎题型5：三角形内角和定理的应用例．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，则∠D的度数为（　　）A．40° B．50° C．60° D．70°变式1．（2022·全国·八年级课时练习）如图摆放的是一副学生用的直角三角板，，，AB与DE相交于点G，当时，∠AGE的度数是（       ）．A．60° B．65° C．75° D．85°变式2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把一个含有角的直角三角板放在两条平行线m，n上，若，则∠β的度数是（          ）A． B． C． D．变式3．（2022·山东菏泽·八年级期末）下列条件中能构成钝角△ABC的是（   ）A．∠A=∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠B=∠C=∠A D．∠A=∠B=∠C◎题型6：三角形的外角1）三角形外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.备注：(1)外角的特征： ①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2）三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．备注：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3）三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°.备注：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°例．（2022·山西运城·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，则∠D的度数为（       ）A．160° B．150° C．140° D．130°变式1．（2022·全国·八年级课时练习）将两块三角板按如图所示位置摆放，若，点在上，则的度数为（       ）A． B． C． D．变式2．（2022·河南许昌·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°．则∠BDC的度数为（　　）A．26° B．52° C．56° D．64°变式3．（2021·四川省南充市白塔中学八年级期中）若等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角等于26°，则其顶角等于（　　）A．64°或116° B．116°或52° C．64°或128° D．64°或116°或128°◎题型7：利用互余关系求角直角三角形：如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形.备注：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.例．（2022·全国·八年级课时练习）如图，直线l1∥l2，直线交于点A，交于点B，过点A的直线，交于点C．若，则的度数为（       ）A． B． C． D．变式1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，BD是△ABC的角平分线交BC于点E，若，，则∠CAE的度数为（       ）A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°变式2．（2021·江苏·苏州市吴江区青云中学八年级阶段练习）如图，在直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，将纸片沿着CD折叠，使AC边与BC边重合，则∠的度数为（　）A．10° B．20° C．30° D．40°变式3．（2021·全国·八年级课时练习）如图，在四边形中，，连接，，过点D作于点P，若，则的度数为（       ）A． B． C． D．证法1：如图∵，，（量角器测量）∵（计算所得）∴（等量代换）证法2：如图，延长到，过点作．∴（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，同位角相等）∵（平角定义）．∴（等量代换）即．