1.1与三角形有关的线段（学生版） 学案

与三角形有关的线段

课首沟通

与三角形有关的线段有哪些?怎样画出来？分别有什么性质？

知识导图

课首小测

1.   [单选题] （2016年校级期末试题） 若一个三角形的两边长分别为3和7，则第三边长可能是（ ） A．6 B．3 C．2              D．11

2. [单选题] （2016年校级期中试题.） 若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+ =0，则c的值可以为（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

3. [单选题] （2016年龙岗模拟试题.） 在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别是边AC，BC的中点，点F在△ABC内，连接

DE，EF，FD．以下图形符合上述描述的是（ ）

A． B． C． D．

4. [单选题] （2016年校级期末试题.） 下面四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）

A． B． C． D．

5. [单选题] （2016年校级期末试题.） 一定在△ABC内部的线段是（ ）
   1. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
   2. 钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
   3. 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
   4. 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线

6. 
   [单选题]  在建筑工地我们经常可看见如图所示用木条EF固定长方形门框ABCD的情形，这种做法根据是（ ）

A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线

C．长方形的四个角都是直角 D．三角形的稳定性

导学一 ： 三角形

知识点讲解 1：三角形定义及其分类

1. 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 要点：(1) 三条线段；(2) 不在同一直线上；(3) 首尾顺次相接．
2. 三角形的表示

通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、

BC、AC是三角形的三条边，顶点A所对的边BC还可用a表示；顶点B所对的边AC还可用b表示；顶点C所对的边AB还可用c表 示．∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．

3. 
   三角形的分类

例 1. 已知：如图，试回答下列问题：

（1）  图中有     个三角形，它们分别是                                .

（2）  以线段AD为公共边的三角形是                                   .

（3）  线段CE所在的三角形是      ，CE边所对的角是                  

例 2. [单选题] （2016年校级期末试题） 下列说法正确的是（ ）

1. 一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
2. 一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形
3. 一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形
4. 一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形

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1. 如图所示，

（1）  图中共有   个三角形，其中以线段BC为一边的三角形是                   ．

（2）  在△ABD中，∠BAD的对边是      ，在△ABE中，∠ABE的对边是   ．

（3）  AB既是     中∠     的对边，又是△    中∠   的对边，还是△   中∠   的对边．

2. [单选题] （2016年铁一期中试题） 下列说法正确的有（ ）

（1）  等腰三角形是等边三角形；

（2）  三角形按边分可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；

（3）  等腰三角形至少有两边相等；

（4）  三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（2）（4）

知识点讲解 2：三角形三边关系

三角形三边关系定理

（1）  三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有： a+b>c， b+c>a， c+a>b．

（2）  三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有： b-c<a， a-c<b， b-a<c．

例 1. [单选题] 下列各组线段能组成一个三角形的是( )．

A. 3cm，3cm，6cm B. 2cm，3cm，6cm

C. 5cm，8cm，12cm D. 4cm，7cm，11cm

例 2. [单选题] 从长度分别为10cm、20cm、30cm、40cm的四根木条中，任取三根可组成三角形的个数是( )．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

例 3. [单选题] 若三角形的两边长分别为3和5，则其周长C的取值范围是( )． A. 6＜C＜15 B.6＜C＜16

C.11＜C＜13 D.10＜C＜16

例 4. [单选题] 若一个三角形的三条边长分别为3，2a﹣1，6，则整数a的值可能是（ ） A．2，3 B．3，4 C．2，3，4              D．3，4，5

例 5. [单选题] （2016年校级期中试题.） 已知△ABC的三边长a，b，c，化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是（ ） A．2a              B．2b              C．2a+2b              D．2b﹣2c

【学有所获】正数数的绝对值是     ，负数的绝对值是      ，零的绝对值是   .

[学有所获答案]它本身，它的相反数，零.

例 6. 等腰三角形ABC的两边长分别是5cm和10cm，求三角形ABC的周长。

【学有所获】遇到等腰三角形的边长求解时，必须进行       ，确定腰与底.

[学有所获答案]分类讨论.

例 7. 有两边相等的三角形的周长为12cm，一边与另一边的差是3cm，求三边的长．

【学有所获】已知周长求边长，可以设未知数，列方程组求解，熟练方程的思想.

例 8. 如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．

（1）  试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；

（2）  试探AB+AC与PB+PC的大小关系．

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1. [单选题] 现有两根木条，它们的长分别为50cm，35cm，如果要钉一个三角形木架，那么下列四根木条中应选取(

)．

1. 0.85m长的木条 B. 0.15m长的木条

C. 1m长的木条 D. 0.5m长的木条

2.   [单选题]  已知三角形的三边分别为4，a，8，那么该三角形的周长c的取值范围是（ ） A．4＜c＜12 B．12＜c＜24              C．8＜c＜24              D．16＜c＜24

3.   [单选题]  设三角形三边之长分别为3，8，1﹣2a，则a的取值范围为（ ） A．﹣6＜a＜﹣3 B．﹣5＜a＜﹣2 C．﹣2＜a＜5              D．a＜﹣5或a＞2

4. [单选题]  已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足|a﹣6|+=0，那么这个三角形的最大边c的取值范围是

（ ）

A．c＞8 B．8＜c＜14 C．6＜c＜8 D．2＜c＜14

5.   [单选题]  若a，b，c是△ABC的三边，则化简|a﹣b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（ ） A．2a﹣2b B．2b﹣2a C．2c              D．0

6. 已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|+|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|.

7. 已知等腰三角形的一边等于8cm，一边等于6cm，求它的周长．

8. 如图，点O是△ABC内的一点，证明：

导学二 ： 与三角形有关的线段

知识点讲解 1：三角形的高，中线，角平分线

三角形的高

定义：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 垂心：每个三角形都有三条高且三条高所在的直线相交于一点，这个点叫做三角形的垂心. 位置：

锐角三角形的高均在三角形内部，垂心在三角形的内部；

钝角三角形的高线有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部，垂心在三角形的外部；

直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，垂心就是直角顶点；

画法：画高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高； 注意：由于每一条边都对应一条高，因此可以通过等面积法求高.

2. 三角形的中线

定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线； 重心：每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心； 位置：每个三角形都有三条中线并且都在三角形内部，重心也在三角形内部；

注意： 根据等底同高，面积相等的性质得知，三角形的中线平分了三角形的面积.

3. 三角形的角平分线

定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线； 内心：每个三角形都有三条角平分线且相交于一点，这个点叫做三角形的内心 ；

位置：每个三角形都有三条角平分线并且都在三角形内部，内心也在三角形内部. 如下图，若AD是△ABC的角平分线，则 .

例 1. [单选题] （2016年八一期中试题.） 如图，下面的四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（ ）

A． B． C． D．

例 2. [单选题] 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形

例 3. [单选题] 如图，线段AD、AE、AF分别为△ABC的中线、角平分线和高线，能把△ABC分成两个面积相等的三角形的线段是（              ）

A．AD B．AE C．AF D．无

例 4. [单选题] 下列叙述中错误的一项是（ ）

A．三角形的中线、角平分线、高都是线段 B．三角形的三条高线中至少存在一条在三角形内部

C．只有一条高在三角形内部的三角形一定是钝角三角形 D．三角形的三条角平分线都在三角形内部

例 5. （2016年校级月考试题） 如图：在△ABC中，AD、BE、CF是△ABC的高，交点为H，则△AHC的三边上高分别为

     ．

【学有所获】遇见周长差可以转化为边长差，化整为零。

例 6. （2016年七中期末.） 如图，在△ABC中（AB＞BC），AC=2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．

【学有所获】中线把周长分成两部分，是不包括中线的长度.

例 7. 如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长．

【学有所获】求高或者求边长的时候，等面积法是个不错的选择哦！

例 8. 如图，P是等腰三角形ABC底边BC上的任一点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F，BH 是等腰三角形AC边上的高。猜想：PE、

PF 和BH间具有怎样的数量关系？

例 9. 如图，已知在△ABC中，BD:DC=3：1，AE:CE=1：2，S△ABC=48,求四边形ODCE的面积。

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1. [单选题] （2016年校级期末） 如图，AE⊥BC于E，BF⊥AC于F，CD⊥AB于D，则△ABC中AC边上的高是哪条垂线段（

）

A.A     E B．CD C．BF D．AF

2. [单选题] 下列说法错误的是（ ）
   1. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点
   2. 钝角三角形有两条高线在三角形外部
   3. 直角三角形只有一条高线
   4. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线

3.   [单选题] 如图，在△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）

（1）AD是△ABE的角平分线； （2）BE是△ABD边AD上的中线；

（3）CH是△ACD边AD上的高； （4）AH是△ACF的角平分线和高．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4. [单选题]  在△ABC中∠C=90°，D、E为AC上的两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，则下列说法不正确的是（ ）

A.B     C是△ABE的高 B．BE是△ABD的中线

C．BD是△EBC的角平分线 D．∠ABE=∠EBD=∠DBC

5. 已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是        ．

6. （2016年校级月考） 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知AB=7cm，AC=5cm，则△ABD和△ACD的周长差为

    cm．

7. 在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把△ABC的周长分别24和18两部分，求三角形三边的长．

8. 如图，AD、CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12．求BC的长．

9. 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点

P在一边BC上，此时h3=0，问h1、h2与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；

导学三 ： 三角形的稳定性

知识点讲解 1

三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性

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1. [单选题] 不是利用三角形稳定性的是( )

A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.照相机的三角架 D.矩形门框的斜拉条

限时考场模拟 ： 20分钟完成

1. [单选题]  一个等腰三角形的两边是7和3，则该三角形的周长是（ ）

A.17 B.13 C.17或13 D.7或3

2. [单选题]  已知三角形的两边长分别是3和8，且第三边长是奇数，那么第三边的长度为（ ）

A.7或5 B.7 C.9 D.7或9

3. [单选题] 三角形两边的长分别为4和5 ，则周长的范围是（ ）

A.                  B.                  C.                D.无法确定

4.   [单选题]  已知△ABC的三边长a，b，c，化简|a+b﹣c|+|b﹣a﹣c|的结果是（ ） A．2a B．2b C．2a+2b D．2b﹣2c

5. [单选题] 如图所示，△ABC中，∠C=900，D、E是AC上两点，且AE=DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（

）

A.BE是△ABD的中线 B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1= ∠2= ∠3 D.BC是△ABE的高

6. [单选题] 已知△ABC中，周长为12，b=  (a+c)，则b为（ ）

A.3 B.4 C.5 D.6

7. [单选题] 一边长为6cm，另一边长为12cm的等腰三角形有（ ）

A.1个 B.2个 C.1个或2个 D.0个

8. [单选题] 下列说法正确的是（ ）

A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点

C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线

9.   古代有一位商人有一块三角形土地，土地的一边靠水渠，如图所示，现在他想把这块土地平均分给他的三个儿子，为 使土地灌溉方便，想使每个儿子分得的土地都有一边和水渠相邻.试问应如何分割这块土地？请你说明理由。

10. 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长。

11. 已知AD是△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大2cm，若△ABC的周长为18cm，且AC=4cm，求AB和BC的长．

12.   已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若当点P在△ABC 内，此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由；

课后作业

1.   [单选题]  若一个三角形的三条边长分别为5，2a﹣1，6，则偶数a的值可能是（ ） A．2 B．4 C．2，4 D．2，4，6

2. [单选题] 一定在△ABC内部的线段是（ ）
   1. 锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线
   2. 钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线
   3. 任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高
   4. 直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线

3.   [单选题] 三角形的①中线、角平分线、高都是线段；②三条高必交于一点；③三条角平分线必交于 一点； ④三条高必在三角形内．其中正确的是（              ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

4. [单选题] a、b、c为三角形的三边长，化简，结果是 （ ）

A.0 B.                     C. D.

5. 如图，D是△ABC中BC边上一点，DE∥AC交AB于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明，AD是△ABC的角平分线.

6. 如图，点P是△ABC内一点，连接BP，并延长交AC于点D．试探究线段AB+BC+CA与线段2BD的大小关系；

7. 已知△ABC的周长是36cm，a、b、c是三边长，且a+b=2c,a:b=1:2,求△ABC的三边长.

8. 已知一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3：2，求这个三角形各边的长．

9. 一个等腰三角形的周长为18，若腰长的3倍比底边的2倍多6，求各边长．

10. 已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|．

11. 如图，△ABC中（AB＞BC），AB=2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长．

12. 探究：如图，用钉子把木棒AB和BC、BC和CD分别在端点B、C处连接起来，用橡皮筋把AD连接起来。

（1）  设橡皮筋AD的长度是x，若AB=5，CD=3，BC=11，求x的最大值和最小值。

（2）  在（1）的条件下要能围成一个四边形，你能求出橡皮筋 的取值范围吗？

13.   已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边的AB、AC、BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在△ABC 外，此时h1、h2、h3与h之间有怎样的数量关系？请说明理由.

14.   如图，E、D分别在AC、BC上，且AE:EC=2：3，BD:DC=1：2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积是22，求三角形ABC 的面积。

15. 如图，请你在△ABC上画三条线段，把这个三角形分成面积相等的四部分，看谁的方法多？

错题收集并认真完成作业.