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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率当堂达标检测题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率当堂达标检测题，共24页。试卷主要包含了随机事件的判断，有限样本空间，事件的关系与运算，古典概型，概率的性质等内容，欢迎下载使用。
典例精讲
考点一 随机事件的判断
【例1】（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1B．2C．3D．4
【一隅三反】
1．（2023·高一课时练习）下列四个事件：
①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2（2023·高一课时练习）下列事件中，属于随机现象的序号是______.
①明天是阴天； ②方程有两个不相等的实数根；
③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边．
3．（2023·高一单元测试）下列事件：
①空间任意三点可以确定一个平面；
②367个人中至少有两个人的生日在同一天；
③6个人的生日在不同月份；
④掷两次骰子，点数和不小于2；
⑤两条异面直线所成角为钝角.
其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）.
4．（2022秋·安徽马鞍山）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
考点二 有限样本空间
【例2】（2022·高一课时练习）一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
【一隅三反】
1．（2022秋·山东济宁）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件的含义.
2．（2022·课时练习）先后两次掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．
(1)写出对应的样本空间；
(2)用集合表示事件A：点数之和为3；事件B：点数之和不超过4．
3．（2022·高一课时练习）已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
考点三 事件的关系与运算
【例3-1】（2022秋·陕西榆林）某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是（ ）
A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件
C．A和C为对立事件D．B与D为互斥事件
【例3-2】（2022春·北京通州·高一统考期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与互为对立
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则和中包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1
2．（2022上海徐汇）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件B．是必然事件
C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件
考点四 古典概型
【例4-1】（2022·高一课时练习）下列不是古典概型的是（ ）
A．在6个完全相同的小球中任取1个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
【例4-2】（2023·陕西西安）12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·高一课前预习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·江西）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 231 021 122 203 012
231 130 133 231 031 123 122 103 233
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023贵州六盘水）当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数；
(3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率.
考点五 概率的性质
【例5-1】（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ）
①
②
③
④
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【一隅三反】
1．（2023四川南充）设A，B是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，，则“”是“事件A，B为对立事件”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
2．（2023·全国·高一专题练习）袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022春·陕西咸阳·高一校考期中）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
10.1 随机事件与概率（精讲）思维导图
典例精讲
考点一 随机事件的判断
【例1】（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取，则，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.故选：B
【一隅三反】
1．（2023·高一课时练习）下列四个事件：
①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件；②东边日出西边日落为必然事件；
③鸡蛋里挑骨头为不可能事件；④守株待兔为随机事件，故必然事件有1个，故选：B
2（2023·高一课时练习）下列事件中，属于随机现象的序号是______.
①明天是阴天； ②方程有两个不相等的实数根；
③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边．
【答案】①③
【解析】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；
对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；
对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；
综上：属于随机现象的序号是①③.故答案为：①③.
3．（2023·高一单元测试）下列事件：
①空间任意三点可以确定一个平面；
②367个人中至少有两个人的生日在同一天；
③6个人的生日在不同月份；
④掷两次骰子，点数和不小于2；
⑤两条异面直线所成角为钝角.
其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）.
【答案】 ①③ ②④ ⑤
【解析】因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是不确定事件；
因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件；
事件③可能发生也可能不发生，故③是不确定事件；
因为掷两次骰子，点数和的可能结果是：2，3，…，12，所以事件④一定发生，故④是必然事件；
因为两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件．
故答案为：①③，②④，⑤．
4．（2022秋·安徽马鞍山）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
【答案】①③
【解析】对于①，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品是椭机事件，
对于②，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品是不可能事件，
对于③，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品是随机事件，
对于④，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品是必然事件，故答案为：①③.
考点二 有限样本空间
【例2】（2022·高一课时练习）一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则这个试验的样本空间为Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.[其中（1，2）表示摸到1号球和2号球]
（2）“2个球都是白球”这一事件就是子集{（1，2），（1，3），（2，3）}.
【一隅三反】
1．（2022秋·山东济宁）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件的含义.
【答案】(1)答案见解析(2)(3)抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为
【解析】（1）样本空.
（2）由（1）知：这个试验的结果的个数共有个.
（3）由可知：事件表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为.
2．（2022·课时练习）先后两次掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．
(1)写出对应的样本空间；
(2)用集合表示事件A：点数之和为3；事件B：点数之和不超过4．
【答案】(1)Ω，；
(2)，．
【解析】(1)用表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成的形式，其中都是中的数．
因此，样本空间Ω，；
(2)根据题意，，．
3．（2022·高一课时练习）已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
(3)
(4)得到的点是第三象限内的点.
【解析】(1)样本空间为：
(2)由知这个试验样本点的总数为.
(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.
(4)事件表示得到的点是第三象限内的点.
考点三 事件的关系与运算
【例3-1】（2022秋·陕西榆林）某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是（ ）
A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件
C．A和C为对立事件D．B与D为互斥事件
【答案】C
【解析】由题意可知：设事件A：“击中环数小于8”与事件B：“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；
事件B：“击中环数大于8” 与事件C：“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；
事件A：“击中环数小于8”与事件C：“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；
事件B：“击中环数大于8”与事件D：“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误.
故选：C.
【例3-2】（2022春·北京通州·高一统考期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与互为对立
【答案】B
【解析】因事件含有“点数为2”的基本事件，而事件不含这个基本事件，A不正确；
事件含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”， “点数为5”，即，B正确；
事件与都含有“点数为6”的基本事件， 与不互斥，C不正确；
事件与不能同时发生，但可以同时不发生，与不对立，D不正确.
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则和中包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1
【答案】C
【解析】试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．
其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个；
事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个．
所以事件中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；
事件中所含的样本点为（2，4），共1个．
故选：C．
2．（2022上海徐汇）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件B．是必然事件
C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件
【答案】A
【解析】因为M，N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示
（第一种情况）
（第二种情况）
无论哪种情况，均是必然事件．故A正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故B不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第二种情况，与一定为互斥事件，故D不正确.故选：A.
考点四 古典概型
【例4-1】（2022·高一课时练习）下列不是古典概型的是（ ）
A．在6个完全相同的小球中任取1个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
【答案】B
【解析】选项A中，在6个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且该试验包含的基本事件其有6个，故A符合古典概型；
选项B中，由于点数的和出现的可能性不相等，故B不是古典概型；
选项C中，该试验满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
选项D中，满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．
故选：B
【例4-2】（2023·陕西西安）12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为，
则共有：10种情况，
满足条件的有4种情况，则.
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·高一课前预习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；
第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；
第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
故选：A.
2．（2023春·江西）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 231 021 122 203 012
231 130 133 231 031 123 122 103 233
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，所有事件的结果数有18种，
其中满足恰好取球三次时“道”､“都”两个字的小球都被取到的事件有：023，203，123共3种，
记“恰好取球三次就停止”为事件，所以.
故答案为：C
3．（2023贵州六盘水）当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数；
(3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率.
【答案】(1)
(2)75，73.5
(3)
【解析】（1）依题意可得：，解得：；
（2）根据频率分布直方图知：众数的估计值为，
平均数的估计值为，
所以这100人的问答成绩的众数与平均数的估计值分别为75，73.5..
（3）由题可知，在问答成绩，，三组中，人数之比为7:5:1，
现采用分层抽样从中抽取13人，所以三组中每组各抽学生人数分别为7，5，1.
分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5.
中所抽取的1人编号为.
所以从6人中随机抽取2人的样本空间为：，，
，共15个样本点.
其中这2人来自不同组（记为事件）的样本点有5个，所以.
所以这2人来自不同组的概率为.
考点五 概率的性质
【例5-1】（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是互斥事件，所以不一定为0，故A错误；
因为，所以，而不一定为0，故B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故D正确.
故选：D.
【例5-2】（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ）
①
②
③
④
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【解析】事件为两个互斥事件，，，故①正确；
事件为两个互斥事件，则，，故②错误；
，故③正确；
，故④正确，
综上，①③④正确，
故选：A．
【一隅三反】
1．（2023四川南充）设A，B是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，，则“”是“事件A，B为对立事件”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】因为，，若事件A，B为对立事件，则；
但推不出两个事件，对立；如掷一颗骰子，事件为出现1点，2点，3点；事件为出现3点，4点，5点，此时，但两个事件不对立，
所以“”是“事件A，B为对立事件”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，则，故C正确；
，则，故A错误；
，则，故B错误；
，故D错误，
故选：C.
3．（2022春·陕西咸阳·高一校考期中）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，
最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，
，，则，
最多输入2次就能开锁的概率是.
故选：C
典例精讲
考点一 随机事件的判断
【例1】（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1B．2C．3D．4
【一隅三反】
1．（2023·高一课时练习）下列四个事件：
①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
2（2023·高一课时练习）下列事件中，属于随机现象的序号是______.
①明天是阴天； ②方程有两个不相等的实数根；
③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边．
3．（2023·高一单元测试）下列事件：
①空间任意三点可以确定一个平面；
②367个人中至少有两个人的生日在同一天；
③6个人的生日在不同月份；
④掷两次骰子，点数和不小于2；
⑤两条异面直线所成角为钝角.
其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）.
4．（2022秋·安徽马鞍山）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
考点二 有限样本空间
【例2】（2022·高一课时练习）一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
【一隅三反】
1．（2022秋·山东济宁）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件的含义.
2．（2022·课时练习）先后两次掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．
(1)写出对应的样本空间；
(2)用集合表示事件A：点数之和为3；事件B：点数之和不超过4．
3．（2022·高一课时练习）已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
考点三 事件的关系与运算
【例3-1】（2022秋·陕西榆林）某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是（ ）
A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件
C．A和C为对立事件D．B与D为互斥事件
【例3-2】（2022春·北京通州·高一统考期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与互为对立
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则和中包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1
2．（2022上海徐汇）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件B．是必然事件
C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件
考点四 古典概型
【例4-1】（2022·高一课时练习）下列不是古典概型的是（ ）
A．在6个完全相同的小球中任取1个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
【例4-2】（2023·陕西西安）12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（2022·高一课前预习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·江西）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 231 021 122 203 012
231 130 133 231 031 123 122 103 233
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023贵州六盘水）当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数；
(3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率.
考点五 概率的性质
【例5-1】（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【例5-2】（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ）
①
②
③
④
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【一隅三反】
1．（2023四川南充）设A，B是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，，则“”是“事件A，B为对立事件”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
2．（2023·全国·高一专题练习）袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022春·陕西咸阳·高一校考期中）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
10.1 随机事件与概率（精讲）思维导图
典例精讲
考点一 随机事件的判断
【例1】（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（ ）
①未来某年8月18日，北京市不下雨；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；
④任取，则.
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①未来某年8月18日，北京市不下雨，属于随机事件；
②在标准大气压下，水在4℃时结冰，属于不可能事件；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签，属于随机事件；
④任取，则，属于必然事件；
所以属于随机事件的有①③，即随机事件的个数是.故选：B
【一隅三反】
1．（2023·高一课时练习）下列四个事件：
①明天上海的天气有时有雨；②东边日出西边日落；③鸡蛋里挑骨头；④守株待兔．
其中必然事件有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【解析】由题意可知，①明天上海的天气有时有雨为随机事件；②东边日出西边日落为必然事件；
③鸡蛋里挑骨头为不可能事件；④守株待兔为随机事件，故必然事件有1个，故选：B
2（2023·高一课时练习）下列事件中，属于随机现象的序号是______.
①明天是阴天； ②方程有两个不相等的实数根；
③明天吴淞口的最高水位是4.5米； ④三角形中，大角对大边．
【答案】①③
【解析】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；
对于②，由得，显然在实数域方程无解，故②属于不可能事件；
对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；
综上：属于随机现象的序号是①③.故答案为：①③.
3．（2023·高一单元测试）下列事件：
①空间任意三点可以确定一个平面；
②367个人中至少有两个人的生日在同一天；
③6个人的生日在不同月份；
④掷两次骰子，点数和不小于2；
⑤两条异面直线所成角为钝角.
其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）.
【答案】 ①③ ②④ ⑤
【解析】因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是不确定事件；
因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件；
事件③可能发生也可能不发生，故③是不确定事件；
因为掷两次骰子，点数和的可能结果是：2，3，…，12，所以事件④一定发生，故④是必然事件；
因为两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件．
故答案为：①③，②④，⑤．
4．（2022秋·安徽马鞍山）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：
①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；
②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；
③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；
④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，
其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）
【答案】①③
【解析】对于①，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品是椭机事件，
对于②，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品是不可能事件，
对于③，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品是随机事件，
对于④，因为100件产品中，有95件一级品，5件二级品，所以在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品是必然事件，故答案为：①③.
考点二 有限样本空间
【例2】（2022·高一课时练习）一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)写出“2个球都是白球”这一事件所对应的子集.
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则这个试验的样本空间为Ω={（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}.[其中（1，2）表示摸到1号球和2号球]
（2）“2个球都是白球”这一事件就是子集{（1，2），（1，3），（2，3）}.
【一隅三反】
1．（2022秋·山东济宁）做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用表示结果，其中表示红色骰子出现的点数，表示蓝色骰子出现的点数.写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件的含义.
【答案】(1)答案见解析(2)(3)抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为
【解析】（1）样本空.
（2）由（1）知：这个试验的结果的个数共有个.
（3）由可知：事件表示抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为.
2．（2022·课时练习）先后两次掷一枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数．
(1)写出对应的样本空间；
(2)用集合表示事件A：点数之和为3；事件B：点数之和不超过4．
【答案】(1)Ω，；
(2)，．
【解析】(1)用表示第一次掷出1点，第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示，则可知所有样本点均可表示成的形式，其中都是中的数．
因此，样本空间Ω，；
(2)根据题意，，．
3．（2022·高一课时练习）已知集合，，从两个集合中各取一个元素构成点的坐标．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验样本点的总数；
(3)写出“得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点；
(4)说出事件所表示的实际意义．
【答案】(1)答案见解析；
(2)
(3)
(4)得到的点是第三象限内的点.
【解析】(1)样本空间为：
(2)由知这个试验样本点的总数为.
(3)得到的点是第一象限内的点”这一事件所包含的样本点为.
(4)事件表示得到的点是第三象限内的点.
考点三 事件的关系与运算
【例3-1】（2022秋·陕西榆林）某人射击一次，设事件A：“击中环数小于8”；事件B：“击中环数大于8”；事件C：“击中环数不小于8”，事件D：“击中环数不大于9”，则下列关系正确的是（ ）
A．A和B为对立事件B．B和C为互斥事件
C．A和C为对立事件D．B与D为互斥事件
【答案】C
【解析】由题意可知：设事件A：“击中环数小于8”与事件B：“击中环数大于8”是互斥事件但不是对立事件，故A选项错误；
事件B：“击中环数大于8” 与事件C：“击中环数不小于8”，能同时发生，所以不是互斥事件，故B选项错误；
事件A：“击中环数小于8”与事件C：“击中环数不小于8”是对立事件，故C选项正确；
事件B：“击中环数大于8”与事件D：“击中环数不大于9”能同时发生，不是互斥事件，故D选项错误.
故选：C.
【例3-2】（2022春·北京通州·高一统考期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不大于3”，“点数大于3”，“点数大于5”；“点数为奇数”；“点数为i”，其中.下列结论正确的是（ ）
A．B．C．与互斥D．与互为对立
【答案】B
【解析】因事件含有“点数为2”的基本事件，而事件不含这个基本事件，A不正确；
事件含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”， “点数为5”，即，B正确；
事件与都含有“点数为6”的基本事件， 与不互斥，C不正确；
事件与不能同时发生，但可以同时不发生，与不对立，D不正确.
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·高一课时练习）在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则和中包含的样本点数分别为（ ）
A．1，6B．4，2C．5，1D．6，1
【答案】C
【解析】试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}．
其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个；
事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个．
所以事件中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个；
事件中所含的样本点为（2，4），共1个．
故选：C．
2．（2022上海徐汇）设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A．是必然事件B．是必然事件
C．与一定为互斥事件D．与一定不为互斥事件
【答案】A
【解析】因为M，N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示
（第一种情况）
（第二种情况）
无论哪种情况，均是必然事件．故A正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故B不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第二种情况，与一定为互斥事件，故D不正确.故选：A.
考点四 古典概型
【例4-1】（2022·高一课时练习）下列不是古典概型的是（ ）
A．在6个完全相同的小球中任取1个
B．任意抛掷两颗骰子，所得点数之和作为样本点
C．已知袋子中装有大小完全相同的红色、绿色、黑色小球各1个，从中任意取出1个球，观察球的颜色
D．从南京到北京共有n条长短不同的路线，求某人正好选中最短路线的概率
【答案】B
【解析】选项A中，在6个完全相同的小球中任取1个，每个球被抽到的机会均等，且该试验包含的基本事件其有6个，故A符合古典概型；
选项B中，由于点数的和出现的可能性不相等，故B不是古典概型；
选项C中，该试验满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
选项D中，满足古典概型的有限性和等可能性，故D是古典概型．
故选：B
【例4-2】（2023·陕西西安）12月4日20时09分，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功.经历了120天全生命周期的水稻和拟南芥种子，也一起搭乘飞船返回舱从太空归来.我国在国际上首次完成水稻“从种子到种子”全生命周期空间培养实验，在此之前国际上在空间只完成了拟南芥、油菜、豌豆和小麦“从种子到种子”的培养.若从水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦这5种种子中随机选取2种，则水稻种子被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设水稻、拟南芥、油菜、豌豆和小麦分别为，
则共有：10种情况，
满足条件的有4种情况，则.
故选：D
【一隅三反】
1．（2022·高一课前预习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（ ）
（1）从区间[1，10]内任取一个数，求取到1的概率；
（2）从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；
（3）在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；
（4）向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．
第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；
第3个概率模型不是古典概型，在一个正方形ABCD内画一点P，有无数个点，不满足“有限性”；
第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．
故选：A.
2．（2023春·江西）袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“中､华､道､都”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“道”､“都”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0，1，2，3分别代表“中､华､道､都”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数：
232 321 230 023 231 021 122 203 012
231 130 133 231 031 123 122 103 233
由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，所有事件的结果数有18种，
其中满足恰好取球三次时“道”､“都”两个字的小球都被取到的事件有：023，203，123共3种，
记“恰好取球三次就停止”为事件，所以.
故答案为：C
3．（2023贵州六盘水）当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值；
(2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数；
(3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在内的学生中随机抽取13人作为疫情防控知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率.
【答案】(1)
(2)75，73.5
(3)
【解析】（1）依题意可得：，解得：；
（2）根据频率分布直方图知：众数的估计值为，
平均数的估计值为，
所以这100人的问答成绩的众数与平均数的估计值分别为75，73.5..
（3）由题可知，在问答成绩，，三组中，人数之比为7:5:1，
现采用分层抽样从中抽取13人，所以三组中每组各抽学生人数分别为7，5，1.
分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5.
中所抽取的1人编号为.
所以从6人中随机抽取2人的样本空间为：，，
，共15个样本点.
其中这2人来自不同组（记为事件）的样本点有5个，所以.
所以这2人来自不同组的概率为.
考点五 概率的性质
【例5-1】（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是互斥事件，所以不一定为0，故A错误；
因为，所以，而不一定为0，故B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，是必然事件， 所以，故D正确.
故选：D.
【例5-2】（2023春·安徽·高一合肥市第八中学校联考开学考试）若事件为两个互斥事件，且，有以下四个结论，其中正确的结论是（ ）
①
②
③
④
A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③
【答案】A
【解析】事件为两个互斥事件，，，故①正确；
事件为两个互斥事件，则，，故②错误；
，故③正确；
，故④正确，
综上，①③④正确，
故选：A．
【一隅三反】
1．（2023四川南充）设A，B是同一试验中的两个随机事件，与分别是事件，事件发生的概率，若，，则“”是“事件A，B为对立事件”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【解析】因为，，若事件A，B为对立事件，则；
但推不出两个事件，对立；如掷一颗骰子，事件为出现1点，2点，3点；事件为出现3点，4点，5点，此时，但两个事件不对立，
所以“”是“事件A，B为对立事件”的必要不充分条件.
故选：B.
2．（2023·全国·高一专题练习）袋子中有5个质地完全相同的球，其中2个白球，3个是红球，从中不放回地依次随机摸出两个球，记第一次摸到红球”，“第二次摸到红球”，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】，则，故C正确；
，则，故A错误；
，则，故B错误；
，故D错误，
故选：C.
3．（2022春·陕西咸阳·高一校考期中）保险柜的密码由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列的结果有：，，共5个，它们等可能，
最多输入2次就能开锁的事件A，它是输入1次能开锁的事件，第2次输入才能开锁的事件的和，它们互斥，
，，则，
最多输入2次就能开锁的概率是.
故选：C
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